一道“小船渡河”问题的讨论

摘   要：从一道“小船渡河”问题出发，分析学生的错误解法，深入讨论学生在“匀变速直线运动”及“运动的分解”相关问题上的理解误差，得出该题可以作为一道典型例题加深学生对相关知识点理解的结论。

关键词：小船渡河;匀变速直线运动;运动的分解

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）9-0055-3

物理知识的巩固和物理观念的形成离不开物理题的训练，特别是一些模型典型、知识涉及广泛的好题，更能促进学生在知识巩固、观念形成的基础上，进行正确的知识应用。高一下学期的学生，处在一个物理观念初步形成而又一知半解的阶段，学习必修一中的匀变速直线运动、牛顿运动定律等内容后，在必修二首先遇到的是运动的分解。笔者在教育实习的过程中，发现一些学生对“分运动”的独立性理解也不够深刻，这里选取一道“小船渡河”的题目可加深学生在此方面的理解，并就匀变速直线运动相关知识展开讨论。

1    问题的提出

如图1所示，河宽为800 m，河水由西向东流，河中各点到较近河岸的距离为x，各点的水流速度大小为v■，且v■=■x （m/s）（x的单位为m）。小船在静水中速度大小恒为v■=4 m/s，保持小船船头垂直河岸并由南向北渡河，则下列说法正确的是

A.小船渡河时运动的轨迹为直线

B.小船在河水中实际运动的最大速度是5 m/s

C.小船渡河所用时间是160 s

D.水流速度变化，无法确定小船到达对面的位置

“小船渡河”的问题，学生常常在必修二学习运动的分解时遇到。作为与实际生活紧密联系的实例，该类型的题目一直是新授课和复习课的重难点，考频较高的是渡河最短时间、渡河最短位移等，解决的方法一般是运动的分解。分析该题的题干，可得出其难点在于水流速度是随到较近河岸的距离变化的。

由于小船的船头垂直于河岸，而渡河时间由小船垂直于河岸方向上的分速度决定。因此，渡河时间由河宽除以该分速度得到，即t■=■=200 s。故C选项错误。

小船渡河的运动轨迹为合运动轨迹，由于水流速度大小随到较近河岸的距离变化，而小船本身速度不变，如图2所示。由平行四边形定则可知水流速度和小船速度的合速度方向改变，因此合运动轨迹不是直线。故A选项错误。

由水流速度公式可知，当小船处于两岸中点时，水流速度最大，为3 m/s，再由平行四边形定则可知，合速度为5 m/s。故B选项正确。

该题最值得讨论的是D选项。题目交代水流速度与到较近河岸的距离有关，又因为小船本身的速度是垂直于河岸的，这一分速度又是恒定的，因此小船到河岸的距离是随时间均匀变化的，表达式为

x=v■t（t<100 s）800-v■t（t≥100 s）

则可写出水流速度与时间的关系，即

v■=■x=■t（t<100 s）6-■t（t≥100 s）

由此可知，其实平行于河岸方向，小船的分运动是一个先匀加速、再匀减速的直线运动，中间时刻即第100 s所对应的速度为3 m/s，该速度是前半段的末速度，同时也是后半段的初速度，而在河岸处水流的速度都为零。根据匀变速直线运动的规律，v■=v=■，可得前半段和后半段的平均速度均为1.5 m/s，进而求得沿着河岸方向的位移为

x=v（t■+t■）=1.5 m/s×（100 s+100 s）=300 m

即到达河对岸的位置为下游300 m处。

2    问题的讨论

部分学生在课堂中对D选项提出了这样的解题方法：因为水流速度是随到较近河岸的距离均匀变化的，而小船处于距岸400 m时水流速度为3 m/s，该速度是前半段的末速度，同时也是后半段的初速度;又由于整个过程初速度和末速度都为零，即可得前半段位移和后半段位移的平均速度均为1.5 m/s，则同样可以求得沿着河岸方向的位移为300 m。

乍一看，该做法与前述做法较为相似，并且更简洁明了。但是，物理的解题必须有其物理道理，绝不可轻易创造规律，否则容易导致差之毫厘、谬以千里。分析该做法，其关键问题在于，水流速度随到较近河岸的距离均匀变化，则由此得出平均速度。透过这种做法，我们可以看到这些学生对于公式、甚至最基本的物理观念的理解及运用都是错位的。追根溯源，该题可以针对以下两个知识点对学生展开巩固。

2.1    对“匀变速”的理解

首先，何为匀变速直线运动？学生在学习必修一的时候，就已经深入地研究过，匀变速直线运动是速度随时间均匀变化，而非速度随位移均匀变化。伽利略在思考自由落体运动的问题时，认为简单的运动速度必然是均匀变化的，但是速度是随时间还是位移均匀变化需要考虑。现在，我们把速度随时间均匀变化的运动称为匀变速运动，而速度随位移均匀变化的运动称为“另类匀变速运动”[1]。这两个运动是完全不一样的，前者是学生所熟悉的，对应了高中部分非常重要的物理量——加速度，而后者学生较为陌生，但其实高中阶段也是存在这样的运动的。比如，物体在运动时受到的阻力与速度成正比，即f=kv[2]。分析这一运动，由牛顿第二定律可得该物体运动的加速度为a=■v，为了求得速度的变化量，对等式两边求时间上的累积，■aΔt=■■vΔt，可得Δv=■Δx，也就是速度的变化量与位置的变化量成正比，即速度随位移均匀变化，也就是“另类匀变速直线运动”，可定义“另类加速度”A=■。

那么，回到该题，学生将“匀变速直线运动”的规律应用到“另类匀变速直线运动”是否可行呢？我们通过类比进一步探究其规律。针对“匀变速直线运动”中存在v■=v=■，那么“另类匀变速直线运动”中是否存在v■=v=■呢？最直观的方法是求得v-t图像。由A=■，取初始位置x=0，可得A=■，即vx=v0+Ax。取一小段位移dx，可认为dx=vxdt=（v0+Ax）dt，则dt=■，两边积分得t=■■=■1n（v■+Ax）■■=■[1n（v■+Ax）-1nv■]=■1n■=■1n■[1]，得■=eAt，所以vs=v0eAt。该式即为“另类匀变速直线运动”的速度随时间变化的表达式，其对应的图像如图3所示。

由图3可知，当A<0时，加速度a随时间减小;当A>0时，加速度a随时间增大，且速度并不随时间均匀变化。在图像中，取A<0部分（A>0同理）的两点（t1，v1）和（t2，v2）并连接，则线段所对应的图像表示的即为匀变速直线运动的图像，如图4所示。

由于v-t图像的面积是位移x，比较直线与曲线在（t1，v1）和（t2，v2）两点间包围的面积，显然不一样，即位移不同，因此平均速度也不同。又因为在直线上有v■=■，所以曲线上v■≠■。也就是说，对于“另类匀变速直线运动”，不存在平均速度等于始末速度之和的一半。至此，可以发现部分学生的做法是错误的，“张冠李戴”，其原因是对“匀变速直线运动”速度如何均匀变化理解不清。再分析这道题，学生之所以能“负负得正”，是因为该题存在另一个垂直于河岸的位移随时间均匀变化的条件，从而可得出垂直于河岸方向其实是一个匀变速直线运动。

2.2    对运动的分解的理解

该问题讨论到此，又出现另一个问题，那就是学生本以为这是一个“另类匀变速直线运动”，结果通过计算及数据分析发现这竟然是一个“匀变速直线运动”。根据图4，我们可以清楚直观地看到，绝不可能存在一种运动，它的速度既随时间均匀变化，同时也随位移均匀变化。那么，学生为什么会误以为这是一个“另类匀变速直线运动”呢？其实这是运动的分解理解不清所导致的。运动的分解可以将一个复杂的运动分解成不同方向上的互不干涉的独立运动。为方便学生理解和解决问题，该题将合速度分解为沿着河岸和垂直于河岸的速度，两个分速度相互垂直，互不影响。而题目中给出的速度随位移均匀变化，是平行于河岸方向上的分速度随垂直于河岸方向上的分位移均匀变化，两者根本不是同一个运动，而是一个合运动的两个不同方向上的分运动。而分运动相互独立，彼此之间没有影响。学生在处理该问题时，没有正确考虑两者的区别，将两者混为一谈，误加联系，最终导致运动分析的错误。

3    总结与反思

经分析，该题虽然选出正确答案较为容易，但该题D选项有很多值得师生共同深挖的地方，很适合作为使学生更好地理解“匀变速直线运动”和“运动的分解”相关物理思想的媒介。因此，该题既可以作为“运动的分解”新课讲授的例题使学生形成概念，也能作为习题课的精选练习帮助学生巩固“匀变速直线运动”及“运动的分解”的相关知识。在教学过程中，教师常常忽略掉选择题的一些“不起眼”的选项，或者说，对于学生而言，选择题某些选项的不理解并不会妨碍他们选出正确的答案，但正如该题所展示的，其实很多选项学生仅仅是一知半解，下次再遇可能就会犯错。所以，在教学过程中，教师应耐心地挖掘每个选项的深意，引导学生去发散思维，进一步思考，不满足于答案的选出，才能使学生得到更好的发展。

参考文献：

[1]黄俊生.关于“另类匀变速直线运动”的变化规律[J].物理教师，2015，36（9）：封3.

[2]李琴.物体在力f=kv作用下的运动特点及其应用[J].物理教学，2014，36（10）：7-8.

（栏目编辑    蒋小平）