探整体教学，寻数学本质

［摘 要］《义务教育数学课程标准（2022年版）》倡导教师整体把握教学内容，注重教学内容的结构化关联，教学中重视知识和方法的联系与迁移。对“认识三角形”一课，教师以结构化的整体视角展开教学，构建“大概念”导向下图形认识一致性的教学模型，将尺规作图与图形认识的教学相融合，能使学生深入理解图形概念的本质，真正实现深度学习，有效培养学生的数学核心素养。

［关键词］三角形；整体教学；尺规作图

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）18-0004-04

在探索几何世界的奇妙旅程中，三角形无疑是一种美丽而奇妙的图形，是几何学中的“万能钥匙”。作为小学数学的重要组成部分，三角形的学习不仅能丰富学生对形状多样性的认知，而且可以锻炼他们的逻辑思维和空间想象能力。

下面，深入探讨三角形知识的整体教学，以期获得最优的教学路径，实现发展学生核心素养的目标。

教学内容

人教版数学教材四年级下册第59～61页。

教学目标

1.能在观察、操作活动中理解三角形的含义，知道三角形的特征，认识三角形各部分的名称。

2.掌握三角形的高的定义，并会画三角形指定边上的高，理解多边形的高的本质。

3.能在学习中提高观察能力、逻辑思维能力和尺规作图的能力，关联多边形的认识，发展空间观念，建立结构化认知。

教学重、难点

重点：概括三角形的概念，知道三角形的底和高。

难点：理解三角形有3条高，以及三角形的高的概念。

教学准备

圆规、卡纸、三角尺等。

教学过程

一、温故知新，唤醒经验

师：（出示平行四边形）关于平行四边形，同学们都知道些什么？

生1：平行四边形的两组对边分别平行。

生2：它有4个顶点，4个角，无数条高。

生3：平行四边形容易变形，不稳定。

师：（板书“边、角、顶点、高、稳定性”）大家分别从边、角、顶点、高和是否具有稳定性等方面对平行四边形进行了描述。

师：（出示三角形）关于三角形，你们想知道些什么？

生4：什么样的图形是三角形？它有几个顶点，几条边？

生5：三角形的高怎么画？有几条？

生6：三角形具有稳定性吗？

……

师：同学们从我们刚刚总结的不同角度，提出了很多好的问题。接下来，我们就用学习平行四边形的方法来认识三角形。（板书课题：认识三角形）

【评析】此环节，教师通过复习平行四边形的知识导入新课，有效抓住了学生的认知起点，唤醒学生已有图形认识的感性经验，即从边、角、顶点、高等角度认识图形。这样可为本节课的教学奠定认知基础，帮助学生明晰探究的方向。

二、用心感受，初悟概念

师：（出示生活中的三角形图片，比如金字塔、长江大桥、房屋屋顶等，并利用动画抽象出具体的三角形）生活中，我们到处都能看到三角形的身影，你们会画三角形吗？动手用尺子画一画吧。（学生画三角形）

师：同桌对比一下，你们画的三角形一样吗？

生7：不一样，三角形的大小和形状都不相同。

师：把你们画的三角形和大屏上的三角形进行对比，能找到它们的共同点吗？

生8：虽然形状各异，但是它们都有3条边、3个顶点、3个角。（教师根据学生的回答进行板书）

师：（出示三条不相连的线段）这里有3条线段，怎样让它们构成三角形呢？

生9：把它们拼接在一起，围起来就能构成三角形。

师：“围”字用得真好！可怎样围呢？

生10：通过平移，将线段的端点两两重合。（学生发言时，教师动画演示线段平移围成三角形的过程）

师：（追问）刚刚我们看到有6个端点，现在怎么只有3个了呢？

生11：因为它们两两重合在一起了。

师：点重合了，意味着这3条线段连接在了一起，就围成了一个三角形。（学生思考）

师：那什么样的图形是三角形呢？现在有点感觉吗？

生12：有3条边，3个角，3个顶点的图形是三角形。

生13：由三条线段围成的图形是三角形。

师生（小结）：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形。

（教师揭示三角形的字母表示法，引导学生观察感知顶点与对边的一一对应）

【评析】本环节，教师从实际生活中抽象出三角形，使学生体会到了数学与生活之间的密切联系。同时，教师通过动手操作、动画演示等多种手段，让学生亲身经历围三角形的过程，加深了学生对三角形概念的理解。

三、画中悟形，感受特性

任务1：用刻度尺画一个边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的三角形，并说一说自己是怎样画的。

（学生先尝试画图，教师巡视指导，再分组展示作品，见图1）

师：第一组同学画的是三角形吗？

生14：不是，这组同学没有将3条线段连起来。

生15：他们作图时出现了4个点，点没有重合。

师：那作图时，关键要确定什么？

生16：确定第三个点的位置。

师：（请第二组代表汇报作图过程）我看你们组画成功了，怎样画的？那些虚线表示什么？

生17：我们小组以3厘米线段为底边，经过多次调整，将4厘米和5厘米这两条线段的端点重合并连接起来。

师：你们真棒！第三组同学也非常棒，用多把尺子共同拼出了三角形。看来，找第三个点并非易事。（出示尺规）你能用尺规画出这个三角形吗？

……

【评析】本环节，意在让学生画出指定边长的三角形，明晰作图的关键在于第三个点位置的确定以及作图最优的方法和步骤。此环节的探究，也是学生对三角形概念的再次深入感受和认识的过程，明白围成三角形的关键是端点相连。同时，教师通过挑战性任务，锻炼了学生的学习意志力和勇于实践、不断追求真理的探究精神，有效落实了立德树人的根本任务。

任务2：用尺规作图，画出一个边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的三角形并简要描述画的方法。

（学生作图，教师巡视指导）

师：把你画的三角形和前后同学的进行对比，发现了什么？

生18：形状大小完全相同。

师：画个邻边为3厘米和4厘米的平行四边形看看。（学生作图后同桌进行对比，发现画出的图形是不同的）

师：为什么会出现这样的现象呢？（学生讨论交流）

生19：因为三角形具有稳定性，而平行四边形易变形。

（教师呈现三角形具有稳定性的实验视频及地震活命的三角区原理图）

师生（小结）：三角形具有稳定性。

师：这两个任务都是画边长为3厘米、4厘米、5厘米的三角形，对比分析一下，你有什么发现？

生20：这两个任务的目标是一致的，都是找第三个点，而把任务1中不断调整的点连起来，恰好就是两条弧线的轨迹。

（学生领悟完成这两个任务的方法是一样的，体现尺规作图的优越性）

【评析】这一环节，在任务1的基础上，使学生可以基于已有的认知心理和活动经验，充分感知用尺规作图的规范性和便利性，对用尺规作图的体验更加深刻，研究的兴趣更加浓厚。回顾整个环节，学生经历了从认识三个顶点到找第三个顶点的过程，既理解了用尺规作图找点的原理，又加深了对三角形围成的理解。同时，教师将三角形具有稳定性这一知识点融入尺规作图当中，避免了用小棒摆三角形受客观因素的影响，使学生对三角形特性的探究更加科学、更有说服力。这样，在理性认知和感性经验的双重作用下，学生对三角形具有稳定性的认知是非常深刻的。

四、异中求同，理解本质

师：关于三角形，我们还能研究什么？

生（齐）：高。

师：请同学们拿出平行四边形卡纸，先回顾平行四边形作高的方法，再尝试画出一条平行四边形的高。

（师生共同回顾平行四边形的高的画法，重点突出找点，见图2）

师：通过画高，我们可以在平行四边形上找到这样的三个点，用线连接起来会形成什么图形？

生（齐）：三角形。

师：在自己的平行四边形卡纸上找到这样的点，并画出三角形。（学生作品见图3）

师：通过操作活动，我们得到了三角形的高。（出示图4）观察对比，你会画三角形的高了吗？怎样画呢？能画几条？

（同桌讨论交流后小组汇报，师生共同小结画三角形的高的方法）

师：比较平行四边形和三角形的高，它们有什么异同点？

生21：它们的高的数量虽然不同，但是其本质都是作点到直线的垂线，垂线的长即高。

小练习：请画出下面图形底边上的高。

（学生在作业单上独立完成，教师巡视指导后，集体汇报交流，重点对画直角三角形、钝角三角形的高进行指导与交流）

【评析】在人教版数学教材中，画三角形的高已是平面图形内容中最后一次认识高了，学生在前面平行四边形、梯形的认识中对高已经有了一定的了解。三角形作高对学生来说并不难，难点在于容易受到前面所学知识的负迁移影响，对三角形有三条高的理解不够深刻。此环节，教师认识到了这一点，先通过回顾平行四边形的高，唤醒学生作高的活动经验；再通过找关键点，从平行四边形中截取一个三角形，将平行四边形的底和高直接转化为三角形的底与高。这样在原有认知中生长出新的知识，更加符合学生的认知规律。在学生充分认识三角形的底和高后，教师再次把平行四边形和三角形进行对比，深化学生对高的理解。

五、全课总结，构建网络

师：比较三角形和平行四边形，它们有什么异同点？（引导学生在交流讨论中逐步构建认知网络）

……

教学反思

“认识三角形”属于小学数学“图形与几何”领域中“图形的认识与测量”的内容，主要是认识图形。认识图形的核心是理解图形的特征，既要研究图形各要素之间的关系，又要研究图形与图形之间的关系。本节课，学生既要认识三角形的边、角、顶点和高等要素之间的关系，又要领悟三角形与已学平面图形之间的关系，尤其是与平行四边形的关系。这是今后以测量的视角再度认识多边形的基础，对学生后续学习三角形的面积计算起重要作用。这节课作为一节认识课，在概念的理解上要注重对三角形围成本质的理解，在作高方面要从一致性的角度，深化学生对高的结构化认识。纵观本节课教学，教师从以下三个方面对学生核心素养的发展做出了努力。

一、关注学生的认知起点，让知识自然生长

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。数学教学必须基于学生的“最近发展区”，准确把握学生的认知起点，促使学生在原有认知经验基础上进行有效迁移，才能获得深度学习的效果。课始，教师紧抓学生认知的逻辑起点，精准把握新知识的生长点和旧知识的联系点，带领学生回顾平行四边形的有关知识。在画高的教学中，教师精准把脉学生的认知难点，设计能激发学生兴趣、拓展学生思维的操作活动，从平行四边形的高过渡到三角形的高，使得新知在学生原有的认知基础上自然生长，知识结构得到不断完善。

二、关注探究活动体验，让学生自主学习

学生养成自主学习的习惯，拥有自主学习的本领，于自身而言是一种成长、一种顿悟；于教师而言是解放，也是促进。本节课，教师充分尊重学生的学习主体地位，善于给学生提供各种不同的学习支架，增强学生的活动体验，让其实现自主学习。课始，教师先通过问题“关于平行四边形，同学们都知道些什么？”搭建起表达性支架，提炼出图形认识和研究的对象；接着，提出问题“关于三角形，你们想知道些什么？”，吸引学生参与到学习目标的制订过程中，进而确定本节课学习和研究的具体对象。在新知探究中，教师多次搭建问题支架，如“比较平行四边和三角形的高，它们有什么异同点？”等；在识高、画高环节，教师搭建起体验性支架，让学生在对平行四边形不断改造中自然认识三角形的高。整节课，教师时刻聚焦学生思维，不断给予示范和引导，优化教学结构，让学生自然地进行知识探究。

三、关注尺规作图，让概念本质自然呈现

尺规作图对培养学生的几何直观和推理意识具有重要作用，是学生素养得以发展的重要抓手。本节课，教师设计了多次画三角形的活动：第一次用刻度尺画任意的三角形，感受三角形的外显性特征，即有3条边、3个角、3个顶点，初步感知三角形的定义；第二次用刻度尺画给定边长的三角形，经历三角形概念的形成过程，在多次调整、反复对比中体会三角形围成的过程；第三次用尺规画三角形，使学生以更科学、更优化的作图方式，深刻理解三角形围成的本质。虽然学生在三年级时已经初步具备用尺规作等长线段的活动经验，但大多数学生在尺规作图的协调使用上还是比较困难的。教师巧妙设置三次作图操作，引导学生经历了初步感知到概念本质理解的认知过程。尤其是后两次作图的对比，学生亲身经历了找第三个点的操作活动，既深化了对三角形特性（稳定性）的理解，又唤醒了用尺规作图的经验，为后续研究三角形的三边关系奠定了坚实的基础。

总之，在小学数学教学中，教师不仅要尊重学生的主体地位，体现学科育人的价值，还要整体把握知识之间的关联，促进学生深入学习，使学生真正理解与掌握所学的知识，实现提升学生数学核心素养的目标。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 陈凡，金锡根.“承前启后”求突破 “虚实结合”促发展：“三角形的认识”一课的教学实践与思考[J].教学月刊小学版（数学），2020（3）：14-17.

[3] 张霞.引出、等待、聚集：“认识三角形”教学思考与实践[J].小学教学（数学版），2020（4）：48-52.

[4] 张黄超.从“认识三角形的高”谈教法创新[J].小学教学参考，2020（2）：35-36.

（责编 杜 华）