转换参考系 让规律可视化

收稿日期：2023-09-23

基金项目：云南省教育科学规划立项课题“基于学习进阶的物理可视化体系的开发与利用研究”（BFCZ2038）；保山教育研究院立项课题“基于物理核心素养的本土化命题实践”（bsjjt001）；保山教育研究院立项课题“指向学科融合的物数双科教学模式构建”（bsjjt002）。

作者简介：蒋金团（１９８４-），男，中学高级教师，主要从事高中物理教学工作。

摘   要：通过转换参考系，巧妙寻找出小球与圆盘多次碰撞后的运动规律，并用流程图和坐标轴将规律可视化，结合等差数列的知识，巧妙突破问题的难点所在，提升学生的学科素养。

关键词：参考系；可视化；弹性碰撞；竖直上抛运动；等差数列；动量定理

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）4-0050-4

２０２３年全国乙卷物理压轴题以小球和薄圆盘在长直圆管内的多次弹性碰撞为背景，考查动量守恒定律、机械能守恒定律和竖直上抛运动等知识的综合应用。从知识点的角度来看，此题涉及了动量观、能量观和运动观，体现了核心素养中的物理观念；从运动过程的角度来看，本题涉及了竖直上抛运动的处理方法及追及相遇模型的建构。答题时需要用基本规律计算出每次碰撞后的速度及位移，进而用不完全归纳法寻找出模型对应的运动规律，体现了核心素养中的科学思维。该题是以核心素养为导向的优质试题，值得细细品味。

１    试题呈现

如图１，一竖直固定的长直圆管内有一质量为Ｍ的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为ｌ，圆管长度为20l。一质量m=■M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为ｇ。求：

（１）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；

（２）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；

（３）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。

■

图1  题目示意图

解析 （１）过程１：小球释放后自由下落，下降l，根据机械能守恒定律

mgl=■mv■■

解得v0=■

过程２：小球以■与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律

■mv■■=■mv■■+■MV■■

mv0=mv1+MV1

解得v■=■v■=-■

V1=■v■=■

即小球碰后速度大小为■，方向竖直向上；圆盘速度大小为■，方向竖直向下。

（２）第一次碰后，小球做竖直上抛运动。圆盘所受摩擦力与重力平衡，匀速下滑。所以，只要圆盘下降速度比小球快，两者间距就不断增大。当两者速度相同时，间距最大，即v1+gt=V1

解得t=■=■

根据运动学公式得最大距离为

dmax=x■-x■=V1t-（v1t+■gt2）=■=l

（３）第一次碰撞后到第二次碰撞前瞬间，两者位移相等，则有 x■=x■

即v1t1+■gt■■=V■t1

解得

t1=■

此时小球的速度v'1=v1+gt1=■v0

圆盘的速度仍为V1，这段时间内圆盘下降的位移

x■=V■t1=■=2l

之后，第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒定律

mv'■+MV■=mv■+MV■

根据能量守恒定律

■mv■■+■MV■■=■mv■■+■MV■■

联立解得

v2=0，V2 =v0

第二次碰撞后到第三次碰撞前瞬间，两者位移相等，有

x■=x■，V2 t2=■gt■■

解得

t2=■

圆盘向下运动x■=V2 t2=■=4l

此时，圆盘距下端管口长度为１３ｌ，之后两者第三次发生碰撞，碰前小球的速度v'2=gt2=2v0

由动量守恒定律

mv'2+MV2 =mv3+MV3

由机械能守恒定律

■mv'2+■MV■■=■mv■■+■MV■■

得碰后小球速度v3=■

圆盘速度V3 =■

第三次碰撞后到第四次碰撞前瞬间，有

ｘ■＝ ｘ■

即V3 t3=v3 t3+■gt■■

解得

t3=■=t1=t2

在这段时间内，圆盘向下移动

ｘ■＝V3 t3=■=6l

此时，圆盘距离下端管口长度为

２０ｌ－ｌ－２ｌ－４ｌ－６ｌ ＝７ｌ

此时，可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，下降距离逐次增加２ｌ，故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动ｘ■＝8l>7l。

因此，圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为４次。

解法点评 追及问题的实质是寻找追及者与被追及者的时间关系与空间关系。上述解法利用匀变速直线运动规律、动量守恒定律和能量守恒定律分别算出每次碰撞前瞬间和碰撞后瞬间两者的速度，再算出相邻两次碰撞间的位移和时间，这实质是寻找两者的时空关系，因此该解法属于传统解法。但由于小球与圆盘的碰撞次数较多，至少应算出三次碰撞后的位移，才能用数学归纳法探究出该模型隐藏的等差数列规律，这中间涉及较多碰前、碰后速度，过程繁琐，学生容易混淆。该解法没有用表格或图像的形式将题中关键点展示出来，学生思路容易受阻，因此该解法需要优化。

２    模型规律的可视化

维果斯基的“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展［１］。

对于本题来说，大多学生解决第一问的难度并不大，那么如何让学生从第一问的现有水平突破到后面两问的发展水平？本文讨论如下。

２．１    以圆盘为参照物，让碰撞周期可视化

学生心目中有一个熟知的事实：一个篮球从空中自由下落后撞击水平地面，如果两者间的碰撞为弹性碰撞，则篮球反弹后能回到原来的高度。本题中小球撞击圆盘也为弹性碰撞，可取圆盘作为参照物（碰撞前与碰撞后圆盘皆为惯性系），第一次碰撞前瞬间小球相对圆盘的速度为v■=v0-0=■，相对加速度为a■=g-0=g；第一次碰撞后瞬间小球相对圆盘的速度为v'■=v■-V■=（-■）-■=-■，相对加速度为a■=g-0=g。因为v■=-v'■，且相对加速度保持不变，这说明每次碰撞后小球相对圆盘做竖直上抛运动，并且周期性重复。利用下降过程和上升过程的对称性可知，第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离（小球相对圆盘的最大位移）等于小球初位置与圆盘初位置之间的距离ｌ，不用复杂计算便可快速得到第二问的答案。此外，因为碰撞时间极短，相邻两次碰撞的时间间隔都等于“相对竖直上抛运动”的往返时间，即Δt=2■=2■，这也是答题的另一个关键点。

需要说明的是，上述v■=-v'■，也可以用恢复系数e=■=-1快速得到，从而节省时间成本，提高答题效率。

２．２    从动量和冲量的角度研究速度变化的规律

以圆盘为参照物，小球每次碰撞后上升的相对高度相同，说明小球与圆盘间的每次撞击力和撞击时间相同。这点可以进行定量证明，碰撞瞬间圆盘为非惯性系，需对小球附加惯性力，由动量定理得（mg-F-m■）Δt=m（v'■-v■）=-2m■，因为碰撞时间极短，撞击力F远远大于球和圆盘各自的重力，化简得（1+■）FΔt=2m■，即撞击力的冲量I=FΔt保持不变。

转换参考系，取长直圆管作为参照物，以圆盘为研究对象，碰撞瞬间由动量定理（F+Mg）Δt=MΔV，可简化为FΔt=MΔV，因为I=FΔt保持不变， 可知每次碰撞后圆盘速度的增加量相等，第一次碰撞后圆盘速度的增加量为ΔV=V1-0=■，这说明每碰撞一次，圆盘速度增加■，其碰后速度构成等差数列，上述分析可用流程图展示出来，如图２所示。

由流程图可知，第１次碰撞到第２次碰撞之间，圆盘的位移为x■=■t=2l；第２次碰撞到第３次碰撞之间，圆盘的位移为x2=v0t=4l；第３次碰撞到第４次碰撞之间，圆盘的位移为x■=■t=6l；第４次碰撞到第５次碰撞之间，圆盘的位移为x■=2v■t=8l。显然，圆盘的位移构成一个等差数列。将各阶段的位移与几何长度用坐标轴表示出来，如图３所示。由坐标图可知，第５次碰撞的位置在长直圆管外，所以管内共发生４次碰撞。

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图3  圆盘在相邻两次碰撞间的位移

（下转第56页）

（上接第52页）

３    教学启示

利用“转换参考系”得到可视化的模型规律之后，笔者在尖子生培养中渗透相关的方法和规律，在当场试做环节中取得不错的效果。这个事例说明，在平常的教学中，我们应基于学生的认知水平，将复杂的问题转换成学生认知内的问题，并引导学生用图像、图标等方式将复杂的规律“可视化”出来，利用“可视化”规律可快速理清各个物理量和各段过程之间的联系，只有将这些基本思想和基本方法内化为学生自身的素养，他们在考场上才能从容面对，才能实现“现有认知水平”到“可能的发展水平”之间的鸿沟跨越。

参考文献：

［１］韦桂梅．“学习进阶”理论在初中物理课堂教学中的应用［Ｊ］.启迪与智慧（中），２０２０（２）：7.

（栏目编辑    陈  洁）