联结·生成·迁移：整体理解数的概念的一致性

［摘 要］数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要内容，数学新课标在“数与运算”中提出“感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识”。这就要求教师站在整体化、系统化的高度，基于学生的认知规律对教学内容进行梳理、整合，通过一系列层次递进的学习活动，推进结构化教学进程，引导学生以核心概念为统领，建立知识之间的联系，形成有效的知识与方法的迁移，促进学生数感和符号意识的发展。

［关键词］整体性；一致性；联结；生成；迁移

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）36-0001-04

［基金项目］本文系江苏省中小学教学研究第十五期立项课题“指向联结力提升的小学数学核心知识循证教学研究”（课题编号：2023JY15-L75）的研究成果。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“数学新课标”）在“学段目标”中指出：“为体现义务教育数学课程的整体性与发展性，根据学生数学学习的心理特征和认知规律，将九年的学习时间划分为四个学段。”小学阶段所认识的数，主要包括整数、分数和小数。数的概念本质上的一致性，主要体现在以下两个方面：一是整数、分数和小数都是对数量或数量关系的抽象；二是整数、分数和小数都可以从计数单位与计数单位个数的角度加以认识。数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，有助于学生形成数感和符号意识。然而，对数的概念本质上的一致性，学生理解是有困难的。数学教学重在求联，实现“学一点，见一片；习一题，悟一类”，形成具有整体性、系统性、结构化的“类”知识、“大观念”，从而有效培养学生的数学核心素养。

近日，有幸观摩了全国著名数学特级教师——徐斌执教的一节六年级复习课“数的认识”，深感震撼。整节课，徐老师紧扣核心概念，通过前后知识的整体关联，构建知识网络，带领学生在知识复习中深度理解数的概念本质上的一致性。

一、联结：在以核心概念为锚点的知识网络建构中感受一致性

徐老师认为，在“数的认识”中，核心概念是计数单位及其累加。无论是整数，还是分数和小数，都可以看作是计数单位的累积；所有的整数都可以看作是计数单位1不断累加的结果，所有的分数和小数都可以看作是计数单位1不断细分的结果。因此，教师教学时应牢牢抓住计数单位这个核心概念，引导学生结合计数单位、计数单位的个数来理解数的意义，感悟数的概念本质上的一致性。

1.从数的形成与发展的意义中进行联结

数学学习是教师带领学生与数学真实相遇的过程，也是学生探索数学知识，最后自主建构新知的过程。六年级复习课“数的认识”是基于学生已有的知识经验基础上对数的再认识，教师要引导学生正确理解数的科学本质和科学属性，以构建“知识网”“意义网”，明确数产生的意义。

课堂上，徐老师先出示关于苏州园林的自编教材（见图1），引导学生阅读。

师：阅读这段材料后，你有什么感觉？

生1：看到了很多的数。

师：这些数学过吗？你能把它们分分类吗？

生2：可以把这些数分为整数、分数、小数三类。（徐老师引导学生从整数开始分类梳理，展开自主探究）

师：（出示9、517、8337、6602000000这4个数）任选一个数，先自己读一读，再想一想这个数的组成，最后表示出这个数。（反馈交流时，徐老师引导学生的思维聚焦到计数单位上，使他们发现这些数都可以用“计数单位×个数”来表示，从而找到整数的相通之处）

师：刚才资料中的6602000000，为什么选择研究的人不多呢？（学生思考）

师：用计数单位个、十、百、千无法表示出这个整数，计数单位不够了，怎么办？

生3：要继续增加新的计数单位。（徐老师逐步出示数位顺序表，通过数位扩展，让学生感受数的形成和发展）

通过以上梳理整数的环节，学生明白：数系的扩充源自记数的需要，从计数单位1开始，先由10个一累加得到1个十，再10个十累加得到1个百，然后10个百累加得到1个千……进而能得到整数的所有计数单位与数位；分数和小数的扩充源自平均分物时，所分出的部分无法用自然数表示，为了表述物体中的部分，就产生了分数和小数。在数位顺序表中，个位是具有代表性的数位，它既是学生认识的第一个计数单位和数位，又是其他计数单位和数位产生的基础。

在梳理完整数的意义后，徐老师以单位“1”为联结点，引导学生细分单位“1”，使学生明白这样可以得到分数和小数的计数单位的十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……这样，从整体上可以看出分数和小数的意义同样是借助“计数单位×个数”来表示，所以分数、小数与整数的意义是一致的（见表1）。

2.从数的呈现与表达中进行方法联结

“数的认识”包括数的抽象表达、数的大小比较等内容。复习课上，徐老师注重引导学生用多种方式来表示数的大小。如梳理整数8337（见图2）时，徐老师引导学生在读数、写数、画数等多种表达方式中展示出对数的认识程度。这样通过图像表征，将数学概念可视化，有助于学生体验数的递增性，感悟数与数之间的关系。复习分数和小数时，徐老师则让学生在数轴上找到相应的分数和小数，应用数的经验，在意义建构中思考怎样用数来表达，构建新的认知。

二、生成：在以任务单为载体的认知结构进阶中感受一致性

数学新课标指出：“课程内容组织。重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。”整数、小数、分数的计数单位，都是度量数的大小的单位。也可以说，计数法是基于数的计数单位和个数，用符号对数进行表示。因此，对数的概念的理解，能够促进学生数感和符号意识的发展。

1.基于学生认知经验的递进式任务设计

斯苗儿老师认为，从整体视角对教学内容进行结构化重组，教学设计逻辑需要把学科科学逻辑和学生思维逻辑结合起来进行考虑，使学习由碎片化学习转变成整体性学习，思维结构由散点分布发展成系统结构。为此，基于学生已有的认知经验，徐老师设计三个递进式任务，引导学生经历数的意义再抽象的过程，形成系统的认知结构，并在此过程中感悟数的概念本质上的一致性。

任务一：整数的梳理

我选的数是（               ）。

（1）读：自己读一读。

（2）想：这个数的组成。

（3）画：表示出这个数。

任务二：分数和小数的梳理

[35]          1.75

（1）说一说：上面各数表示什么，是怎样组成的。

（2）找一找：在数轴上找到这两个数对应的点。

任务三：整数、分数、小数之间关系的梳理

（1）小数和分数之间有什么关系？

（2）整数和小数之间有什么一致呢？

（3）整数、小数、分数三者之间有什么内在一致性呢？

复习课的教学目标之一是引导学生对已学的知识进行整理和概括，将零散的知识点串联起来，形成完整的认知结构。通过设计学习任务，促使学生采用自己理解的方式呈现出不同的认知结构，以培养学生思维的创造性，加深学生对已学知识的理解与记忆。

2.从具象到抽象的学习工具的进阶性选择

认识数的重点是使学生经历“形象直观—半抽象—抽象”的探究过程，而抽象提炼离不开学具的支持。“数的认识”这节课，学具的选择正是体现了这样的思考：计数器表示整数，数位顺序表表示整数和分数，数轴可以把整数、分数和小数全部归在一起。这样，学生在自主参与中经历认知结构逐步完善的发展过程，深化了对数的概念本质的理解，最终形成如下的思维导图（见图3）。

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图3 “数的认识”教学的思维导图

通过思维导图，可以清晰地展现出整数、分数、小数的概念本质上的一致性。这样教学有助于学生将计数单位这一核心概念联系起来，且整数、分数、小数的计数单位还可以组成一个比较完备的十进制系统，促使学生对数的认知不断向纵深发展。

三、迁移：在以问题链为线索的课堂整体评练中感受一致性

数学学习不仅是获取知识、形成技能的过程，更是发展思维、感悟数学思想方法的过程，而问题链的设计是一个很好的抓手。如在本复习课教学中，学生虽然理解了计数单位1，但用计数单位对数进行分类的经验还不足，故而没能勾连起数整数的经验。因此，教师要打破知识壁垒，通过问题链，以联系、整体、全局的视角，将学生的思维一步步引向深处。这样能促进学生对所学知识的有效迁移，感悟数的概念本质上的一致性，培养学生的数感。

1.促进学生主动链接的问题驱动

在复习过程中，学生的学习体验是从“一”到“多”、从“多”到“类”的不断累加的过程。“数的认识”这节复习课，徐老师用问题串联起了整节课的教学。

问题（1）：怎么复习？

生1：从最基础的知识开始复习。

师：如果知识点一个一个地重新学一遍，一节课时间够吗？

生2：不够，应该从最重要的知识开始复习。

问题（2）：数有什么价值？有了这些数，你能怎么样？

生3：可以比大小。

生4：表示关系。

问题（3）：有了整数，为什么还要有分数？有了分数，为什么还要有小数？整数、分数、小数之间有什么关系？

……

以上问题链的设计，帮助学生梳理数的发展过程。在交流互动的过程中，学生厘清了数之间的关系：小数是特殊的分数，在意义上与分数是一致的，但在表达方式上借助了整数的十进制，所以小数也被称为十进小数，如十分之几可以写成一位小数、百分之几可以写成两位小数等；整数的计数单位和小数的计数单位是一致的，都遵循十进制；整数、小数、分数都有计数单位，都可以看作对计数单位进行思维操作的结果，都可以用“计数单位×个数”来表示。

问题的讨论，促使学生关注概念的发生、发展和构建过程，厘清概念之间的关系，最终形成以核心概念为统领的结构化认知。

2.促进学生主动迁移的练习设计

数学新课标强调，数学课程要培养的学生核心素养，主要包括“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”三个方面。“数的认识”这节复习课教学，徐老师通过快问抢答的形式，引导学生在层层深入的过程中学会了有逻辑地思考、有系统地推想、有依据地表达，明白了数是怎样产生的，丰富了学生对数的认知。

拓展（1）：4-2=2   3-2=1   2-2=0   1-2=？

师：1-2，产生了一种新的数，即负数。减法算着算着就产生了负数，有了负数，减法就畅通无阻。

师：（出示数轴）负数在哪儿？

拓展（2）：12÷3=4 6÷3=2 3÷3=1 1÷3=？

师：1÷3产生了分数，为了表述物体中的部分就产生了分数。

拓展（3）：4²=16    3²=9    2²=4    ？²=2

师：这里，？²=2，会产生什么数？

……

本节复习课教学，徐老师基于整体的思维，通过多样化的方式引导学生进行复习，梳理数的认知，关联数的概念本质上的一致性。这样，学生经历了知识再创造和数学化的过程，沟通了整数、小数、分数的联系，使之成为一个整体。

数学概念是用数学语言和符号揭示事物共同属性的思维形式。概念是在抽象、概况基础上形成的，概念结构中内隐的本质属性需要不断强化，而符号化是为了实现语言表达和有序思考的需要，以达到对数学概念本质内涵理解的逐层深化。计数单位统领了数的意义、读写、大小比较等。研究数的概念，最终聚焦到计数单位及其个数的研究上，从而感悟数的认识具有一致性。无论研究整数、分数还是小数，都是通过数的意义、读写、大小比较等视角来研究的。可见，数的认识具有整体性。本节复习课教学，通过多角度沟通联系，从整体的视角对数的认识进行分析、系统梳理，从而达到联结成网的目的，实现数概念的结构化学习，让学生理解数的概念本质上的一致性，提升了学生的数学核心素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 郭华.落实学生发展核心素养 突显学生主体地位：2022年版义务教育课程标准解读[J].四川师范大学学报（社会科学版），2022，49（4）：107-115.

[3] 王海静.慢养数学：小学生数学求异思维发展之我见[J].数学教学通讯，2016（7）：8-9.

（责编 杜 华）