结构化视角下数学整体把握教学探索

［摘 要］核心素养导向下的小学数学教学，需要深入分析数学的本质和学生的认知规律，用整体的、联系的、发展的眼光对教学内容进行结构化整合。数学课堂中，教师可依托结构化的教学内容，引导学生整体把握三角形知识的产生与发展、结构与关联、价值与意义，深入理解三角形的本质。这样能帮助学生逐步形成空间观念、几何直观和推理意识，积累认识几何图形的结构性经验，从而建构有意义的结构化认知。

［关键词］结构化；图形要素；整体把握；核心素养

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）18-0001-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“数学新课标”）在“教学建议”中指出“要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系”“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”。因此，基于核心素养的教学目标导向，深入分析数学本质和学生的认知规律，对教学内容进行结构化整合，注重教学内容与核心素养的关联，是实现数学课程育人价值的必由之路。

2024年4月16日，笔者有幸参与“教研江淮行——皖美课堂”小学数学学科教学展示活动，观摩了滁州市教师执教的“三角形的认识”“三角形的三边关系”“三角形内角和”三节课，并做了教学点评。三位教师在数学新课标理念的指导下，紧扣三角形的构成要素——顶点、边和角，创造性地使用教材，清晰地展示了基于现行教材的小学数学课堂教学设计与实施，体现了教学内容的整体性、关联性和结构化。笔者深受启发的同时，催生了更进一步的思考：“结构化视角下的小学数学教学如何整体把握教学内容，促进学生对所学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养呢？”下面，以苏教版数学教材四年级下册“三角形”单元的教学为例，对结构化视角下如何整体把握数学教学做一些实践探讨。

一、教材分析与重构

“三角形”属于“图形与几何”领域中“图形的认识”的内容。图形的认识主要是对图形的抽象，引导学生经历从实际物体中抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系。苏教版数学教材四年级下册“三角形”这一单元共编排了7道例题，先学习三角形的一般特点，包括三角形的形状特点和各部分名称、三角形的底和高、三角形任意两边长度的和大于第三边、三角形的内角和；然后学习三角形的分类，即按角可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类，按边可以分成等腰三角形、等边三角形两类。教材以学生直观认识三角形，并能在众多平面图形中辨认出三角形为基础，分课时逐步丰富学生对三角形的认识，理解三角形概念的内涵，掌握三角形的图形要素和特征，以及三角形各要素之间的关系和稳定性。教材这样编排虽然看起来简洁、有顺序，但对学生而言，三角形的知识点众多且分散，分课时编排呈现碎片化、孤立化，知识点之间的衔接不够明晰，内在关联不足，反而割裂了知识的整体性和关联性，造成学生浅层理解三角形的相关概念和特征。学生对三角形概念本质的理解不够深刻，缺乏结构化学习的体验和整体理解，从而削弱了教材落实教学目标、发展学生核心素养的作用。

“提领而顿，百毛皆顺。”小学生认识平面图形一般遵循先整体到局部再到整体，先显性外部认识再到隐性内部探究，由静态认识到动态关联的学习规律。尽管三角形的知识点众多且分散，但三角形的构成要素，即顶点、边和角是学生认识三角形的切入口。顺应三角形知识的逻辑关系和学生的认知规律，不妨从三角形的构成要素出发，建立三角形的研究路径，对三角形众多且分散的知识点进行结构化整合与重构，引导学生整体把握三角形知识的产生与发展、结构与关联、价值与意义，实现发展学生空间观念、几何直观和推理意识的目标。

四年级学生通过观察、操作、想象和推理等方式逐步认识三角形，首先关注的是三角形显性外部的构成要素——顶点、边和角。通过研究三角形的顶点、边和角，经历三角形的认识过程，理解三角形的概念内涵，从而整体认识三角形的构成要素及其特征，培养学生的空间观念和初步的几何直观。接着，抓住三角形的构成要素——边，深入探索三角形的三边关系，感悟三角形的稳定性，并基于“两点之间线段最短”这一结论做出推断，形成推理意识。之后，围绕三角形的构成要素——角进行实验操作，归纳出三角形的内角和是180°，培养学生的空间想象力和几何直观。然后，紧扣三角形的构成要素——角和边，启发学生根据它们的特征确定分类标准，给三角形分类，理解三角形的多样性和复杂性，进一步发展学生的空间观念。最后，由三角形的构成要素——顶点，引出三角形隐性内部的构成要素——高，从而认识三角形的高和底，理解三角形的高的本质，发展学生的空间感知能力和空间观念。这样紧扣三角形的构成要素，由整体到局部、从显性外部到隐性内部、由静态认识到动态关联设计与实施教学，契合知识的逻辑关系和学生的认知规律，有利于学生整体学习三角形的各要素及其之间的关系，使学生更深入地理解三角形的概念，对三角形有整体、清晰的把握。同时，这样能帮助学生体会数学知识之间的内在逻辑关系，建立起有意义的结构化认知，逐步发展空间观念、几何直观和推理意识，积累认识几何图形的结构性经验，学会自己研究图形。

二、目标定位与重设

基于数学新课标理念，根据三角形知识的内在逻辑关系和学生的认知规律，以三角形的构成要素为核心重构与整合教学内容，引导学生用整体的、联系的、发展的眼光对三角形的知识进行结构化学习，整体构建三角形的认知结构。这样教学，有助于学生形成科学的思维习惯，发展空间观念、几何直观和推理意识等核心素养。具体目标如下：

（1）联系已有的知识经验，通过观察、操作、猜想、交流和分析等活动，体验数学抽象的一般过程，形成三角形的概念，整体认识并掌握三角形的构成要素——顶点、边和角，培养学生的空间观念和初步的几何直观，积累基本的数学活动经验。

（2）抓住三角形的构成要素，开展观察、想象、比较、实验操作和推理验证等探索活动，发现并理解三角形任意两边长度的和大于第三边，感悟三角形的稳定性，知道三角形的内角和是180°；认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，会根据三角形的角、边的特点确定分类标准并给三角形分类；认识三角形的底和高，能正确测量和画出三角形的高；能运用所学知识解决一些简单的实际问题。

（3）经历探索三角形基本特征及图形各要素之间关系的过程，初步感受数学问题的探索性和数学结论的确定性，培养初步的观察、操作、比较、分析、抽象和推理等能力，进一步发展学生的空间观念和几何直观，形成推理意识，积累认识图形的经验。

三、教学探索与思考

根据上述对“三角形”这一单元内容的分析与重构、目标定位与重设，要构建整体性、关联性和结构化的三角形认知，教师就要引导学生经历观察、交流、操作、想象和推理等探究过程，理解与掌握三角形的构成要素及其特征。这样可加深学生对三角形的理解，自主构建有意义的结构化认知，积累观察、交流、操作、想象和推理的经验，逐步形成空间观念、初步的几何直观和推理意识。

（一）经验迁移，认识要素——整体把握的基础

1.关注生活经验

在实际生活中，学生接触过很多立体、直观的实物和模型。教学“三角形”这一单元时，教师要基于学生已有的知识经验，从实物到图形、从具体到抽象、从整体到部分，引导学生逐步认识三角形。如“三角形的认识”的教学，教师先出示生活中跨河大桥的场景图，让学生找出其中的三角形，以激活学生对三角形的已有认知；再引导学生列举出在生活中哪些地方看到过有三角形形状的物体，使得三角形的表象自然生长于已有的生活经验之中。接着，让学生画一个三角形。通过画三角形，一方面，将学生脑海中的三角形“物化”，直观呈现出来，丰富学生对三角形的感知和体验；另一方面，展示学生画出的形状、大小不同的三角形，为正确构建三角形的概念积累学习素材。最后，教师组织学生分享交流自己画三角形的过程，并提出问题：“大家画出的三角形一样吗？有什么相同和不同的地方？同时，说说三角形有什么特点。”这样的问题，让学生在思维的交流与碰撞中相互启发、相互补充和完善，充分认识到尽管三角形的形状、大小各不相同，但都是三条线段首尾相接围成的图形，逐步抽象出三角形的构成要素——顶点、边和角，进而形成三角形的概念。这样教学，使学生认识并掌握三角形的构成要素及其特征，有效培养了学生的空间观念。

2.关注学习经验

教学实践表明，建立在学生认知发展水平和已有学习经验基础上的数学学习活动，有利于学生理解数学知识，自主建构数学认知。数学教学过程中，教师要充分关注学生已有的学习经验，引导学生利用已有的经验探究数学知识，获得深刻的学习体验，进一步积累数学基本活动经验。如“三角形的认识”的教学，学生认识三角形之前对多边形和角已有初步认识，并且学习了有关长方形和正方形的知识，积累了从边和角认识图形的经验。后面，学生还要进一步学习平行四边形、梯形、圆，认识长方体、正方体等其他几何图形。因此，“三角形的认识”的学习具有承上启下的作用，既要引导学生迁移已有的学习经验来认识三角形，又要为后续认识其他几何图形积累更丰富的活动经验。教学时，教师先引导学生迁移几何图形的研究方法，如找一找、画一画、数一数、量一量、比一比等，通过观察、操作、分析等活动，获得对三角形特征的认识；再引导学生从图形的构成要素——顶点、边和角来认识三角形，整体把握三角形的特征；最后引导学生合作交流，为后续认识其他几何图形积累丰富的探究经验。

（二）活动探究，研究要素——整体把握的形成

1.操作推理

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”学生对自己在实践活动中获得的知识理解最深刻、掌握最牢固。操作是学生构建空间观念的主要形式。操作活动可促进学生形成知识表象，加深对图形特征的理解，进而内化为数学概念。因此，教师要给学生创造充分的操作实践机会，引导他们经历动手操作、实验探究等活动，理解和掌握三角形的构成要素及其特征。如“三角形的三边关系”的教学，数学新课标明确指出“探索并说明三角形任意两边之和大于第三边的道理”。教学时，教师可通过问题“任意三根小棒，能围成一个三角形吗？”引导学生操作探究，充分经历围成或围不成三角形的过程，初步形成“任意两根小棒的长度之和一定大于第三根小棒”的猜想。之后，让学生随意画一个三角形，并量一量各条边的长度，比一比任意两边长度的和与第三边的长度。这样，通过对操作实践的归纳推理，基于“两点之间线段最短”的结论，帮助学生理解“三角形任意两边长度的和大于第三边”的三边关系，培养学生的几何直观和推理意识，以及科学而严谨的学习态度。

2.猜测验证

数学教育家弗赖登塔尔说过：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”三角形知识的教学，教师要引导学生通过观察、想象、比较、实验操作和推理验证等活动，发现并理解三角形的构成要素及其特征，提高学生主动探索、获取知识的能力。如“三角形内角和”的教学，让学生“通过对图形的操作，感知三角形的内角和是180°”是数学新课标提出的教学要求。教学时，教师先以特殊的直角三角板作为探索的突破口，结合动态的三角形拉伸过程，引导学生猜测三角形的内角和可能是180°；再放手让学生根据提供的三角形，开展测量、剪拼、撕拼、折拼等活动。有的学生量出任意三角形的3个内角的度数，算出3个内角的度数之和是180°；也有的学生把任意三角形的3个角剪下来，拼在一起成为一个平角，验证三角形的内角和是180°；还有的学生将任意三角形的3个内角折叠，拼叠出一个平角，验证三角形的内角和是180°。这样教学，引导学生经历观察、计算、操作和交流等活动过程，丰富了学生对三角形内角和的感知，保证了猜测的合理性，进而归纳总结出三角形的内角和是180°，发展了学生的几何直观和空间观念。