Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在有空气阻力的斜抛运动中的应用

摘   要：在考虑空气浮力和空气阻力的情况下建立斜抛运动理论模型，利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ进行数值模拟，对比有无空气阻力时斜抛运动的轨迹差异，探究抛出角度、抛出速度、质量、阻力系数对斜抛运动水平距离和竖直高度的影响。在此基础上，将构建的模型应用于投篮，得出投中三分空心球的出手角度和出手速度范围，对投篮给出相关建议。

关键词：斜抛运动；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ仿真；空气阻力；篮球运动轨迹；空心球

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）1-0037-4

斜抛运动是学生在学习了平抛运动、运动的合成和分解后一个典型的抛体运动实例。在研究斜抛运动时，学生通常会忽略空气阻力，根据已有的知识和方法，处理斜抛运动关系式。而２０１９年版人教版高中物理必修二在“一般的抛体运动”的“思考与讨论”中提出“炮弹运动时的阻力就不能忽略空气阻力，根据你的推测，炮弹运动的实际轨迹大致是怎样的？”由此可以看出，编者很注重引导学生思考有空气阻力的抛体运动情况，并将其作为课外拓展引入课堂。在实际生活中，学生基本上不会接触到炮弹，但类似的抛体运动却很常见，如篮球运动。虽然篮球在抛出后运动速度比较慢，但其受到的空气阻力不能忽略，且空气阻力与速度满足正比关系：f=-kv［１］。对于存在空气阻力的斜抛运动，其数学关系式比较复杂，求解难度较大。虽然已有研究通过科学仿真计算软件Ｍａｔｌａｂ、仿真实验平台Ａｌｇｏｄｏｏ等模拟出了存在空气阻力的斜抛运动轨迹，也探究了初速度、抛射角对射程和射高的影响［２-３］，但未将研究结果用于日常教学，也未将研究结果用于指导体育运动项目。

本文首先根据理论推导，将有、无空气阻力的斜抛运动轨迹方程进行比对。随后利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件进行数值模拟，探究抛出角度、抛出速度、质量、阻力系数对斜抛运动水平距离和竖直高度的影响，通过数形结合的方法简化复杂的物理过程。最后将所构建的模型用于讨论投篮时的出手角度与速度对三分空心球的影响，并得出投中三分空心球的出手角度和出手速度范围，对篮球这类体育运动给出相关的建议。

１    斜抛运动的理论模型

斜抛运动可分解为水平方向和竖直方向的两个独立运动。当物体的运动速度较低时，其所受空气阻力与速度关系满足f=-kv［１］。

因此，我们把物体受到的空气阻力分解为水平方向的fx=-kvx和竖直方向的fy=-kvy。

对物体分别在水平和竖直两个方向进行受力分析：物体在水平方向只受到空气阻力fx；在竖直方向受到向下的重力mg、向上的浮力ρgV和空气阻力fy。根据牛顿第二定律列出方程

当不考虑向上的浮力ρgV时，（１2）式化为没有空气阻力和浮力时的斜抛运动轨迹方程。

对比（9）式和（１2）式，不难发现，在考虑空气阻力的作用下，物体斜抛运动的实际运动轨迹要比在忽略空气阻力的理想条件下复杂得多，因此研究在空气阻力作用下的斜抛运动显得尤为重要。借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件对存在空气阻力的斜拋运动进行详细的模拟，让学生更加直观、清晰地找到斜抛运动的特点，同时增强学生识图、认图、分析图的能力。

２    Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ数值模拟

２．１    空气阻力对斜抛运动轨迹的影响

利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ求解二阶微分方程（１），分别探究抛出角度、抛出速度、质量、阻力系数对斜抛运动轨迹的影响。为结合实际情况探究斜抛运动，同时激发学生学习斜抛运动的兴趣，我们以篮球为例展开探究，具体分析如下：

（１）控制篮球的抛出速度、质量和阻力系数不变，探究抛出角度对篮球水平距离和竖直高度的影响。设定篮球的抛出速度v0=10 m/s，篮球质量m=0.6 kg，空气对篮球的阻力系数k＝０．５３［５-６］，在此基础上进行数值模拟（图１）。结果表明：当存在空气阻力时，篮球抛出角度越小，抛出的水平距离越远，竖直高度越小；不考虑空气阻力时，篮球抛出角度与抛出水平距离不存在简单的递增或递减关系；篮球抛出的水平距离在没有空气阻力时比存在空气阻力时更远，与具体的抛出角度无关。

在课堂教学中，通过Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ让学生深度理解抛出角度对斜抛运动水平距离和竖直高度的影响。在此基础上，教师提出问题：在其他物理量不变的情况下，抛出速度对斜抛运动的水平距离和竖直高度有什么影响呢？如何探究呢？让学生学会运用控制变量法设计实验方案，同时培养学生分析问题、解决问题的能力。

（２）控制篮球的抛出角度、质量和阻力系数不变，探究抛出速度对篮球水平距离和竖直高度的影响。设定篮球的抛出角度为45°，篮球质量m=0.6 kg，空气对篮球的阻力系数k＝０．５３，数值模拟结果如图２所示。结果表明：在抛出角度为45°时，无论抛出速度如何变化，篮球在没有空气阻力时抛出的水平距离都要大于存在空气阻力时的情况。考虑空气阻力并保持篮球的质量和抛出角度等物理量不变时，篮球水平距离和竖直高度随着抛出速度的增大而增大。

通过Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ的数值模拟，让抽象的物理规律变得形象、具体，让学生感受到了数学软件在物理课程学习中的妙用。

（３）控制篮球的阻力系数、抛出速度和抛出角度不变，研究质量对篮球水平距离和竖直高度的影响。设定篮球的抛出速度v0=10 m/s，篮球抛出角度为45°，空气对篮球的阻力系数k＝０．５３，数值模拟结果如图３所示。结果表明：当存在空气阻力且其他物理量不变时，随着篮球质量的增大，篮球做斜抛运动的水平距离和竖直高度也随之增大。

（４）控制篮球的质量、抛出速度和抛出角度不变，研究阻力系数对篮球水平距离和竖直高度的影响。设定篮球的抛出速度v0=10 m/s，篮球质量m=0.6 kg，篮球抛出角度为45°，数值模拟结果如图４所示。结果表明：保持其他物理量不变，篮球做斜抛运动的水平距离和竖直高度随着阻力系数的增大而减小。

由以上模拟可知，斜抛运动的水平距离和竖直高度与抛出角度、抛出速度、质量、阻力系数都有关。根据上述数值模拟分析的结论引导学生提出问题，既然篮球是斜抛运动，说明水平距离和竖直高度也受上述因素的影响，你能用类似数形结合的方法研究投篮手投篮角度和出手速度对三分空心球的影响，找到三分空心球最易得分的条件吗？在教学中，鼓励学生通过所学知识解决真实情境问题。

２．２    三分空心球出手角度和出手速度的关系

以篮球中得分较难的三分空心球为例，在三分线上篮球运动员距篮筐中心的水平距离为５．６７５ ｍ，篮筐距地面的垂直高度为３．０５ ｍ，假设运动员出手高度为１．７０ ｍ。篮球出手后，考虑球心落点偏离篮筐中心１０ ｃｍ，从篮筐距离地面高度开始到上移１０ ｃｍ为空心球球心落点区域。所以，球心落点与投篮运动员的水平距离范围为[5.575，5.775]（单位：ｍ）、高度范围为[3.05，3.10]（单位：ｍ）的区域为空心球区域（图5）。

利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ求解二阶微分方程（１），在空心球区域范围内利用数值模拟得到影响三分球的抛出速度与抛出角度关系图（图６）。投中三分球的抛出速度与抛出角度并未呈现出单一的线性关系。抛出角度在[15°，45°]范围内时，抛出速度随抛出角度的增大而减小；抛出角度在[45°，75°]范围内时，抛出速度随抛出角度的增大而增大。且在抛出角度为[15°，25°]时，抛出速度随抛出角度的增大而骤减；在抛出角度为[65°，75°]时，抛出速度随抛出角度的增大而骤增。投中三分球的最佳抛出角度为[25°，65°]，最佳抛出速度为[13.3，14.2]（单位：ｍ／ｓ）。投中三分球最低的抛出速度为１１．３ ｍ／ｓ，对应的最省力范围位于抛出角度[40°，45°]。

将所学的知识用以指导生产生活是知识的一种重要转化，是教学多维度目标的一种重要的体现［７］。针对篮球训练，采用Mathematica对所构建的理论模型进行模拟分析，得到投中三分空心球的出手角度和出手范围，科学指导学生的篮球训练，对体育教师的教学起到一定的辅助作用。同时，将物理与体育学科结合起来，实现跨学科教育。

３    结  语

通过在斜抛运动中考虑空气浮力和空气阻力建立理论模型，对比有无空气阻力时斜抛运动的差异。并使用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ进行数值模拟求解，利用控制变量法，得到抛出角度、抛出速度、质量、阻力系数对斜抛运动水平距离和竖直高度的影响。以此理论模型为基础，在考虑空气阻力的情况下，模拟得到投中三分空心球的出手角度和出手速度范围，为体育教师科学指导篮球训练提供参考。同时，将理论知识用于解决实际问题，激发学生的学习动力，鼓励学生将所学知识迁移到具体的应用中，提高学生物理建模的能力。

参考文献：

［１］张金荣，张春秀．斜抛运动在空气阻力ｆ＝－ｋｖ情况下的研究［Ｊ］．新课程，２０１８（１）：１００．

［２］郭雪鹏．考虑空气阻力与速度平方成正比的斜抛运动［Ｊ］．物理通报，２０１７（６）：６３－６６．

［３］李广富，南亚亚，何婧，等．基于Ａｌｇｏｄｏｏ对不同情况的斜抛运动研究［Ｊ］．物理通报，２０２２（１）：５４－６０．

［４］殷仁勇．物理奥赛抛体问题的处理与运用［Ｊ］．物理教师，２０１９，４０（１１）：９５－９6，封3．

［５］李武钢，张彬玲．基于信息技术测量篮球的空气阻力系数［Ｊ］．物理与工程，２０１２，２２（３）：３１－３３．

［６］汪普健．基于仿真技术测量篮球投篮时空气阻力系数的探究［Ｊ］．电子测试，２０１４（S２）：４９－５０，６０．

［７］赵绍明，杨大湖，江维源．ＳＴＥＭ理念下高中物理深度学习教学设计——以“探究斜抛运动”为例［Ｊ］.物理教师，２０２２，４３（２）：２３－２５，３０．

（栏目编辑    邓   磊）

收稿日期：2023-06-28

基金项目：遵义师范学院一流课程（金课）培育项目“科学课程与教学论”（JKPY017）。

作者简介：黄启洪（1989-），男，副教授，主要从事理论物理、物理教育教学研究。