中学伯努利原理教学应明确的几个问题

摘   要：基于伯努利方程的本质，厘清了当前中学阶段伯努利原理教学中存在的几个困惑，指出了错用伯努利原理的几种典型现象，纠正当前的一些错误认识。

关键词：伯努利方程；机械能守恒；流线；压强

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2025）2-0065-4

伯努利方程是丹尼尔·伯努利（Ｄａｎｉｅｌ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１７００—１７８２）在１７２６年推出的理想流体定常流动能量方程，是流体力学的基石之一。中学阶段的教材只是通过观察一些现象来归纳出这个原理，即“流体在流速大的地方压强小，流速小的地方压强大”，但伯努利原理的本质和适用条件并没有在教材中明确给出，使得中学阶段伯努利原理教学中仍有一些尚待厘清的问题。在此，经查阅资料，对一些典型问题进行了阐释。

１    为什么流速大压强就会小

伯努利原理是基于伯努利方程得出的，而伯努利方程是根据机械能守恒定律推导出的。如图１所示，对于在流管内流动的理想流体，如果流体机械能守恒，则在流管的前后两处有

p1+ρv+ρgh1=p2+ρv+ρgh2

这就是伯努利方程，方程中ｐ1、ｐ2表示流体前后两处的静压，ｖ1、v2表示相应的流速，h1、h2表示流体前后两处的高度，ρ表示流体的密度。伯努利方程也可以表达为

p+ρv2+ρgh=C

式中，Ｃ表示常数。当流体的高度变化可以忽略时，伯努利方程就变成了

p+ρv2=C

由此方程便可得出“流体在流速大的地方压强小”，人们习惯将此规律称为伯努利原理。因此，之所以流速（ｖ）大压强（ｐ）就会小，是因为无重力外的其他外力对流体做功时，等高流动的流体机械能守恒。

２    “流速”大小的参照物是地面吗

课本并未强调所谓的“流速”究竟是以什么为参照物。不少师生认为，根据初中教科书的定义，如果没有特别说明参照物，那么参照物通常选地面。然而，这种观点经常会产生矛盾。例如，在高速行驶的车内进行图２所示的实验，会发现以地面为参照物，B处水流速度小压强也小，这就出现矛盾了。之所以说B处水流速度小，是因为整个装置原本都随车一起高速向左运动，B处水管更窄水会加速（速度小于车速），反而会使得B处水流相对地面的速度小于A处和C处，但B处液柱最低又说明B处压强最小。之所以出现这种矛盾，是因为不能将“流速大压强小”中的“流速”理解为流体相对于地面的速度。那么“流速”大小的参照物究竟是什么呢？

事实上，根据伯努利方程的本质，可以得出“流速”的参照物不是地面，而是流线本身。在运用伯努利原理分析现象时，只能针对同一条流线前后比较流速的大小，因此流速的比较只有相对于同一流线上的不同位置才有意义。例如，对于图３中的理想流体，流体从Ａ１处流到Ａ２处，机械能守恒；因为Ａ２处流体的流速比Ａ１处更大，所以Ａ２处流体的压强比Ａ１处小。倘若将Ａ２处液体的流速与其他管道内的流体比较，则无法得出压强的大小关系。

３    为什么压强的测量要在流体的“侧面”

流体向各个方向都会产生压强，那么所谓的“压强小”，究竟应该是流体哪个位置的压强小呢？通常认为流体“流速大压强小”中的“压强”指的是流体“侧面”（图４中Ａ处）的压强，而非流体“正前方”（图４中Ｂ处）的压强。这种经验与实际符合得比较好，但其本质原因是什么呢？

事实上，伯努利方程中ρｖ２指的是单位体积流体的动能，也可以表示为动压，即把定向流动的流体速度减为零时动能转化成的压（压力势能）。图４中Ａ处（流体的“侧面”）测得的压强是静压（ｐ），Ｂ处（流体的“正前方”）测的则是静压（ｐ）和动压（ρｖ２）的总和，称为总压（也称全压）。皮托管（又称空速管）是测量气流总压和静压以确定气流速度的一种管状装置，不少飞机上都安装了此装置。图５所示为皮托管原理图，Ａ处测的是总压，Ｂ处测的是静压，总压与静压之差就是动压，根据动压的大小即可推出流体流速的大小。

根据p+ρｖ２=C，可得伯努利原理的本意是流速（ｖ）大的地方静压（ｐ）小。因此，“流速大的地方压强小”中的压强指的是流体“侧面”（图４中Ａ处）的压强（静压），而不是流体“正前方”（图４中Ｂ处）的压强（全压）。

４    “流速大”和“压强小”的因果关系是什么

伯努利方程是一个描述流体状态方程的表达式，其中包含了流速、压强和高度三个状态量。伯努利方程中ρｖ２和ρｇｈ以及ｐ可以看成是三种能量，ρｖ２是单位体积流体的动能，ρｇｈ是单位体积流体的重力势能，ｐ除了表示静压外还可以表示单位体积流体的压力势能。当理想流体无黏、定常流动时，流体的动能、压力势能和重力势能组成一个“不变量”，而伯努利方程体现的就是这种机械能守恒的关系。

不少教师经常把“流体在流速大的地方压强小”错误地理解成“因为速度大，所以压强小”，然而这一因果关系并不是伯努利原理的本意。伯努利原理只是对流体机械能守恒现象的定性描述，其本身并不涉及任何因果关系。虽然可以用伯努利方程根据一个量计算出另一个量，但这种计算关系本身并不涉及任何物理上的因果关系。不能简单地将流速和压强的变化归因于彼此。事实上，这两个量的变化是同时发生的，而不是一个量导致另一个量的变化［1］。

对于“流速大”和“压强小”的因果关系，还可从因果律的本质上进行分析。因果律与时间有关，“因”在前，“果”在后。“流速大”和“压强小”是同时发生的，因此没有因果关系。

５    伯努利原理的微观本质是什么

从微观角度分析，压强是由分子的无规则运动撞击容器壁产生的（图６）。若流体在机械能守恒的情况下宏观流速增大，那么就会有一些分子不再撞击容器壁，而是沿特定方向移动，或者说分子的无规则运动变得“整体”上比原来有序了（图７），此时分子对容器壁的撞击就会“整体”上减弱，宏观上看就是对容器壁的压强减小了。

６    伯努利原理任何情况下都成立吗

伯努利方程是一个基于机械能守恒定律推导出的流体动力学方程，并非任何情况下都成立。只有流体的机械能守恒时伯努利原理才成立，可将伯努利原理的限制条件归纳为以下四点。

（１）同一流线。即只能根据速度的大小得出同一流线上不同位置的压强大小关系，不能直接跨流线进行比较。

（２）不可压缩。即流体必须是不可压缩的，如果流体可以压缩，那么在流动过程中，压力做的功将会有部分转化为内能，流体的机械能不再守恒，伯努利方程也不再成立。

（３）无黏滞性。即流体的黏滞性必须可以忽略，如果流体的摩擦效应或黏滞性效应不可忽略，那么在流动时机械能将会发生变化，伯努利方程也就不再成立。

（４）定常流动。即除了流体本身的压力和重力之外的力不能对流体做功，否则流体的机械能就不再守恒［2］。

因此，伯努利原理的完整表述应当为：对于定常流动的理想流体，当高度变化可以忽略时，同一流线上流速大的地方压强小［3］。

现实中有相当多的现象其实并不满足以上条件，此时伯努利原理不成立。一个经典的例子就是台风，图８是典型强台风的风速与气压分布图，以地面为参照物，台风的中心流速和压强都最小，并不满足伯努利原理。

中学阶段教学中，忽略伯努利方程的适用条件而错用伯努利原理的现象较为广泛。例如，图９中对着纸条上方吹气，纸条会飘起来；图１０中对着硬币上方吹气，硬币会“跳”到杯子里；图１１中对着杯子上方吹气，乒乓球会“跳”起来。这些现象的经典错误解释为：从口中吹出的气流流速大压强小……

事实上，这些例子中伯努利方程根本不成立。图９—图１１中的例子都涉及到“吹气”，人通过肺部做功将空气加速从口中吹出，这个过程中气流的压强保持不变，因为没有发生压力势能和动能的转换。气流因为被肺做功而机械能变大，此时伯努利方程不再成立。只有当气流在自身压差力的作用下加速时，压强才会减小，因为此时压力势能会转化为动能。因此，从口中吹出的气流其气压并没有减小。同时，用伯努利原理解释这些例子时都不可避免地会跨流线比较压强，这些都违反了伯努利方程的限制条件。这些现象形成的原因，都与流体的黏性有关，此处不一一展开。

教师必须具备足够的知识储备，才能给予学生正确的指导。在中学阶段讲解伯努利原理时，虽然可以简化内容，但必须确保所传授的知识准确无误。不能用错误的例子来解释这一原理，更不能扭曲事实或讲解错误。对于不满足伯努利方程的情况切不可用伯努利原理解释，这样才能保证物理学科的严谨性，为学生打下坚实的基础。

参考文献：

［１］任少铎．伯努利方程的本质及机翼升力的教学分析［Ｊ］．物理教师，２０２３，４４（６）：６３－６５．

［２］易文彬，孟庆昌，邓辉，等．伯努利方程教学设计中的若干问题［Ｊ］．力学与实践，２０２１，４３（６）：９６７－９７２．

［３］朱绪力，滕桂荣，陈庆光，等．伯努利定理适用条件分析［Ｊ］．力学与实践，２０１４，３６（１）：９２－９４．

（栏目编辑    蒋小平）