函数中的新定义问题探究

［摘 要］新定义问题是各地中考数学命题的热点，主要考查学生的阅读能力、获取新知能力、理解新知的能力及运用新知的能力。文章结合四个例题，从四个方面对函数中的新定义问题作具体与探讨，以提高学生的解题能力，发展学生的核心素养。

［关键词］函数；新定义；初中数学

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0032-03

函数是中考的重点与难点。近几年，新定义问题成为各地中考数学命题的热点，它以一种全新的考查形式，考查已学函数的图象与性质，以及学生对于学习新知应用新知的能力。函数中的新定义问题有哪些呢？以下笔者结合几道典型例题作具体探讨。

一、两点之间的“折线距离”

两点之间的“折线距离”，是用两点的坐标定义的，是指两点横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值的和。在坐标平面内，已知两点的坐标，即可求出这两点的“折线距离”。已知函数图象上某点与原点之间的折线距离，即可求得这个点的坐标。

［例1］【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系[xOy]，对两点[A（x1，y1）]和[B（x2，y2）]，用以下方式定义两点间的“折线距离”：[d（A，B）=x1-x2+y1-y2]。

【数学理解】（1）①已知点[A（-3，1）]，则[d（O，A）]= ；②函数[y=-2x+6]（[0≤x≤3]）的图象如图1所示，[B]是图象上一点，若[d（O，B）=5]，则点[B]的坐标为   ；（2）函数[y=3x（x>0）]的图象如图2所示，该函数图象上是否存在点[C]，使[d（O，C）=2]？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由。

【拓展运用】（3）函数[y=x2-4x+6]（[x≥0]）的图象如图3所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标。

解析：（1）①∵点[A（-3，1）]，点[O（0，0）]，∴[d（O，A）=-3-0+1-0=4]。②设点[B]（[x]，[-2x+6]）， ∵[d（O，B）=5]，∴[x+-2x+6=5]，∵[0≤x≤3]，∴[x-2x+6=5]，∴[x=1]，∴点[B]（1，4）。

（2）设点[Cm，3m]，∵[d（O，C）=2]，∴[m+3m=2]，∵[m>0]，∴[m+3m=2]，∴[m2-2m+3=0]，∵[Δ=-8<0]，∴此方程没有实数根，∴不存在符合条件的点C。

（3）设点D为[（n，n2-4n+6）]，∴[d（O，D）=n+n2-4n+6]，∵[n≥0]，[n2-4n+6=（n-2）2+2>0]，∴[d（O，D）=n+n2-4n+6=n2-3n+6=n−322+154]，∴当[n=32]时，d（O，D）最小，最小值为[154]，此时点D坐标为[32，94]。

点评：本题以“折线距离”为背景考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，在求解的过程中，根据新定义建立方程或函数是解决问题的关键，函数图象上任意一点，都可以用（自变量、函数解析式）来表达，这样可把函数图象转化满足一定条件的点。

二、函数图象的“等值点”

若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”。已知函数表达式，让自变量的值等于函数值，就可以求得“等值点”的坐标。反之，当函数表达式等于自变量时，方程的解就是“等值点”的横坐标。

［例2］定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”。（1）试判断函数[y=1x−1]（[x>1]）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由。（2）已知函数[y=x2-2]的图象的“等值点”为点A（-1，-1）和点B（2，2）。①已知实数[m]、[n]满足[m2-m-2=0]，[n2-n-2=0]，且[m≠n]，求[m2n+mn2]的值；②已知实数[p]、[q]满足[p2=p+2]，[2q2=q+1]，且[p≠2q]，求[p2+4q2]的值；③若函数[y=x2-2]（[x≥1]）的图象记为[W1]，将其沿直线[x=1]翻折后的图象记为[W2]，由[W1]、[W2]两部分组成的图象记为[W]，试求图象[W]上的“等值点”。

解析：（1）函数[y=1x−1]（[x>1]）的图象上若存在“等值点”，则[x=1x−1]，∴[x2-x-1=0]，∴[x1=1+52]，[x2=1−52]，∵[x>1]，∴[x=1+52]，∴函数[y=1x−1]（[x>1]）的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为[1+52，1+52]。

（2）①∵实数[m]、[n]满足[m2-m-2=0]，[n2-n-2=0]，∴[m2-2=m]，[n2-2=n]，∴[m]、[n]是方程[x2-2=x]的两个根，即[m]、[n]是函数[y=x2-2]的图象的“等值点”的横坐标，∴[m=-1]，[n=2]或[m=2]，[n=-1]。当[m=-1]，[n=2]时，[m2n+mn2=-2]；当[m=2]，[n=-1]时，[m2n+mn2=-2]，∴[m2n+mn2=-2]。

②∵实数[p]、[q]满足[p2=p+2]，[2q2=q+1]，∴[p2-2=p]，[（2q）2-2=2q]，∴[p]、[2q]是方程[x2-2=x]的两个根，即[p]、[2q]是函数[y=x2-2]的图象的“等值点”的横坐标，∴[p=-1]，[2q=2]或[p=2]，[2q=-1]。当[p=-1]，[2q=2]时，[p2+4q2=5]；当[p=2]，[2q=-1]时，[p2+4q2=5]，∴[p2+4q2=5]。

③函数[y=x2-2]的顶点为（0，-2），它关于直线[x=1]对称的点为（2，-2），∴[W2]的函数表达式为[y=（x-2）2-2]（[x≤1]），∴[x=（x-2）2-2]，∴[x1=5−172]或[x2=5+172]（舍去），∴[W2]上的“等值点”为[5−172，5−172]。∵函数[y=x2-2]（[x≥]1）的图象的“等值点”为点B（2，2）。∴图象[W]上的“等值点”为（2，2）和[5−172，5−172]。

点评：本题重点研究了二次函数图象上的“等值点”，已知二次函数图象的两个“等值点”的坐标，如何求代数式的值呢？将二次函数与一元二次方程建立联系，因为求函数图象上“等值点”坐标的过程，就是解一元二次方程。限定了自变量的取值范围，函数图象就只取其中一部分，翻折后的函数图象也只取一部分。

三、二次函数的衍生函数

已知一个二次函数，将它的常数项与二次项系数互换位置，会得到一个新的函数，这个函数，我们称之为原二次函数的衍生函数。已知二次函数的衍生函数，可以求得原二次函数；通过解方程组还可以求得原二次函数与衍生函数图象的交点坐标。

［例3］在平面直角坐标系中，对于函数[y1=ax2+bx+c]，其中[a]、[b]、[c]为常数，[a≠c]，定义：函数[y2=cx2+bx+a]是[y1=ax2+bx+c]的衍生函数，点M（a，c）是函数[y1=ax2+bx+c]的衍生点，设函数[y1=ax2+bx+c]与其衍生函数的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧）。（1）若函数[y1=ax2+bx+c]的图象过点C（-1，3）、D（1，-5），其衍生点M（1，[c]），求函数[y1=ax2+bx+c]的解析式；（2）若函数[y1=ax2+bx+c]的衍生函数为[y2=2x-1]，求A、B两点的坐标；（3）是否存在常数b，使得无论a为何值，函数[y1=ax2+bx+c]的衍生点M始终在直线AB上，若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由。

解析：（1）∵函数[y1=ax2+bx+c]的衍生点M（1，[c]），∴[a=1]，∵函数[y1=ax2+bx+c]的图象过点C（-1，3），D（1，-5），∴[1−b+c=3，1+b+c=−5，]∴[b=−4，c=−2，]∴[y1=x2-4x-2]。

（2）∵函数[y1=ax2+bx+c]的衍生函数为[y2=2x-1]，∴[y1=-x2+2x]，∴[-x2+2x=2x-1]，∴[x=-1]或[x=1]，∴A（-1，-3），B（1，1）。

（3）∵点M（a，c），[y1=ax2+bx+c]，[y2=cx2+bx+a]，∴[ax2+bx+c=cx2+bx+a]，∴[x=-1]或[x=1]，∴[A（-1，a-b+c）]，[B（1，a+b+c）]，设直线[AB]的表达式为[y=kx+m]，则[−k+m=a−b+c，k+m=a+b+c，]∴[k=b，m=a+c，]∴[y=bx+a+c]，将点M（a，c）代入，得[c=ab+a+c]，∴[a（b+1）=0]，∵a是任意实数，∴[b+1=0]，∴[b=-1]。

点评：本题借“衍生函数”考查了二次函数的图象与性质，求两个函数图象的交点坐标，就是解由两个函数表达式组成的方程组，一个点在函数图象上，就可以把这个点的坐标代入函数表达式，由“衍生函数”也可以看出，当二次函数的二次项系数为0时，二次函数将变为一次函数。

四、轴对称形成的“迭代函数”

一个函数被平行于y轴的直线分成两部分，再作右侧部分关于这条直线的轴对称图形，由这条直线形成的轴对称图形，我们称之为原函数的“迭代函数”，所以原函数的“迭代函数”是一个分段函数，在对称轴的左、右两侧表现为不同的函数表达式。

［例4］定义：在平面直角坐标系中，直线[x=m]与某函数图象交点记为点[P]，在该函数图象中，点[P]及点[P]右侧部分关于直线[x=m]的轴对称图形，与原函数图象上的点[P]及点[P]右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线[x=m]的“迭代函数”。例如，图4是函数[y=x+1]的图象，则它关于直线[x=0]的“迭代函数”的图象如图5所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为[y=x+1（x≥0），−x+1（x<0）。]（1）函数[y=x+1]关于直线[x=1]的“迭代函数”的解析式为       。（2）若函数[y=-x2+4x+3]关于直线[x=m]的“迭代函数”图象经过（-1，0），则[m=]    。（3）已知正方形[ABCD]的顶点分别为[A（a，a）]，[B（a，-a）]，[C（-a，-a）]，[D（-a，a）]，其中[a>0]。①若函数[y=6x]关于直线[x=-2]的“迭代函数”的图象与正方形[ABCD]有3个公共点，则[a=]   ；②若[a=6]，函数[y=6x]关于直线[x=n]的“迭代函数”的图象与正方形[ABCD]有4个公共点，则[n]的取值范围为       。

解析：（1）如图6所示，设点[C]为直线[x=1]与函数[y=x+1]的交点，设点[A（2，3）]是函数[y=x+1]图象上一点，∴[C（1，2）]，点[A]关于直线[x=1]的对称点为[B（0，3）]，设[BC]所在直线的解析式为[y=kx+b]，∴[b=3，k+b=2，]解得[k=−1，b=3，]∴“迭代函数”的解析式为[y=x+1（x≥1），−x+3（x<1）。]

（2）根据题意可得，（-1，0）关于直线[x=m]的对称点（[2m+1]，0）在原抛物线上，∴[-（2m+1）2+4（2m+1）+3=0]，解得[m=1±72]。

（3）①如图7所示，当正方形的边BC过点（-2，-3）时，[a=3]，此时正方形ABCD与此“迭代函数”有三个交点；如图8所示，当[a>3]时，正方形ABCD与此“迭代函数”有四个交点，当a继续增大，交点超过4个，不符合题意，故答案为：3。