水中漂浮蜡烛熄灭时长度问题建模分析

摘   要：蜡烛下嵌配重，使其直立漂浮水中，点燃后任其自然熄灭。某中考试题就此现象设置情境考查浮力，但未考虑到蜡烛熄灭时其上部的实际形状并非平面，无法计算体积。在确保其上部是平面的前提下，从不同的角度建模分析了此类问题，其中基于等效观点模型的快速分析方法，可用于教师设置问题情境、学生解答类似问题。

关键词：浮力;蜡烛燃烧;蜡烛熄灭;物体上浮

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）9-0060-4

将蜡烛下部加配重后，使之直立漂浮在水中，点燃蜡烛，蜡烛会逐渐变短，同时会不断上升。那么，是否可以通过计算得出蜡烛熄灭时的长度，是一个比较有趣的问题。2021年某省中考试题，创设了相关情境，计算上述长度，其是否完美解决了该问题，本文对此进行讨论。

1    试题分析

例（某省卷第18题） 如图1所示，水中有一支长14 cm、底部嵌有铁块的蜡烛，露出水面的长度为1 cm。点燃蜡烛，至蜡烛熄灭时，水对容器底部产生的压强          （选填“变大”“变小”或“不变”）。熄灭时蜡烛所剩长度为          cm。（ρ■=0.9×103 kg/m3）

此处仅讨论第2空，参考答案是“4”。现根据某中学教育资源类网站和某文库提供的解析，转述其共同的思路：蜡烛和铁块作为一个系统进行整体分析，原先处于漂浮状态，浮力等于重力。随着蜡烛燃烧，长度变短、重力减小，浮力也减小，水中部分体积减小，即蜡烛向上运动。同时，蜡烛在液面上方部分体积也减小，直到蜡烛燃烧至与水面平齐处时，被水熄灭，此时蜡烛和铁块组成的整体处于悬浮状态，浮力等于重力。依据始末状态的受力分析，计算结果就是“4”，过程如下：

令蜡烛的横截面积为S，开始时蜡烛长度h■=0.14 m，浸入水中深度h■=0.13 m，被水熄灭时剩余蜡烛的长度为l，铁块受重力为G■。开始状态

F■=G■+G■ （1）

熄灭状态

F■'=G■'+G■ （2）

由（1）式和（2）式得

F■- G■=F■'-G■' （3）

其中

G■=m■g=ρ■gV■=ρ■gSh■ （4）

G■′=m■′g=ρ■gV■′=ρ■gSl （5）

F■=ρ■gV■=ρ■gSh■ （6）

F■′=ρ■gV■′=ρ■gSl （7）

将（4）—（7）式代入（3）式得

ρ■gSh■-ρ■gSh■=ρ■gSl-ρ■gSl （8）

得

l=■=

■=0.04 m （9）

此结果成功印证了试题的参考答案。但是，能相互印证，其求解过程一定正确吗？上述分析都是基于一个假设，即蜡烛熄灭时，上部是一个平面，而且是一个水平的平面，此假设成立吗？

2    蜡烛熄灭时的实际形状

蜡烛燃烧时的真实情况又是怎样？想必读者都见过，但是通常被我们忽略了。无论蜡烛上部原先是何种形状，点燃后，火焰在蜡烛中心，火焰处温度高，中心部分蜡烛先熔化后汽化，而被燃烧掉，形成凹陷。随着时间的推移，凹陷程度越来越大，上部边缘部分越来越薄。理想情况下，蜡烛边缘所受热辐射是均匀的，则边缘各处同步熔化并下降，边缘上部形成一个水平的圆环，内部形成凹面。实际情况是，蜡烛不可能绝对规则，不能保证绝对竖直放置，烛芯不一定在正中心，烛芯燃烧时会发生卷曲，外界空气扰动等因素，都会使得火焰偏移，总会有一处率先熔化而“溃坝”，里面烛液流下（图2），此即中国古代文学作品中富有诗意的“烛泪”。这种情况下，蜡烛顶部不能形成平面，人为吹灭蜡烛，冷却后也是中部凹陷的形状。

当将蜡烛放入水中后又会怎样呢？蜡烛上部高出水面时，上部与图2无甚区别。当上部边缘最低处率先抵达水面时，该处因水的冷却不再熔化，水不会从此处漫入蜡烛中心。烛焰仍在燃烧，加热蜡烛，只能熔化高于水面的那些部分，最终所有边缘均抵达水面。

由于蜡烛上边缘抵达水面，外侧水会使边缘冷却，边缘不再向下熔化，但是会越烤越薄。当蜡烛外壁薄到一定程度，就不再熔化，形成一圈薄壁圆筒。火焰只能继续向下发展，依靠熔化底部的蜡烛来提供燃料，最后结果是外壁越来越薄，凹陷程度越来越深。同时，消耗蜡烛，导致蜡烛重力变小，蜡烛上浮，上部高出水面些许，高出部分没有水的冷却，被烛焰熔化，这样循环往复，蜡烛越烧越短。由于蜡烛底部有配重，蜡烛不能永无止境地往下燃烧，当蜡烛内部凹陷到达一定程度时，因供氧不足而熄灭，如图3所示[1]。

由此可见，燃烧后的蜡烛上部并不是平面，上述计算的前提条件不成立。那么能否计算呢？假设凹陷部分体积为ΔV，为了便于分析，令ΔV=SΔl，在计算G■′时将其等效为比l短Δl的圆柱体，（5）式修正为

G■′=m■′g=ρ■gV■′=ρ■gS（l-Δl）（10）

用（10）式替换（5）式，代入（8）式，则（9）式应修正为

l=■-■Δl=0.04 m-9Δl （11）

由于试题未提供凹陷部分的形状、体积等参数，（11）式无法算出具体数据，仅能确定l<0.04 m。

3    多种建模方法的比较

至此，对此题的讨论似乎结束了。回顾图1和图3，我们又发现两者有一些细微差别。图3底部是一根铁钉，但是图1是内嵌一个铁块作为配重，则（4）（5）式中蜡块的体积就不应是Sh■和Sl，此二式不成立。上述试题分析过程错误。

3.1    平均密度的建模方法

内嵌铁块后，蜡烛和铁块作为一个整体，令铁蜡混合体平均密度为ρ■，ρ■介于ρ■和ρ■之间。而且随着蜡烛燃烧，蜡所占比例减小，铁所占比例增大，ρ■增大，由于ρ■不再是定值，计算时要结合该时刻的实际情况。

一旦考虑顶部凹陷的实际情况，此题将无法计算，此处仅讨论铁块放置位置对计算的影响，故依旧假设熄灭时，顶部是水平平面。

设铁蜡混合体中，铁的初始体积占比为x，则蜡的体积占比为1-x，我们将（1）式改写为

F■= G■+G■=G■ （12）

其中

G■= m■g=ρ■gV■=ρ■gSh■ （13）

将（6）（13）式代入（12）式，得

ρ■gSh■=ρ■gSh■

则

ρ■=■ρ■=■×1.0×103=■×103 kg/m3（14）

可见，混合体的平均密度比蜡的密度增大了■=■=3.2%。由平均密度计算铁块体积所占比例

ρ■=■=■=■=

■=ρ■x+ρ■（1-x）=

7.9×103x+0.9×103（1-x） （15）

由（14）（15）式得

x=■

为尽可能简化问题，可以将铁块视为和蜡烛截面等大的圆柱体，拼接在蜡烛底部，则体积占比等于此时的长度占比。即

x=■=■=■（16）

这样的简化不改变原先整体的形状和体积，则（16）式中的h■即试题中的“14 cm”。由（16）式得其中铁圆柱体的高度为

h■=xh■=■×0.14=■ m（17）

熄灭时，若默认蜡烛上部是平面，则恰好悬浮，物体与液体密度相等，混合体的密度

ρ'■=ρ■=1.0×103 kg/m3（18）

同理，得此时铁块体积占比亦即长度占比为

x'=■（19）

将（17）（19）式数据代入（16）式得此时混合体总长度，x'与x的含义相同，分别针对始末状态，有

h■=■=■=■=4×10-2 m=4 cm（20）

将铁蜡作为混合体计算结果也是“4”，与参考答案相同。

3.2    内嵌配重的建模方法

前文已经指出了（4）（5）式中蜡块体积Sh■和Sl是错误的，但是为何计算结果也是“4”？

平均密度的建模方法是正确的，但是其计算过程复杂程度远超预期，用作教师的学术交流倒也无妨，此法不可能是命题者用来考查学生的初衷。（4）（5）式的建模方法，实际上忽略了配重体积;正确的蜡块体积应该减去V■，修正为Sh■-V■和Sl-V■，也就是由于铁块内嵌在蜡块中，这部分体积不应作为蜡块体积，这部分蜡块的重力也相应去除。（4）（5）式中体积修正后，代入（3）式，结果也相同。原因分析如下：

将（3）式改写为

F■- F■′=G■-G■′=ρ■g（Sh■-V■）-ρ■g（Sl-V■）=ρ■gSh■-ρ■gSl （21）

我们发现，此法修正体积，不影响最终结果。

3.3    外挂配重的建模方法

图3的外挂配重，又将如何？由于外挂配重一直在水中，体积考虑与否对结果无影响，但是物理意义不同。

考虑配重体积，（6）（7）式均应该改写，浮力修正为蜡烛所受浮力与配重所受浮力之和。由（3）式得F■- F■′=G■-G■′，即ΔF■=ΔG■。可见，由于配重所受浮力不变，整体的浮力变化量仅取决于蜡烛重力的变化量，配重体积考虑与否对结果无影响。

对比内嵌和外挂配重，我们发现，其实前者是修正了蜡烛重力，后者是修正了铁片的浮力。

3.4    等效观点下的建模方法

从物理意义的视角而言，不修正体积凑巧也能得出正确答案，但是其本质是错误的;修正体积或采用平均密度的方法，分析过程过于繁琐。这类问题有没有能够快速分析出结果的建模方法，引发了笔者的思考。

我们先讨论冰块在水中漂浮的情境，因F■=G，得■=■，教师通常对此类问题归纳出结论：物体漂浮时浸在液体中的体积与其全部体积之比，等于物体密度与液体密度之比。再用此法分析该试题，将蜡块想象成上下两部分，下面部分的作用使得铁块不下沉，将其和铁块视作一个整体，等效为在水中悬浮;上面部分是蜡块，在水中漂浮。上面部分蜡烛边燃烧边上升，理论上燃烧殆尽时，下面部分正好升到与水面相平，是悬浮。所以，此题实际上只需分析上面部分蜡块即可，由ρ■=■ρ■，得V■=■V■，故V■=■V■。因露出水面1 cm，得蜡块全长（上面部分）10 cm;蜡块上下总长14 cm，则下面部分蜡块长4 cm，此即试题答案。此法不但可以快速计算出结果，也便于命题者快速设置试题所应提供的正确数据。

这种等效观点的建模方法，不必再考虑配重体积，更不必考虑内嵌与外挂的区别了，仅需聚焦于上面部分蜡烛即可。

4    修改建议

再次回味此题，命题者的思路是可取的，对浮力、重力、密度的考查，内容综合、方法巧妙。此类问题今后依然可以为教师所用，但是建议作相应的修改。

我们先尝试让试题能够计算，即解决顶部凹陷问题。建议改为“我们采用热的刀片将蜡烛露出水面部分不停地水平切去，并将切下来的蜡烛全部取走，假设可以切到和水面相平”。这样就可以确保顶部是一个水平平面，为试题创设了计算的前提。

前文分析了配重体积及内嵌、外挂情况均不影响最终结果，此题的重点也不是体积修正问题，这并不意味着教学中就能采用上述网站和文库的解析方法，还是建议进一步修改完善此题。相对而言，学生对外挂配重比内置配重更易理解，我们就按照外挂配重来修改试题，建议改为“底部外挂铁块的蜡烛”，并仿照图3修改配图。综合上述的建模方法，将铁块由内嵌改为外挂后，下部的蜡烛体积其实是增大了，铁块重力也比原来大，这一点学生不需要知道，但是教师应该了解。其实，笔者更倾向于不纠结体积修正问题，更又不希望学生用错误的方法得出正确的结论，建议增加“铁块体积忽略不计”的相关叙述，则配重外挂、内嵌均可。

参考文献：

[1]THEODORAKIS S，ARISTIDOU C.The paradox of the floating candle that continues to burn[J].American Journal of Physics，2012，80（8）：657-663.

（栏目编辑    蒋小平）