拓展·关联·贯理·悟道

［摘 要］融入大单元教学理念，借助教材习题进行拓展训练，能够有效帮助学生全面把握教材内容，掌握解题思路和方法，追寻数学本质，提升学生的数学综合能力。

［关键词］初中数学；习题；拓展

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）35-0001-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，设计体现结构化特征的课程内容。这是当前教育背景下提高学生核心素养的应然要求。大单元教学基于数学逻辑，对数学内容进行整合，以点带面，凸显数学结构化特征，渗透数学教与学思维。“整体”“结构”在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中频繁出现，且大部分指向课程内容，足见课标明确指向性。

笔者在进行中考复习课教学时发现，一道课本习题可以进行拓展延伸，串联许多数学相关知识，在复习过程中起到整体统摄作用，可以充分展示数学的整体性和结构化。把教材原题作为基础题，在原题基础上再次建构，可以对初中数学知识（数学内容、数学方法、数学思想）进行横向归纳，使之关联化、条理化、结构化和整体化，帮助学生建立知识体系，形成知识链条，生成问题链，是构建素养课堂，促进学生深度学习的有效途径。现整理成文，与同行分享。

一、原题呈现

（人教版九年级上册第41页第8题）如图，在[△ABC]中，[∠B=90°]，[AB=12 mm]，[BC=24 mm]。动点[P]从点[A]开始沿边[AB]向点[B]以2 mm/s的速度移动，动点[Q]从点[B]开始沿边[BC]向点[C]以[4 mm/s]的速度移动。如果[P]、[Q]两点分别从[A]、[B]两点同时出发，那么[△PBQ]的面积[S]随出发时间[t]如何变化？写出[S]关于[t]的函数解析式及[t]的取值范围。

本题是在学完二次函数的图象和性质后设计的一道动点问题练习题，考查二次函数的解析式及其自变量的取值范围的求法，需先列出[PB]、[BQ]关于[t]的代数式，再通过三角形面积公式表示出[S]与[t]的二次函数关系式，根据实际问题的意义求出[t]的取值范围。

解：[△PBQ]的面积[S]关于[t]的函数解析式为：

[S=12PB·BQ=12×（12-2t）×4t=-4t2+24t]，

根据题意可知[0≤4t≤24]，解得[0≤t≤6]，

所以[t]的取值范围是[0≤t≤6]。

说明：按照学习进度，学生已掌握了三角形的面积公式及线段的表示方法，再结合实际问题，就能够轻松解决本题。

二、拓展变形

在进行初中数学综合复习时，教师在原有条件不变的基础上，引导学生发现问题、提出问题，通过变式探究，从“同源不同形”的变式中探索本质规律，从而达到对所学知识融会贯通，发散学生思维，提升学生的核心素养。教师设计出有价值的、开放性的探究问题：请观看老师制作的几何画板，观察[P]、[Q]两点的运动过程中有哪些几何图形。如果设[P]点的运动时间为[t]，你能类比课本中的问题提出数学问题吗？

学生对教师提出的问题产生了兴趣，开动脑筋，先自主编题，再小组内交流，论证问题的正确性，达成共识，最后全班分享，学生将问题及解答思路一一呈现在展板上。这体现了华罗庚教授提出的“生书熟讲，熟书生温，有时分讲合温，有时合讲分温”的教育理念。下面笔者对学生提出的问题进行整理。

问题1：若设[△PBQ]的面积为[S]，出发时间为[t]，当[t]为何值时，[S]最大？并求出最大值。

解：∵出发时间为[t]，点[P]的速度为2 mm/s，点[Q]的速度为4 mm/s，

∴[PB=12-2t]，[BQ=4t]，

∴[S=12PB·BQ=12×（12-2t）×4t=-4t2+24t]，

对于[S=-4t2+24t]，通过公式法或配方法求出当[t=3]时，[S]的最大值为36 mm2。

此题学生很容易在原题的基础上列出二次函数的关系式而后求得二次函数的最大值，可以通过公式法或配方法求得结果，还可以通过求出[t=-b2a]的值，代入原解析式求得最大值。

问题2：经过几秒，[△PBQ]的面积为32 mm2？

解：设经过[t]秒，[△PBQ]的面积为32 mm2，

列方程为[12×（12-2t）×4t=32]，

解得[t1=2]，[t2=4]（经检验，两个答案都符合题意），

所以经过2秒或4秒，[△PBQ]的面积为32 mm2。

此题是从函数角度赋予确定的函数值，将动点问题与一元二次方程实际问题结合在一起，既考查了实际问题的解答，又考查了一元二次方程的解法，同时体现了从一般到特殊的数学思想。

问题3：几秒时，[PQ]的长度等于12 mm？

解：设[t]秒时，[PQ]的长度等于12 mm，

列方程为[（12-2t）2+（4t）2=122]，

解得[t1=0]，[t2=2.4]（经检验，两个答案都符合题意），

所以0秒或2.4秒时，[PQ]的长度等于12 mm。

此题是将动点问题与直角三角形的勾股定理结合在一起，考查了勾股定理及一元二次方程的解法。

问题4：当[t]为何值时，[△PBQ]为等腰三角形？

解：设经过[t]秒，[△PBQ]为等腰三角形，则[PB=BQ]，即[12-2t=4t]，[t=2]，

所以当[t=2]时，[△PBQ]为等腰三角形。

此题是将动点问题与等腰三角形结合在一起，考查了等腰三角形的性质和一元一次方程的解法。

问题5：当[t]为何值时，[△PBQ]为含30°的直角三角形？

解：设经过[t]秒，[△PBQ]为含30°的直角三角形，

当[∠BPQ]为30°时，[PB=3BQ]，即[12-2t=3×4t]，解得[t=123-611]，

当[∠BQP]为30°时，[BQ=3PB]，即[3（12-2t）=4t]，解得[t=123-18]，

所以当[t]的值为[123-611]或[123-18]时，[△PBQ]为含30°的直角三角形。

此题是将动点问题与含30°的直角三角形结合在一起，考查了含30°的直角三角形的性质及一元一次方程的解法、二次根式的化简等知识点，同时体现了分类讨论思想。

问题6：当运动时间为几秒时，[tan∠PQB=12]？

解：根据正切定义可得[tan∠PQB=对边邻边=12-2t4t=12]，解得[t=3]，

所以当运动时间为3秒时，[tan∠PQB=12]。

此题融入锐角三角函数的知识，解答时可复习初中所学的三个常见锐角三角函数的定义，从而解决问题。

问题7：当[t]为何值时，[PQ]∥[AC] ？

解：当[PQ]∥[AC]时，[PBAB=BQBC]，[12-2t12=4t24]，解得[t=3]，所以当[t=3]时，[PQ]∥[AC]。

此题通过平行线分线段成比例定理得出四条线段成比例，再列比例方程，从而求出结果。

问题8：当[t]为何值时，以[P]、[B]、[Q]为顶点的三角形与[△ABC]相似？

解：当[△PBQ ]∽[△ABC]时，[12-2t12=4t24]，解得[t=3]，

当[△PBQ ]∽[△CBA]时，[12-2t24=4t12]，解得[t=1.2]，

所以当[t=3]或1.2时，以[P]、[B]、[Q]为顶点的三角形与[△ABC]相似。

通过此题将相似三角形的判定方法与动点问题结合起来，同时体现了分类讨论思想。

问题9：当[t]为何值时，四边形[APQC]为梯形？

解答此题时只要满足[PQ]∥[AC]即可，解答过程同问题7一致。虽然解法相同，但学生提出问题的角度不同，教师应给予肯定和表扬。

三、总结反思

教师对教材中的几何动点问题进行拓展延伸，引导学生提出开放性问题，并进行交流、解答、分享。在解决问题的过程中运用了一元一次方程、一元二次方程、图形面积、等腰三角形、含30°的直角三角形、勾股定理、二次函数、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形等知识。对于几何动点问题，按照从线（位置、数量）到面（面积、形状、关系）的顺序进行了全面的研究，同时体现了“从一般到特殊”的思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等数学思想，对学生思维能力和解题能力的提高起到重要作用。通过精选习题、开放设计、变式训练的方式进行教学，能融通数学知识，打通思维关卡，激发学生的探究兴趣，拓宽学生思维，培养学生的解题能力。

（一）关注联系，培养发散思维

本文以一道课本习题引发学生“九问”，源于笔者对当下课程、课标、课堂变革的一些思考。“要给学生一杯水，教师不仅要有一桶水，还要有长流水。”只有教师认识有高度，设计问题才会有梯度、有深度，学生在探究问题时才会目标明确、有章可循、有形可依、有法可鉴、有路可探，才能不断积累新的经验，不断有新的发现，不断产生探究欲。教师应关注知识之间的联系，引导学生深度思考，从而培养学生的发散思维。

（二）挖掘典例，转变传统理念

新课改对教师的专业素养提出了更高的要求。教师不仅要弄通弄透本学段的知识，还要疏通“小、初、高”三段关卡，纵向贯通，既要学会在面上“撒种”，又要学会在点上“打井”。教师要充分挖掘教材典例，并依据其进行有效的教学设计。教师应设计具有开放性、启发性的探究问题，引导学生发现问题和提出问题，使学生敢于表达自己的见解，帮助学生形成稳固、完善的认知结构，改变过去重知识强化、重解题技巧训练的做法，培养学生发现问题、提出问题的习惯和意识，提升学生的核心素养。

（三）问题生成，优化认知结构

本节复习课，笔者从一道课本习题出发，本着“温故而知新”的原则，没有设计平行或同层次的习题，而是立足数学逻辑，关注核心素养，让学生在解答问题的过程中逐步形成结构化思维，提高重构知识的能力和质疑的能力。

（四）多措并举，培养思辨能力

“问题解决是一个发现过程、探索过程、创新过程。”上述课本习题是在学完二次函数的图象和性质后设计的一道动点问题练习题，主要考查二次函数的解析式及其自变量的取值范围的求法，在复习课中其强度和难度都不够。笔者通过改编设计，对本题中的几何动点问题进行拓展延伸，启发学生结合所学知识自己提出问题，并基于他们提出的问题进行有效整合，逐步导出富有思考价值的问题。

总之，本节课打破常规的复习教学模式，不是就题论题，也不是蜻蜓点水，而是积极落实大概念视域下“问题引领，整体建构”的教学思想，以探究问题为学生思维成长的基石，依托问题变式，引导学生学会用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考现实世界、用数学语言表达现实世界，从而培养他们的思辨能力，使他们在探究过程中建构知识网络，感悟数学思想，积累数学研究经验，体验数学学习的成功和快乐。

［   参   考   文   献   ］

［1］  蔡妙通.浅析“一题多变”在初中数学课中的应用［J］.数学学习与研究，2018（10）：133.

［2］  刘通.初中数学习题的再加工［J］.数学教学通讯，2015（25）：59-60.

［3］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

（责任编辑 黄桂坚）