利用“死结”和“活结”的特性解决生活中的绳连体问题

［摘 要］生活中经常会用到绳子，不管是晾晒衣物、提拉重物，还是大型机械、跨江桥梁等，都可以用绳子将两个或多个物体相连，对此，我们通常称其为绳连体问题。利用物理建模，可将其归类为物理中的静态平衡问题。通过归纳总结发现，解答绳连体问题时，运用静态平衡模型中“死结”与“活结”的特性进行分析解答，解题思路会更加明晰，正确率也有显著提高。

［关键词］绳连体问题；静态平衡；死结；活结

［中图分类号］ G633.7 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0054-04

物体在共点力作用下的平衡是贯穿高中物理的重要知识，其中绳连体问题（轻绳与挂件模型）就是其中最常见的。各类测验试卷和历年高考卷中常会结合生产生活实际设计试题，以体现“贴近学生的学习、生活实际”的原则。解答这类试题的难点在于物理建模。通过归纳，笔者发现可以运用静态平衡模型中“死结”和“活结”的特性对绳连体问题进行分析解答。

一、什么是“死结”和“活结”

“死结”是指连接两个物体的绳子系成一个结，这个结不会松动或滑动，在这种情况下，结点两侧的轻绳是相互独立的。因此，“死结”的最大特点是结点两侧轻绳上的弹力大小不一定相等。

“活结”是指连接两个物体的绳子系成的结可以松动或滑动，在这种情况下，连接的两个物体之间的相对位置可以改变。“活结”的最大特点是结点两侧轻绳上的弹力大小始终相等。

学生对这两个概念并不陌生，但在平时练习过程中常会出错，究其原因，就是对“死结”和“活结”理解并不透彻，容易混淆误用。

【模型展示】如图1所示，在两个竖直放置的圆环的水平直径两端，各系有一根不可伸长的细绳。图1甲中通过一个轻质的光滑滑轮悬挂物块，图1乙通过一根细绳系在绳子的中点处。现将两个圆环沿着顺时针方向缓慢转动一个小角度，稳定后各段细绳拉力的变化情况如何？

解析：图1甲所示的就是典型的“活结”问题。在这个系统中，绳上的张力处处相等，滑轮两侧绳子与水平方向的夹角相等。设绳子与水平方向的夹角为θ，点a、b之间的水平距离为d，细绳的总长度为L，则有[cosθ=dL]，[2Tasinθ=mg]，解得[Ta=Tb=mgL2L2-d2]。当圆环沿着顺时针方向缓慢转动一个小角度后，根据几何知识可知d变小，但是由于a、b端绳上的拉力仍相等，根据上面的公式可判断两段细绳上的拉力均变小。

图1乙所示的就是典型的“死结”问题。当圆环沿着顺时针方向缓慢转动一个小角度后，结点两侧细绳上的拉力、方向都在发生变化，但是两拉力方向的夹角保持不变。以结点为研究对象，分析其受力，作矢量三角形，如图2所示。由题意可知，圆环旋转前，Tc=Td；根据矢量三角形可直观看到，圆环旋转后，c端连接段的细绳上的拉力变大，d端连接段的细绳上的拉力变小。

从上面的分析可知，解答这类问题要特别留意“死结”与“活结”中各段细绳上拉力的情况，这对解决绳连体问题非常重要。接下来，结合实例进行分析解答。

二、使用“死结”与“活结”解决绳连体问题

（一）利用“死结”分析解题

若试题的研究对象是由两根独立的细绳连接的，或连接研究对象的绳子可视为相对独立，则可以利用“死结”的特性——两段细绳上的拉力不仅方向不同，大小也不一定相等来解题。另外还须注意：若细绳中存在弹力，则结点与系点的长度一般是不变的，这在某些特定情况下对解题有特殊效果。

［例1］如图3所示，在粗糙的水平地面上静止放置一个物块A及一个垂直水平地面的光滑轻质定滑轮，跨过定滑轮有一根不可伸长的轻质细绳，其右端连接物块A，左端用与水平方向成30°角斜向上的力F拉住，在点O处有一段同样的不可伸长的轻质细绳与其形成一个死结，并在下方悬挂有物块B。稳定后，死结两侧的细绳与水平方向的夹角均为30°。若已知物块A与地面的动摩擦因数为[32]，定滑轮右侧细绳与水平地面的夹角为45°，重力加速度为g，物块A、B均处于静止状态，以下选项计算正确的是（ ）。

A.物块A受到细绳的拉力的大小为[32F]

B.物块A受到摩擦力的大小为[32mAg]

C.物块B的质量大小为[Fg]

D.物块A对水平地面的压力大小为[mAg-32F]

解析：以结点O为研究对象，对其进行受力分析，可画出力的矢量三角形，如图4甲所示，由几何知识可知该三角形是个等边三角形，所以有：

[T=F， mB=Fg]

故选项A错误，选项C正确。

以物块A为研究对象，对其进行受力分析，如图4乙所示，因为物块A静止，所以由平衡条件可知：

[Tf=Tcos45°]     [FN+Tsin45°=mAg]

联立以上各式可得：

[Tf=22F     FN=mAg-22F]

所以选项B、C错误。

小结：本题有两个结点，其中结点[O]无疑就是一个“死结”，受力分析时就可以简单地分成三个方向上独立的力，利用常规的方式列平衡方程求解，也可以像题中这样直接画出力的矢量三角形进行分析。另外，本题还有一个隐藏的“活结”，那就是轻质定滑轮，在分析物块[A]的受力情况时，轻质细绳对[A]的拉力应该与“死结”[O]点右侧细绳上的弹力相联系，两者的大小是相等的，如果忽略这一点，就很难求出物块A的相关物理量。

（二）利用“活结”分析

“活结”中的“活”主要是指结点两侧的绳子方向可以灵活改变。所遇到的绳连体中的研究对象如果符合以上条件，就可以考虑使用解答“活结”问题的方式进行分析。

［例2］（多选）如图5所示，A、B是两个竖直固定在水平地面上的晾衣竿，其中A竿高于B竿，在它们顶点处系有一根不可伸长的长度略大于两个晾衣竿顶点距离的不可伸长的轻质细绳。细绳上挂有一件质量为m的衣服（含衣架），在无风状态下，衣服在细绳上保持静止；当有一阵恒定的风自左向右吹来时，衣服受到恒定的水平向右的力作用而滑动，并最终在如图5所示的位置保持静止。关于衣架与细绳的摩擦力，下列判断正确的有（        ）。

A.有风时，衣架挂钩两侧细绳上的弹力大小相等

B.无风时，衣架挂钩两侧绳子与竖直方向的夹角，左侧的较大

C.若存在题中所示的恒定风时，则系在A竿顶端的绳子下移到与B竿等高的C点处，细绳上的拉力将变小

D.与无风时相比，存在题中所示的恒定风时∠AOB较大

解析：根据题意可知，衣架可视为一个理想的轻质动滑轮，这是一个典型的以晾衣架为代表的“活结”模型。“活结”模型的最大特点就是结点两侧绳子上的弹力大小始终是相等的，所以选项A正确。

如图6所示，是无风时衣服的受力情况，根据平衡条件可知[Fcosθ+Fcosα=mg]，[Fsinθ=Fsinα]。可知无风时，衣架挂钩两侧绳子与竖直方向的夹角相等，所以选项B错误。

设细绳的长为L，两个晾衣竿的水平距离为d，根据几何知识可知[sinθ=dL]，根据平衡条件可得[2Fcosθ=mg]，解得[F=mg2cosθ]。当有恒定风作用时，衣服受水平向右的恒力作用，受力分析如图7所示，根据平衡条件可知，衣架挂钩两侧细绳上的拉力的合力与衣服所受风的作用力和衣服重力的合力大小相等，方向相反，由此可比较得出：与无风时相比，有恒定风时细绳上的拉力更大，但是由于无法确定两种状态下衣架挂钩的具体位置，所以不能确定∠AOB的大小关系，所以选项D错误。

有恒定风时，将系在A竿顶端的绳子下移到与B竿等高的C点处，由几何知识可知∠BOC<∠AOB，又因为[2Fcos12∠BOC=F合]，但是F合在衣架挂钩移动到细绳右端的位置前后是不变的，所以细绳上的拉力F将变小，所以选项C正确。

小结：晾衣架是一个与生活紧密联系的典型绳连体问题，这类问题若以选择题形式出现，则解答时不需要写出计算过程，可以放心地使用“活结”的性质进行分析。另外，本题中，判断选项C时，可以采用极限法，假设两个晾衣竿的高度差非常大，使得[∠AOB]接近180°，则当细绳右端下移到[C]点时，必然存在[∠BOC<∠AOB]。

（三）跨海大桥的绳连体问题

［例3］对于一些跨度较大的桥面，为了减少对地面交通的影响，或者因为建造环境的限制，通常会选择建造斜拉桥。比如很多景区穿越峡谷的索桥，还有就是在2018年10月23日通车的港珠澳跨海大桥等。如图8所示，是钢索斜拉桥，关于斜拉桥的索塔与钢索，下列说法正确的是（ ）。

A.为减小索塔所受向下的压力，可以增加钢索的数量

B.为了减小钢索所承受的拉力，可以降低索塔的高度

C.为了使钢索对索塔的合力方向竖直向下，可以通过索塔两侧钢索对称分布且拉力大小相同来实现

D.为了使钢索对索塔的合力方向竖直向下，索塔两侧钢索必须满足对称分布的条件

解析：斜拉桥的钢索与索塔和桥面组成的系统可视为“死结”。分析时可先画出示意图，然后确定研究对象，将钢索的拉力进行合成，利用平行四边形定则作图，结合几何关系列式求解即可。

以桥身为研究对象，进行受力分析可知，钢索对桥身的拉力的合力与桥身和钢索的总重力大小相等、方向相反，所以钢索对索塔的向下的压力大小等于桥身与钢索的总重力，可知增加钢索的数量会增大索塔所受向下的压力，所以选项A错误。

由力的分解与合成可知，合力一定时，分力间的夹角越小，分力也越小。为了减小钢索所受的拉力，应减小每根钢索对自身及桥面的拉力，由于每根钢索质量可视为定值，因此只能通过减小钢索与索塔之间的夹角来达到目的，因此索塔应该增加高度，所以选项B错误。

根据对称性可知，索塔两侧钢索对称分布且拉力大小相等时，水平分力相互抵消，钢索对索塔的合力方向竖直向下，所以选项C正确。

如图9所示，将钢索AC、AB的拉力FAC、FAB进行合成，合力竖直向下，结合正弦定理可得：

[FABsinα=FACsin β]

解得：[FACFAB=sin βsinα]

故索塔两侧钢索不用必须满足对称分布的条件，故选项D错误。

以上三例是绳连体问题的三个比较常见的类型，此外，还存在很多变式，比如在“死结”中：①结点一侧绳子固定不动（即结点不动），另一侧绕结点旋转，这个变化通常使用“平行四边形法”或者“矢量三角形法”解答；②两侧绳子夹角保持不变，绕一个固定端旋转，这个变化通常使用“辅助圆法”解答；③细绳的方向和夹角随时变化，类似上面的衣架模型，这类变化可考虑使用“相似三角形法”解答。其中①②可以用“死结”的特性解题，③用“活结”的特性解题。针对不同类型，可以选择不同的解题方法，列举如下：

1.结点两侧有一侧的绳子方向不变。模型图和受力图如图10所示。

在这种情况下，OB缓慢向上转动至竖直位置，结点O的位置不动。解题时通常用平行四边形法。

2.结点两侧绳子方向均发生变化，但两绳的夹角大小不变。模型图和受力图如图11所示。

在这种情况下，重物M在两根绳子牵引下向右上方缓慢移动，其间夹角α保持不变。解决该类型题常用如图11所示的辅助圆法。

3.结点两侧绳子方向和两绳间夹角均发生变化。模型图和受力图如图12所示。

在这种情况下，细绳绕过半球面正上方的定滑轮，拉动小球A沿着半球面缓慢上升。解决该类型题常用如图12所示的相似三角形法。

其实，不管遇到哪种类型，只要抓住绳连体问题的共点力受力平衡的本质，准确判断绳上的受力情况，就可以准确解答试题，“死结”和“活结”只是作为参考，大家可以探索其他更简便有效的方法。

［   参   考   文   献   ］

［1］  刘姗姗，刘军港.共点力作用下物体的平衡问题例析［J］.中学物理教学参考，2018（4）：48.

［2］  孟德飞.受力平衡问题中“死结”和“活结”模型［J］.中学生数理化（自主招生），2020（合刊1）：75.

［3］  刘杭州，宋书婷.认好“活结”速解平衡问题：以2020年全国高考理综Ⅲ卷第17题为例［J］.物理教学，2021（7）：66-67，47.

（责任编辑  易志毅）