让学生在发现与探究中成长

［摘 要］“最短路径问题”是初中数学的重要内容，也是中考数学的热门考点。在“最短路径问题”教学中，尝试自编闯关游戏，以任务驱动的方式驱动学生学习，让学生在不断闯关的过程中理解最短路径问题的内涵与本质，从而提升学生的思维品质，培养学生的核心素养。

［关键词］最短路径问题；发现；探究；成长

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）35-0004-04

“最短路径问题”是苏科版八年级上册 “轴对称图形”一章中的重要内容。在历年的中考或数学竞赛中，“最短路径问题”是热门考点。但是，在日常的课堂教学中发现学生不容易理解这个问题，在解题时常不知从何下手。为了让学生能理解这个问题并能有效解答问题，笔者尝试自编闯关游戏，以任务驱动的方式驱动学生学习，让学生在不断闯关的过程中理解最短路径问题的内涵与本质。

一、教学流程

环节1：分享经典数学故事，激发学生的求知欲

经典数学故事：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远万里专程前来向海伦求教一个他百思不得其解的问题：如图1所示，将军从A地出发先到河边饮马，然后再到B地军营视察，他按什么样的路线走，路程最短？精通数学与物理的海伦略加思索，便解答了这个问题，这就是著名的“将军饮马”问题。

评析：引入经典数学故事，激发学生的学习兴趣，并给学生留下悬念：海伦是如何解决这个问题的？将军如何走才能使路程最短？解决这个问题需要哪些数学知识？我能不能解决这个问题呢？让学生带着问题进入课堂，有利于进一步激发学生的探究欲。

环节2：自编闯关游戏，引导学生智慧闯关

爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”当我们对某种事物有了研究的兴趣，就会自主地去求知、去探究，无须他人督促，且在艰难的求知与探索过程中产生的情绪与体验是愉悦的，获得的知识也是永久的。

教师自编闯关游戏，将全班学生分成五个小组，每个小组选出一名组长，由组长带领其他组员过关斩将，每个小组只有答对了才能进入下一关解答下一道题。以闯关成功次数最多、用时最少的为冠军，其次为亚军、季军。评出闯关最优秀的三个小组，由教师颁发获奖证书及奖品，以资鼓励。

评析：教师自编闯关游戏，激发学生的学习兴趣；把重难知识点融入闯关游戏中，引导学生小组协作闯关，培养学生的团队合作精神：把“最短路径问题”涉及的题型分类逐步呈现，由浅入深，层层递进，最终完成全部任务。

第一关：如图2所示，工厂[A]与工厂[B]想在公路[m]旁修建一座共用的仓库[O]，并且要求[O]到[A]与[O]到[B]的距离之和最短，请你在[m]上确定仓库应修建的[O]点位置，同时说明你选择该点的理由。

生1：如图3所示，连接[AB]交直线[m]于点[O]，则点O即为所求的点。理由：因为连接两点的所有线中线段最短，所以[OA+OB]最短。

评析：这个问题比较简单，虽然也是两定点、一动点与定直线，但是两定点在定直线的两侧，学生只要了解“两点之间，线段最短”就可以解答这个问题。让学生说明作图的理由，旨在从实际问题迈向数学问题，为解决其他“最短路径问题”提供理论依据。

第二关：如图4所示，某大型农场拟在公路[l]旁修建一个农产品储藏加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地[A]、[B]的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益。请你在图中标明加工厂所在的位置[P]，使[A]、[B]两地到加工厂[P]的运输路程之和最短。（要求：保留作图痕迹，写作法和证明）

生2：如图5所示，作点[A]关于直线[l]的对称点[A′]，连接[BA′]交直线[l]于点[P]，则点[P]即为所求加工厂的位置。证明：在直线[l]上取不同于点[P]的点[P′]（如图5），连接[AP′]、[BP′]，因为[A]和[A′]关于直线[l]对称，所以根据轴对称的性质得[PA=PA′]，[P′A=P′A′]，在[△A′BP′]中，根据三角形的三边关系得[A′B<A′P′+BP′]，所以[PA+BP<P′A+BP′]，点[P]到[A]、[B]两边的距离之和最短。

评析：这个问题就是本节课要探究的主题，即“将军饮马”问题，教师要善于把实际问题转化为数学问题。本关的实际问题是：在公路旁修建一个农产品储藏加工厂，使这个厂到[A]、[B]两个水果生产基地的路程之和最短，该如何选址呢？数学问题是：在直线[l]的同侧有两个固定点[A]、[B]，如何在直线[l]上找一点[P]，使[PA+PB]的值最小？解决方案是：作其中一固定点关于直线[l]的对称点，然后连接另一固定点与对称点，连线与直线[l]的交点就是所求的点，其本质就是“两点之间，线段最短”，方法是利用轴对称“化折为直”。

第三关：如图6所示，草地边缘[OM]与小河河岸[ON]在点[O]处形成30°的夹角，牧马人从[A]地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到[A]地。已知[OA=2 km]，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程 。

生3：如图7所示，分别画出点[A]关于[OM]、[ON]的对称点[B]、[C]，连接[BC]交[OM]、[ON]于点[D]、[E]，连接[AD]、[AE]，则线段[AD]、[DE]、[EA]即为所求的路径，由题意可知点[A]、[B]关于直线[OM]对称，根据轴对称的性质得[OB=OA=2]，[∠AOM=∠BOM]，因为点[A]、[C]关于直线[ON]对称，所以根据轴对称的性质得[OA=OC=2]，[∠AON=∠CON]，因为[∠MON=∠AOM+∠AON=30°]，所以[∠BOC=60°]，因为[OB=OC=2]，所以三角形[OBC]为等边三角形，所以[BC=2]，根据轴对称的性质得[BD=AD]，[AE=CE]，所以[AD+DE+AE=BC=2]，所以其总路程为2 km。

评析：第三关的实际问题可以转化为这样一个数学问题：有两条固定直线的夹角为30°，在夹角内有一固定点[A]，它到夹角顶点的距离为2 km，在固定直线上各确定一点，使这两个点与点[A]组成的三角形周长最小，并求出最小周长。这个问题在第二关问题的基础上增加了难度，因为上一个问题只需作一次轴对称即可，而这个问题则需要作两次轴对称，上一个问题是求作使两条线段和最小的一个点，而这个问题是求作使三条线段和最小的两个点，拓宽了学生的思维空间，进一步凸显了轴对称在解决“最短路径问题”中的作用。

第四关：如图8所示，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从[A]处出发，先到公路[m]上设卡检查，再到公路[n]上设卡检查，最后再到达[B]处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明作法。

生4：如图9所示，作点[A]关于直线[m]的对称点[A′]，作点[B]关于直线[n]的对称点[B′]，连接[A′B′]交直线[m]、[n]于[M]、[N]两点，连接[AM]、[BN]，则[AM]—[MN]—[NB]即为最短路线。

评析：这一关的问题在上一关问题的基础上又增加了难度，上一关的问题是一个定点、两条定直线，求作两个动点，使形成三条线段的和最小，而这一关的问题是两个定点、两条定直线，求作两个动点，使形成的四条线段的和最小。两关的相同点是作两次轴对称，利用轴对称“化折为直”，其底层逻辑仍是“两点之间，线段最短”。其作图的关键是找准对称轴，作出对称点，继而确定最短路径。

第五关：如图10所示，直线[l1]、[l2]表示一条河的两岸，且[l1]∥[l2]，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），桥建在何处才能使从村庄[A]经过河到村庄[B]的路线最短？画出示意图，并说明理由。

生5：如图11所示，让点[A]向上平移到点[A′]，使[AA′]与河等宽，且[AA′]垂直于河岸，然后连接[BA′]，与河岸的交点为[C]，过点[C]作[CD]垂直于河岸，交另一河岸于点[D]，则[CD]就是所求的桥的位置。理由：由作图过程可知，[CD]与[AA′]相等且互相平行，所以四边形[ADCA′]为平行四边形，所以[A′C]可以看作是由[AD]平移得到，根据“两点之间，线段最短”得[A′B]最小，由于河宽不变，[CD]即为桥。

评析：第五关与前面四关的不同点在于把平移也加入了作图中，相当于在第一关的基础上由一条定直线变为两条平行的定直线，两个固定点仍在固定直线的两侧，此时需要把一个固定点通过平移得到它的对应点，这个对应点代替原来的点，然后利用“两点之间，线段最短”求得最短路径。第五关突出了平移在作图中的作用，让学生学会综合应用平移与轴对称找最短路径。

第六关：如图12所示，在锐角[△ABC]中，[AC=7 cm]，[S△ABC=21 cm2]，[AD]平分[∠BAC]，[M]、[N]分别是[AD]和[AB]上的动点，求[BM+MN]的最小值并说明理由。

生6：根据题意画出符合条件的图形，作[N]关于[AD]的对称点[R]，则[BM+MN=BR]，作[AC]边上的高[BE]（[E]在[AC]上），根据“垂线段最短”得出[BM+MN≥BE]，所以[BE]的长就是[BM+MN]的最小值。如图13所示，作[N]关于[AD]的对称点[R]，[作AC]边上的高[BE]（[E]在[AC]上），因为[AD]平分[∠BAC]，[△ABC]为锐角三角形，所以点[R]必在[AC]上，因为[N]关于[AD]的对称点为[R]，由轴对称的性质得[MR=MN]，所以[BM+MN=BM+MR]，根据“垂线段最短”得[BM+MN=BR≥BE]，因为[S△ABC=21 cm2]，[AC=7 cm]，所以[12×7×BE=21]，解得[BE=6]（cm），所以[BM+MN]的最小值为6 cm。

评析：本题的数学模型是两动点、一定点、两条定直线。虽然第三关的问题也是两动点、一定点、两条定直线，但是两者的不同点在于双方定点的位置不同，第六关的定点在其中一条定直线上，而第三关的定点在两条定直线之间。双方所求最小值的目标也不同，第六关求两条线段和的最小值，第三关求的是三条线段和的最小值。第六关显然是第三关的升级版，其底层逻辑是“垂线段最短”，线段公理研究的是两点之间的最短距离，而“垂线段最短”研究的是点到直线的最短距离。同时，本题还加入了“角是轴对称图形”这一知识点。

第七关：如图14所示，[A]、[B]两个工厂位于一段直线形河的两侧，[A]厂距离河边[AC=5 km]，[B]厂距离河边[BD=1 km]，经测量[CD=8 km]，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂[E]。（1）设[ED=x]，请用[x]的代数式表示[AE+BE]的长；（2）为了使两厂的排污管道最短，污水处理厂[E]的位置应怎样来确定？此时需要管道多长？（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，求代数式[x2+9+（15-x）2+25]的最小值。

生7：（1）在Rt[△ACE]中，根据勾股定理可得[AE=（8-x）2+25]，在Rt[△BDE]中，根据勾股定理可得[BE=x2+1]，所以[AE+BE=（8-x）2+25+x2+1]。

（2）如图15所示，根据“两点之间，线段最短”可知，连接[AB]，其与[CD]的交点就是污水处理厂[E′]的位置。过点[B]作[BF]垂直[AC]的延长线于点[F]，则有[BF=CD=8]，[CF=BD=1]，所以[AF=AC+CF=6]。在[Rt△ABF]中，由勾股定理得[BA=AF2+BF2=62+82=10]，所以最少需要管道1[0 km]。

（3）根据以上推理，可以构造如图16所示的图形，设[ED=x]，[BD=3]，[CD=15]，[AC=5]，点[E]是[CD]上一动点，当[A]、[E]、[B]三点共线时，[AE+EB]的值最小，等于[AB]的长。在Rt[△ABF]中，[AF=8]，[BF=CD=15]，由勾股定理得[AB=82+152=17]，所以代数式[x2+9+（15-x）2+25]的最小值为17。

评析：这一关是利用几何模型解决代数问题，是数形结合的典型案例，如何求得定直线两侧两定点之间的最短距离，是一件简单易行的事，但是利用几何模型来求两个二次根式和的最小值，却不是一件容易的事。这一关解决了如何求两个二次根式和的最小值的问题，这是本节课难度最大的一关。

二、教学反思

本节课以“生活情境—数学知识演绎—生活问题解决”为路径进行教学，让学生感受到数学源于生活又高于生活。

教材只是个例子，教师在精确把握教材中的重难点内容的同时，要学会加工处理教材，为学生设计形式多样、内容新颖的情境，如本节课自编闯关游戏来驱动学生解决最短路径问题，逐步化解难点，课程内容由易到难、层层递进，注重与基础知识的衔接，注重不同知识点之间的融合，如轴对称与平移、轴对称与线段公理、轴对称与垂线段最短，注重代数与几何知识的融合，使学生真正掌握解决问题的方法。

情境教学有利于激发学生的学习兴趣，任务驱动教学有利于促进学生思维螺旋式上升。本节课采用情境教学与任务驱动教学相结合的方法，以学生的自主探究为主，以学习小组的合作交流为辅。在真实情境下，学生先思考再讨论最后动手，手眼脑协同作业。在将实际问题转化为数学问题的过程中，学生培养了综合分析图形的能力，思维得以由点到面地进行发散。

［   参   考   文   献   ］

［1］  朱华平.最短路径怎么找［J］.初中生学习指导，2021（29）：34-35.

［2］  王莉.初中数学教学中关于数学建模的理解与路径探究［J］.数学教学通讯，2023（20）：54-56.

［3］  周涛.任务驱动在初中数学教学中的应用［J］.中学数学，2022（24）：84-85.

（责任编辑 黄桂坚）