关于对“线速度”究竟如何定义的思考

摘   要：“线速度”是描述运动的基本物理量，然而“线速度”定义的方法却不唯一，对它的理解也存在偏差，争论的焦点在于定义中用的是“弧长”还是“位移”，进而引发有关“平均线速度”的一系列问题。通过对概念的追本溯源，明确线速度具有瞬时性，是瞬时速度的下位概念；线速度和角速度来源于不同的坐标系，从本源上不是一对共轭物理量，线速度是自然坐标下的表示，逻辑上应该先在极坐标下定义角速度，再通过换算关系得出线速度。

关键词：高中物理；圆周运动；平均线速度；极坐标系；自然坐标系

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）10-0054-3

“线速度（linear velocity）”是国家科学技术名词审定委员会公布的《物理学名词》［1］中“力学”领域的专业术语，《普通高中物理课程标准（2017年版）》在内容要求中明确提出“会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动”［2］，我国各版本高中物理教材都引入了“线速度”概念。然而，“线速度”究竟该如何定义？这个问题一直以来存在诸多争议，在教学中引起了一些混乱和困扰。本文试图从根源上理顺“线速度”定义的逻辑脉络，澄清对基本概念理解上的模糊点。

1    “线速度”定义的两种方法

1.1    第一种方法：弧长与时间之比

1.2    第二种方法：位移与时间之比

2    两种定义方法的依据与缺陷

仔细考量“线速度”定义的两种方法，发现它们既有相应的依据，又都存在难以回避的缺陷。

2.1    “线速度”与直线运动的“速度”

第一种定义方法是类比直线运动速度的定义方法，两者在描述物体运动快慢的方式上是相通的。这种定义方法，首先要考虑如何“化曲为直”，把圆周运动等效转化为直线运动。分析如图2所示的实验装置，转盘边缘的点做圆周运动的快慢，可以通过打点计时器用纸带测量出来，这样就将直线运动定义速度的方式自然过渡到在圆周运动中定义线速度。只是在这种特殊的运动形式中，为了区别于物体绕圆心转动快慢的物理量——“角速度”，将物体圆周运动的速度称为“线速度”。

圆周运动是一种机械运动，即物体空间位置随时间变化。空间位置的变化是位移，而不是路程，描述运动快慢（即位置变化快慢）的物理量是位移与时间之比。用“弧长”这个标量与时间之比来定义“线速度矢量”显得格格不入，让人感觉有点别扭、不自然［6］。况且同一段位移可以对应两段不同的弧长，即使对“线速度”只定义大小，另外说明方向，这也不符合矢量定义的一般规则。既然“线速度与直线运动的速度没有本质区别”，为何要重新定义，而不沿用原来的定义？

按照这种定义方法，只有在匀速圆周运动中才能计算线速度的瞬时值。有的教材先提出“匀速圆周运动”（在任意相等时间内通过的弧长都相等），再定义“线速度”是基于匀速圆周运动，而“匀速圆周运动”又以“线速度的大小处处相等”为前提。各版本教材对“线速度”与“匀速圆周运动”两个概念的定义先后次序不同，逻辑上有差别，这样的处理就有循环定义的嫌疑。

2.2    “线速度”与曲线运动的“速度”

第二种定义方法是沿用曲线运动速度的定义方法，两者在速度矢量定义的方式上是一致的，保持了概念定义的统一性。如图3所示的曲线是某质点的运动轨迹，若质点在一段时间内从A点运动到B点，则质点的位移是由A点指向B点的有向线段，由此定义这段时间内的平均速度。当时间极短趋于0，即B点无限靠近A点时，平均速度的极限值就是在A点的瞬时速度大小，方向沿A点的切线方向。圆周运动是一种特殊的曲线运动，如图1所示，物体位移的大小为的弦长，方向由A点指向B点，于是先定义平均速度，再将平均速度取极限，同时得到线速度的大小和方向。

纵观大学物理教材在描述圆周运动的快慢时都没有提出“线速度”概念，而是直接沿用一般曲线运动的“速度”概念，甚至用矢量定义的“速度”概念不再区分机械运动的具体形式，实现了概念上的连贯性，显示出科学概念的伟大之处在于解释和统一各种自然现象的能力。尽管如此，由于圆周运动具有空间和时间的周期性，运动轨迹会重复，位置的变化被局限在圆周上，位移的大小不超过圆的直径，所以用这种定义方法来描述圆周运动的快慢是没有意义的，不能形象地反映圆周运动的特点，不能直观地描述圆周运动的快慢。而且其中用到了极限的概念，求解瞬时速度时需要用到导数的相关知识，这对数学基础的要求较高。为降低学习难度，各版本高中物理教材都采用第一种定义方法，更加符合学生的认知水平，实际教学中可以视学情而定。

3    “平均线速度”的意义

人教版2010版教材在引入线速度概念之后指出“线速度也有平均值与瞬时值之分”，但后文只解释了“瞬时线速度”就是直线运动中的瞬时速度，这不禁让人产生追问：“平均线速度”是什么？是平均速度吗？平均线速度的意义是什么？按照该教材的定义，用一段时间内的“弧长与时间之比”，定义的不是“平均速度”，而是通常所说的“平均速率”。后来该教材在2019版中作了修订，删去了线速度有平均值和瞬时值的区分，避免学生陷入认知误区和产生学习障碍［7］。

事实上，“平均速率”这个概念的使用也存在一定的混乱，教学中为了区别初中的“速度”概念，强行将其改为“平均速率”并灌输给学生。人教版教材在描述质点的运动时并没有引入“平均速率”，后续出现的这个概念是用来描述微观粒子的运动，例如“大量自由电荷定向运动的平均速率”“分子无规则热运动的平均速率”。查阅大学物理教材，程守洙和江之永主编的《普通物理学（第六版）》在“质点运动的描述”中提及“平均速率”［8］，但从第七版开始却取消了这个概念，其他常见的大学教材也都没有用“平均速率”描述质点的运动。在《物理学名词》［1］中查到了“平均速率（mean speed）”这个专业术语，的确分类在“统计物理学”领域中，说明“平均速率”并不是描述质点运动的专属概念。教学中最好不要将同一概念多次定义，出现多重含义。

机械运动是指抽象的“位置变化”，位移与具体的运动路径无关，平均速度只能粗略地描述运动的快慢，这是平均速度的局限性。然而，瞬时速度的建立必须以平均速度为前提，引入平均速度的价值和意义在于过渡到瞬时速度。对一个过程取极限，就能实现从平均值过渡到瞬时值。

4    从逻辑上定义“线速度”

圆周运动虽然是质点运动模型，不是刚体转动模型，但运动范围限制在圆周轨道上，它的更本质特征是绕圆心转动，因此圆周运动是一种既“动”又“转”的运动，不仅具备曲线运动的性质，还具有刚体转动的特点。刚体绕固定轴转动时，其中每个质点都做圆周运动，并且只有一个自由度（独立变量），欧拉提出用“角度”来确定刚体的位置，因此可以用“角量”来描述圆周运动，与“线量”具有完全相同的地位，而且从“角量”过渡到“线量”更加符合逻辑结构［9］。

另一方面，如果在直角坐标系中用分解的方法研究圆周运动，得到的分运动是用三角函数表达的简谐运动，不像研究抛体运动那样起到“化曲为直”的作用，因此研究圆周运动时一般不采用直角坐标系中的分解方法。匀速圆周运动是在有心力作用下，并且运动轨迹是已知的，通常选择极坐标系或自然坐标系更为方便，这两类坐标系在圆周运动时恰巧存在基矢关联：径向与法向相反，横向与切向重合。由于匀速圆周运动的速度方向总是沿轨迹切线，所以径向和法向均无速度。

参考文献：

［1］物理学名词审定委员会.物理学名词（第三版）［M］.北京：科学出版社，2019.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］张颖，梁旭.普通高中教科书物理必修第二册教师教学用书［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］保罗·齐泽维茨.物理原理与问题（上册）［M］.钱振华，译.杭州：浙江教育出版社，2008.

［5］束炳如，何润伟.普通高中教科书物理必修第二册［M］.上海：上海科技教育出版社，2019.

［6］吴景亮.以弧长与时间比值来定义线速度的理论依据及其利弊［J］.中学物理，2013，31（13）：24-25.

［7］秦笑春，周权.关于“线速度”定义的再讨论及教学建议［J］.物理教师，2014，35（4）：82-83.

［8］程守洙，江之永.普通物理学上册（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［9］王治国.“圆周运动”的教学难在哪里？［J］.物理教学，2016，38（8）：24-25.

［10］何健.从曲线坐标系的建立及其基矢特性的角度看待角速度、向心加速度的物理内涵［J］.中学物理，2018，36（23）：26-29.（栏目编辑    蒋小平）