统一坐标法巧解直线运动的追击相遇问题

摘   要：直线运动的追击相遇问题是高中物理常见的运动学问题，此类问题的解决方法虽多，但面对多运动过程时所列方程繁多，计算量偏大，具有一定弊端。拟用“统一坐标法”解决此类运动学问题，通过例题的应用，发现该法能便捷有效地解决此类问题。

关键词：统一坐标法;追击相遇;计时起点

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）7-0062-3

直线运动的追击相遇问题是以生活情景为原型，通过抽象加工处理的一类物理模型。该模型的情境性和综合性较强，对学生的空间想象能力、推理分析能力以及抽象思维能力都提出了较高的要求，是教学的重点、学习的难点。此类问题的研究对象一般为两个物体，加速度恒定不变，是匀变速直线运动规律的情景化应用。水平直线运动的追击相遇问题是该类问题的一般表现形式，针对该类问题的变式有多质点做竖直上抛运动的追击相遇问题和在斜面上运动的追击相遇问题等。

1    当前解决此类问题的主要方法及弊端

（1）物理分析法。此方法过程详细，逻辑严谨，但对于复杂的运动过程列式繁琐，求解过程中需要细心认真以及严密的逻辑思维，某一环节的出错将会导致最终结果错误[1]。

（2）图像法。图像虽可直观、清晰地表现物体的运动情况，正确画出图像后问题就可迎刃而解，但作图考究、繁琐，不规范的作图会对问题的求解产生影响，此外作图需要较多时间才能完成。

（3）数学函数法。利用两物体间的距离s与时间t的函数关系s=at2+bt+c进行求解。此法是数理结合的典型代表，需要将数理方法融会贯通，对数理思维的要求相对较高。该法中间过程繁琐，数理分析相对复杂。

（4）相对运动法[2]。运动和静止具有相对性，合理地选取参考系，会使问题得到简化。相对运动的分析对于逻辑思维要求相对较高，在求解过程中如不能明确物体的相对运动过程及位置关系，将会导致结果出错。

上述是以往解决直线追击相遇问题的常用方法及其弊端，此类求解方法皆是利用质点的位移与时间间隔的函数关系进行求解，需对每一质点的运动逐一讨论，面对复杂的多运动过程，列式繁琐，对于不同质点运动的时间和空间没有统一，这也是此类方法最大的弊端。

2    统一坐标法原理的界定

采用一维坐标系Ox描述质点的直线运动，使坐标轴原点与参考系的参考点重合，坐标轴与质点轨迹重合，则做直线运动质点的位置矢量为

由此可看出，质点的位置矢量随时间变化的过程中位置坐标是时间的函数，位置矢量的矢端与位置坐标相对应[3]。

与此同时，规定某一质点开始运动的时刻作为计时起点。由于时间的流向是单向的，计时起点的规定就相当于时间坐标轴的建立，从而建立了时空坐标系，将时间与空间进行了统一。该时空坐标不仅仅适用于质点的整个运动过程，还适用于不同质点的运动过程，用同一时空坐标即可描述不同质点的运动情况。因此，将该方法称为“统一坐标法”[4]。

3    统一坐标法在直线运动中的应用

在质点做直线运动过程中建立时空的统一坐标描述质点的运动，两质点A、B的时空坐标可分别表示为（xA，tA）（xB，tB），若两质点相遇，则意味着两质点在同一时刻处在同一空间位置，即xA=xB、tA=tB，这就是追击相遇的条件。现用该法求解直线运动的追击相遇案例。

例1 （2017·南昌模拟）如图1所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1=2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2=5.0 m/s2，求：（1）乙车运动多长时间被甲车追上;（2）两辆汽车相遇处距A处的距离。

解  以甲车的起点A为原点，建立Ox坐标系，取沿平直公路向右为正，如图2所示。

以乙车开始向右运动的时刻为计时起点。设甲车为质点1，乙车为质点2，两车均做匀变速运动，其中a1x=2.5 m/s2，a2x=5.0 m/s2。质点1的初始条件为t=-t0=-6 s时，x10=0，v10x=0，其运动学方程为

x1=a1x[t-（-t0）]2=1.25×（t+6）2（1）

质点2的初始条件为t=0时，x20=85 m，v20x=0，其运动学方程为

x2=85+2.5t2（2）

若两物体相遇，则相遇条件为

x1=x2（3）

设相遇时刻为t'，则1.25×（t'+6）2=85+2.5t'2

求得相遇时刻：t'=4 s，t''=8 s

两时刻均有意义，说明两车相遇两次。t'=4 s时，质点1追上质点2相遇（甲车追上乙车），t''=8 s，质点2追上质点1再次相遇（乙车追上甲车）。

第一次相遇点距A处的距离

x'=2.5t'2+85=125 m

第二次相遇点距A处的距离

x''=2.5t''2+85=245 m

对比常规解法：若采取常规方法求解，需要先讨论在甲车开始运动的前t0=6 s内两车是否相遇。经过计算，甲车前6 s的位移为s0=a1t=45 m<85 m，可见前6 s内两车并未相遇且相距40 m。在乙车开始运动时甲车具有速度v=a1t0=15 m/s，此时甲车以速度v=15 m/s、加速度a1=2.5 m/s2追击初速度为零、加速度a2=5.0 m/s2的乙车，然后分别列出两车相应的物理方程，再联立求解。该例题中，质点的运动是多过程的，采用以往的方法求解要对不同运动过程进行讨论，所列方程过多，计算量稍大。

小结 关于坐标原点和计时起点的选取问题。①在选取坐标原点时尽量让所有质点都落在坐标系的正半轴上，质点在坐标系的负半轴上虽可求解，但引入负号会使计算变复杂。②两质点初始运动时刻不同步时选择运动滞后的质点开始运动时刻作为计时起点，方便讨论求解;如果选取先运动质点开始运动时刻作为计时起点，则滞后运动的质点在前一段时间间隔内处于静止状态，那么需要采用分段函数的方式进行讨论，将使得问题的求解更加复杂，也未能体现本法的简便性。③可选取一个质点的初始位置作为坐标原点和该质点开始运动时刻作为计时起点，也可选取一个质点的位置作为坐标原点，另一质点开始运动的时刻作为计时起点。

在该例题中，选取甲车的初始位置A处作为坐标原点时还可选取甲车开始运动时刻作为计时起点，虽可采用分段函数讨论求解，但求解过程繁琐，未能体现统一坐标法的简便性，对于其他的选取方式也是同样不能体现本法的简便性。

例2 在长为200 m的斜面上，一滑轮爱好者以6 m/s的速度和30 cm/s2的加速度从斜面底端滑上斜面，到达最高点折返后加速度大小不变;另一人在前者从底端出发时以7.2 km/h的速度和30 cm/s2的加速度从斜面顶端滑下。求多长时间后两人相遇以及相遇时两人各自走过的路程。

解 建立以斜面底端为原点，沿斜面向上的Ox坐标，如图3所示。以两人开始运动时刻为计时起点。设滑上斜面的人为质点1，另一从斜面顶端滑下的人为质点2。其中a1x=a2x=-0.3 m/s2，初始条件分别为t=0时，x10=0，v10x=6 m/s;x20=200 m，v20x=-2 m/s，则两质点的运动学方程为

x1=6t-0.15t2（1）

x2=200-2t-0.15t2（2）

（1）相遇条件为x1=x2 （3）

设相遇时刻为t'，则

6t'-0.15t'2=200-2t'-0.15t'2

由此求得相遇时刻：t'=25 s，即25 s后两人相遇。

（2）对（1）（2）两式求时间导数，得到两质点的速度方程

v1x=6-0.3t （4）

v2x=-2-0.3t（5）

由此可见，质点1在t''=20 s时速度为零，到达最高点，随后折返向下运动;将t''=20 s代入质点1的运动学方程可求得质点1运动的最高坐标为

x1''=6t''-0.15t''2=6×20-0.15×202=60 m

再将t'=25 s，代入其中一个运动学方程（代入质点1的运动学方程），可求得两人相遇时的坐标为

x'1=x'2=6t'-0.15t'2=6×25-0.15×252=56.25 m

则两人相遇时各自走过的路程分别为

s1=x1''+|x1'-x1''|=60+|56.25-60|=63.75 m

s2=|x1'-x20|=|56.25-200|=143.75 m

对比常规解法：该例题中两质点的相遇可能是在质点1上升的过程中，也可能是在质点1折返后下降的过程中，若采用常规的方法求解需要分别讨论质点1上升和下降的过程，运动过程复杂，列式繁琐，稍有不慎极易出错。采用统一坐标法，在同一时空坐标中描述两质点的运动过程，对于两质点的整个运动过程均适用，使该类问题迎刃而解。

小结 ①统一坐标法在求解追击相遇问题的过程中，利用相遇条件xA=xB，得到关于时间的一元二次方程，通过方程是否有解判断出两质点是否相遇，如方程有解即可求出相遇时刻，若关于t时间的一元二次方程有两个正解，则说明两质点相遇两次（例1）;若有一正解，则相遇一次（例2）;若无解，则不相遇。②部分读者可能会误认为“统一坐标法”就是前文提到的“数学函数法”，将两者混为一谈。两者虽都是数理结合，表达形式相似，但却有着本质的区别。统一坐标法利用时空坐标将时刻和空间位置进行了统一，把质点运动对应的位置坐标看作是时间的函数，从而对不同质点的运动进行描述;而“数学函数法”和以往的其他方法则是利用质点运动的时间间隔和空间位移关系描述质点的运动情况，仅描述单一质点的运动情况，对于多个质点的运动要分别进行讨论。

4    总  结

通过对使用统一坐标法求解直线运动的追击相遇问题的归纳、概括，发现该法能够便捷有效地解决此类问题，尤其是非单一运动过程、物理方程过多、计算量大的追击相遇问题。从以上两个颇具代表性的例题中可以看到，仅仅只需要列出质点的运动学方程、利用相遇条件即可求解直线运动的追击相遇问题。但值得注意的是，位置坐标和计时起点的选取问题，两者的选取遵循简便计算的原则，根据具体条件灵活选取。与解决直线运动的追击相遇问题的常规方法相比，“统一坐标法”具有一定的优势，该法巧妙，简便有效，是数理方法结合的典型代表。“统一坐标法”巧妙地利用了数学工具，将物理问题转化为数学问题，实现了数学知识的迁移，优化了解题的程序，对启发学生积极思考，多学科知识交叉融合，有积极的意义。

参考文献：

[1]刘玲.例析追击和相遇问题的解题思想和方法[J].中学物理，2013，31（12）：66-68.

[2]万冬雪.3种方法完解追击相遇问题[J].高中数理化，2012（13）：59.

[3]漆安慎， 杜婵英.普通物理学教程 力学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[4]管靖，张英，杨晓荣.普通物理学教程 力学（第二版）学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2009.

（栏目编辑    蒋小平）