两种“合成法”求场强正误的根源

摘  要：平行于匀强电场的平面内，已知不共线的三点的电势和空间几何关系，求电场强度，传统的方法是等分找等势点法；若空间几何关系复杂时，等分找等势点法并不具有可操作性，近几年文献中使用了所谓的“合成法”。从物理本质上深入研究和剖析两种不同方向上用“合成法”求场强正误的根源。

关键词：匀强电场；电场强度；等分找等势点法；合成法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）10-0057-2

1    问题的提出

（2017年全国III卷第21题选择题，改编成了计算题）［1］一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a，b，c三点的位置如图1所示，三点的电势分别为10 V，17 V，26 V，求电场强度的大小。

此类题目多次出现在高考试卷中，因此早已形成了解决这类题目的固定解题套路——等分找等势点法：如图2所示，a点电势最低，c点电势最高，因此可以利用等分法在a，c两点的连线上找到与b点等电势的d点，求出d点坐标为 （3.5 cm，6 cm）。连接b，d两点的直线就是一条等势线，过c点作等势线的垂线就是一条电场线，垂足为f。根据几何关系可算得c， f两点的距离Lcf = 3.6 cm，则电场强度的大小为

等分找等势点法的物理意义明显，但计算中要使用更多的几何操作过程，尤其是面对空间几何关系复杂的问题时，这种方法的几何操作和运算量很大。因此，近几年在文献［1-3］中另辟蹊径出现了合成法。

1.1    第一种合成法：互相正交的两个方向上的合成法

在c点合成，如图3所示，c点处沿ca方向和沿cb方向的分场强分别为

则合场强大小为

（3）式与（1）式的结果相同。

但这种利用相互正交的两个方向上的分场强的合成法，是否对任意的相互斜交的两个方向上合成也成立呢？请看b点（或a点）的合成。

1.2    第二种合成法：互相斜交的两个方向上的合成法

在b点合成，如图4所示，根据几何关系可知图中θ=53°，b点处沿ba方向和沿cb方向的分场强分别为

所以，由余弦定理得，合场强大小为

显然，（5）式的结果与（1）式的结果不同。

问题：b点处的上述合成法得到的（5）式及其结果为何错了呢？c点处合成的结果（3）式与等分找等势点法的结果（1）式一致，是巧合还是必然呢？

2    匀强电场中一个通俗结论的理论分析和推导

对此，可引导高中生做如下分析推导，并归纳总结出一个通俗的结论。

【问题驱动】 匀强电场中，沿与场强方向成θ角的直线上任意两点间的电势差与这两点间距离的比值与场强的关系如何呢？

【分析推导】 场强为E的匀强电场中，沿与场强方向成θ角的直线上任取两点A，B，如图5所示。根据高中物理课本中电势差与电场强度的关系“匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积”，则有

【归纳总结】 由图5和（6）式，引导学生总结出一个通俗的结论：匀强电场中，把场强沿任意两点间的连线和垂直于这个连线正交分解时，沿这条连线方向的分场强等于这两点间的电势差与这两点间距离的比值，另一个分场强与这两点间连线垂直。即两个正交方向上的分场强为：Ex=，Ey=，合场强为E=。

3    两种“合成法”求场强正误的物理根源

根据上述通俗结论，（2）式确实是匀强电场的场强沿ca方向和沿cb方向正交分解后的两个分场强，因此由（3）式合成得到正确的场强是必然的，而不是巧合。

至此，搞清了“第二种合成法：互相斜交的两个方向上的合成法——在b点合成”错误的物理根源。之后的修正方案，只是一个数学处理和计算的过程，在此不再赘述。

参考文献：

［1］隆勇，李力.简捷求解一类匀强电场典型问题的解析式［J］.物理教师，2019，40（9）：60-61.

［2］杨清元.对“合成法”求解匀强电场中电场强度的思考［J］.物理通报，2020（S2）：47-49.

［3］杨勇.平面匀强电场的一种解法分析［J］.中学生理科应试，2021（1）：34-36.

［4］赵凯华，陈熙谋.新概念物理教程电磁学（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.