“扔纸团”问题的深度探讨

摘    要：抓住学生质疑“扔纸团”问题的契机，揭示其“浅尝辄止”的认知和经验的弊端，从“定性分析、轨迹模拟和数理结合”三个角度深度探讨，让学生经历问题解决的过程，促进学生深刻理解概念、规律，提升其问题解决能力。

关键词：“扔纸团”问题;GeoGebra;平抛运动;深度探讨

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）9-0058-3

习题教学是学科教学的重要组成部分，是培养问题解决能力的重要载体。学生常常在习题中遇到困难，有时即使对照参考答案也难以释惑。学生在习题中暴露出来的问题往往很关键且重要，反映了他们真实的认知情况，具有很好的研究价值。教学中如果能紧紧抓住这些契机，有针对性地进行教学设计，及时有效地解疑释惑，将会促进学生对概念、规律的深刻理解，也有利于问题解决能力的提升。

1    问题提出

题目（单选） 利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图1所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是

A.在P点将纸团以小于v的速度水平抛出

B.在P点将纸团以大于v的速度水平抛出

C.在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出

D.在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出

某参考答案及解析 在P点将纸团以小于v的速度水平抛出，纸团下降到纸篓上边沿这段时间内，水平位移变小，纸团不能进入纸篓中，故A选项错误。在P点将纸团以大于v的速度水平抛出，则在纸团下降到篓底的时间内，其水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B选项错误。要使纸团进入纸篓且直接击中篓底正中间，分析临界状态可知，最可能的入篓点为左侧纸篓上边沿。若在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x=v■知，纸团水平位移可以减小且不会与纸篓的左边沿相撞，纸团有可能击中篓底正中间，故C选项正确。同理可得D选项错误。

很多学生质疑D选项：初速度v增加，高度h减小，水平位移还是可能恰好沿左侧上沿飞入并击中篓底正中间。有的学生“浅尝辄止”地试画抛物线轨迹后发现“好似不能通过底部中点”或“好似可能”;更多的学生注意到“单选”，既然认为C选项正确，那结合“经验”便确定D选项错误。参考答案及解析中把正确答案找到就未进一步分析。最后的“同理”应该怎么解释呢？没有清晰地说明其错误原因，蕴含其中的知识和能力需求没有得以体现。解析的确给出了数学关系和物理意义上的一点解释，那能不能更进一步探讨，以加深对平抛运动及其规律的理解呢？接下来，从三个角度进行思考。

2    三个角度

2.1    定性分析，把握本质

分析D选项，设满足题意的纸团运动轨迹如图2中曲线a所示。考虑高度减小，运动时间变短，当纸团刚好通过纸篓左侧上沿时，竖直方向的分速度也减小。因水平的初速度增加，而纸篓两侧间距又不变，在纸篓两侧间的运动时间变短，则沿纸篓竖直方向下降的距离减小，故将击中纸篓右侧某点，如图2中曲线b。

2.2    轨迹模拟，直观呈现

平抛运动的轨迹为抛物线，方程为y=（■）x2。用GeoGebra软件画轨迹，抛物线开口朝下：（1）取二次项系数为负值，如y=-0.05x2，如图3中曲线a所示;（2）若将纸团从更低的位置以更大的初速度抛出，如y=-0.04x2-0.5，如图3中曲线b所示;（3）取两抛物线交点A（7.07，-2.50）和另一点B（7.07，-4.00）作线段视为纸篓左侧，取点C（8.94，-2.50）和点D（8.94，-4.00）作线段视为纸篓右侧;（4）若从更高的位置以更小的初速度抛出，则取y=-0.106x2+2.8，击中纸篓底部中点E（8.01，-4.00），如图3中曲线c所示。

为呈现动态变化过程，输入变量a和c，制作滑动条，再输入函数y=-ax2+c。拖动滑动条，即可以调节高度H和初速度v，模拟纸团从不同高度以不同初速度抛出时击中纸篓的位置关系。在这一动态变化过程中，可以发现击中两侧AB和CD的不同情况，也可以找到其他击中篓底正中间的可能性。当a=0.12，c=3.7，即y=-0.12x2+3.7，纸团从更高位置以更小速度抛出将可以击中篓底中点F（8.01，-4.00），如图3中曲线d所示。

在“轨迹模拟”的动态呈现过程中，也可以把上述步骤的顺序进行调整：先绘制纸篓两侧面AB和CD，再绘图3中曲线a，引导学生分析“高度和初速度的改变影响抛物线方程的开口度”，呈现系数调节的过程，直到能画出图3中的曲线b、c和d。还可演示初速度不变，上下移动抛出点的位置，其抛物线轨迹跟击中纸篓的位置关系，寻找规律。

2.3    数理结合，深度释疑

如图4，设纸团抛出的初速度为v，高度为H，纸篓高度为h，其左右侧面分别为AB和CD，间距为L，抛出点离纸篓两侧的水平距离分别为x1和x2，由题意得

H-h=■gt■■，x1=vt1（1）

H=■gt■■，x2=vt2（2）

联立（1）（2）式，整理得

v=■=■

即■=■（3）

若纸团从更低位置（H-Δh）以更大的初速度（v1>v）抛出，仍满足临界条件，即刚好经过纸篓左侧上沿A点并击中篓底D点，同上分析有

■=■（4）

联立（3）（4）式知（下转第63页）

（上接第59页）

■=■（5）

即

1-■=1-■（6）

则

■=■（7）

（7）式不成立，因此假设不成立。当（4）式右侧因（H-Δh）减小而减小，左侧值也应该减小，那就只能x2增大，故纸团打在右侧D点之上。

再考虑C选项，若纸团从更高位置（H+Δh）以更小初速度（v1<v）抛出，经过左侧上沿A点或更大的水平距离（x1+Δx）进入纸篓并击中篓底中点，同上分析有

■=■（8）

若Δx=0，（8）式则为

■=1-■（9）

联立（3）（9）式知H+Δh>H，（9）式右侧增大，左侧也增大，（8）（9）式可能都成立，说明纸团可以满足假设，如图3中曲线c和d所示。

3    反  思

本题考查平抛运动规律及应用，属简单题，学生作出正确选择并不难，但提出的疑惑很有代表性。学生在问题解决中易于借助数学表达式或凭借不知正误的“经验”，而往往忽略实际的物理情境便产生疑惑甚至错误。“扔纸团”问题中，学生试画的“抛物线”并不一定是严格的抛物线，而数学表达式只能呈现定性分析的某方面，从而产生质疑。教师先从物理角度进一步定性分析，又借助信息技术严格作图，再尝试数学、物理跨学科融合，从定性到定量，从直观到抽象，引导学生逐渐认清问题实质，促进学生深刻理解平抛运动的规律，加强数学分析能力的训练，整体提升问题解决能力。

教学要以学为中心，回到教学中，抓住问题关键，有时还需“慢下来”甚至“停一停”，寻求能力的培养和提升。教学过程中，不管是概念、规律的新课教学，还是其应用的习题教学，了解学情越真实越具体，就越能针对学生在知识和能力上的不足而进行有效设计，正面回应学生的疑惑，“趁热打铁”及时解决问题。

（栏目编辑    蒋小平）