“数学分析”课程的应用型人才培养教学模式研究

［摘 要］ 首先，总结了呼和浩特民族学院学生特点及“数学分析”课程授课过程中存在的问题；其次，针对这些问题，以培养应用型人才为目标，采取了课前—课中—课后的全程覆盖式闭环教学模式，其中包括转化思想贯穿始终、结合数学软件画图和数值计算、融入课程思政、增加多种评价考核方法，以此解决学生在学习“数学分析”课程过程中遇到的难题，同时提高学生的数学兴趣，培养运用数学知识解决实际问题的能力；最后，阐述了该教学模式的创新点与效果。

［关键词］ 数学分析；应用型人才；教学模式

［基金项目］ 2022年度呼和浩特民族学院课程思政示范课程项目“《数学分析（一）》课程思政示范课程项目”；2022年度内蒙古自治区高等教育学会重点课题“数学建模课程课堂教学与学科竞赛协同培养的创新教学模式研究”（NMGJXH-2022XF002）

［作者简介］ 青 梅（1986—），女（蒙古族），内蒙古兴安盟人，博士，呼和浩特民族学院数学科学学院副教授，主要从事线性算子谱理论与数学教育研究。

［中图分类号］ C961 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）26-0157-04 ［收稿日期］ 2023-10-30

引言

《中国教育现代化2035》中明确指出，加大应用型、复合型、技术技能型人才培养比重［1］。通过加大人才培养比重，培养更多适应新时代需求的高素质人才，推动经济社会的可持续发展。为培养适应产业转型升级和实现高质量发展需要的高素质应用型人才，在课程设置和教材建设等方面应特别强调基础、成熟和适用的知识，在能力培养方面特别突出对基本知识的熟练掌握和灵活应用。目前国内很多学者在如何培养应用型人才方面做出很多研究，基本可总结为培养学生的学习兴趣、提炼教材内容、改进教学方法、强调知识应用、修改评价方法等［2-5］。

“数学分析”课程是数学专业低年级的重要基础课之一，也是数学专业研究生考试科目之一，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，负担全面培养学生的现代数学的素质，并为继续学习众多后继课程（如常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率统计等）提供基本理论、方法和技能。该课程能够使学生掌握现代数学的基本方法和基本技巧，培养学生的辩证思维与创新能力，提高学生分析和解决问题的能力。呼和浩特民族学院“数学分析”课程教学周期为3个学期，共276学时，实行数学与应用数学专业混合班授课，每个班级少数民族和汉族学生各占一半。学生主要来自内蒙古地区，部分学生来自山东、河北、河南、陕西、甘肃、新疆和西藏等地。学生数学单科成绩最高分110分，最低分40分，平均分70分。整体而言，数学成绩是中等水平，少数民族学生的数学成绩多处于平均分左右。据以上描述，本课程授课过程中存在以下几个问题。

1.学生知识基础较为薄弱且参差不齐，而课程内容晦涩难懂。混合班授课，不同学生知识水平存在较大差异，部分学生数学功底非常薄弱，且学习数学兴趣较弱，只有少数几个学生较好地掌握了高中数学知识。而“数学分析”是一门较为抽象的课程，强调逻辑推理和证明。学生需要学会运用正确的逻辑思维和证明技巧解决问题，同时将抽象的数学概念和符号应用于实际问题的建模和求解中。对于部分学生来说，达到理解并应用的程度有一定的挑战性。

2.教材内容繁多，而教学课时少。“数学分析”是系统性的理论体系，包含了许多重要的基本定理、推论及计算方法，此外引入课程思政的内容。多数学校的“数学分析”课程授课学期为三个学期，在此期间有质量地讲完课程内容对授课教师也是一种挑战。

3.学生课后不爱学习，而课堂教学强度较大。大部分学生没有养成良好的学习习惯，又缺乏足够的学习动机。学生对课程内容的实际应用感到困惑，课上的内容过于抽象或难以理解，导致学生在课后不愿意继续学习。而由于课程内容多课时少，部分内容授课教师可能不会讲得很细致，导致学生无法完全掌握课堂知识，进而形成恶性循环，久而久之跟不上讲课进度，对课程失去了兴趣。

4.教师只讲教材内容，而很少解释知识所对应的实际应用。如果教师只注重教材内容而很少解释知识的实际应用，这可能导致学生对“数学分析”的学习缺乏内驱力。实际应用是将数学概念和技巧应用于现实问题的关键，能够帮助学生理解和发现数学的实际用途，并提高学生对数学的兴趣和动力。

为解决这些问题，以培养应用型人才为目标，本文研究课前—课中—课后全程覆盖式闭环教学模式，以提高学生的学习兴趣，同时培养其运用数学知识解决实际问题的能力。

一、“数学分析”课程教学设计

本节主要介绍“数学分析”课程教学设计中的几个重要环节。

（一）教学目标的设定

新时代，如何有效发挥“数学分析”课程思政育人功能，培养听党话、跟党走，有理想，有本领的数学人才是每位教师应考虑的问题，课程组由此制定了“数学分析”课程“三维”教学目标：知识目标为掌握基本概念、性质、计算方法，能够满足应用型人才培养的基础知识；能力目标为掌握现代数学的基本方法和基本技巧，能够利用数学软件画图和数值计算、数学建模，具有团队协作能力和解决实际问题的能力；素质目标为发现数学之美，培养探索创新精神，增强爱国之情，激励学生自觉树立和践行社会主义核心价值观，为国家现代化建设贡献力量。

（二）教学过程与方法

基于学生的实际情况和课程性质，采取课前—课中—课后全程覆盖式闭环教学模式。

1.课前：提前布置相关资料查阅任务，将查阅的相关实际问题导入课程内容，联系科学前沿、时事新闻等，将抽象的数学内容具体化、生动化、形象化，充分激发学生的学习兴趣，将数学与实际生活相结合，培养学生的数学建模能力。例如，讲授极限之前查阅我国数学家刘徽首创的割圆术，感悟其中的数学思想；讲授反常积分概念前让学生查阅中国航天发展史，让学生充分了解我国航天事业的辉煌成就与航天精神；讲解幂级数前布置查阅圆柱体的热传导问题和薄板震动的文献资料任务；讲授第一型曲面积分前让学生查阅有关中国天眼的资料等。提前布置任务既能够引起学生的学习兴趣，又能提升学生的独立思考能力和查阅文献能力。

2.课中：始终以转化思想贯穿整个教学过程，引导学生将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、未知问题已知化，利用简单的、熟悉的、已知的知识求解复杂的、未知的、陌生的问题，使学生在构建系统化的知识体系的同时掌握课程蕴含的数学思想和方法、处理问题的技巧和策略。

例如在概念引入、例题计算和定理证明过程中可利用转化思想，进行对概念、例题、定理的简单化、熟悉化、已知化。（1）概念引入：第一型曲线积分和二重积分可视为定积分的更高一维中的推广。两者均从几何意义角度引入，将前后知识点串联起来，体现了转化的思想。第一型曲线积分当作是定积分的积分区间在二维空间中的弯曲引起的，对应的被积函数为平面曲线变为空间曲线，几何意义是从曲边梯形面积变为柱面部分面积；二重积分可视为定积分的积分区间在二维空间中的膨胀引起的，对应的被积函数从平面曲线变为空间曲面，几何意义是从曲边梯形面积变为曲顶柱体体积。（2）例题计算：第二型曲线积分计算是难点内容，可利用转化思想计算，将其转化为几种不同形式计算，从而使学生掌握基本计算技巧和方法。（3）定理证明：讲授微分中值定理时可利用转化思想启发学生发现柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，而拉格朗日中值定理又是罗尔中值定理的推广。同时引导学生利用罗尔中值定理结论证明拉格朗日和柯西中值定理。讲到格林公式证明时，可启发学生利用牛顿-莱布尼茨公式；在讲到斯托克斯公式证明时，可引导学生运用格林公式。如此培养学生的理论推导能力和逻辑思维能力，同时可以省去部分定理的证明过程，节省了授课时间［5］。

对于一些容易计算的问题，教师通过数学软件将抽象的数学概念转化为直观的图形展示，便于学生理解。学生利用数学软件求解微积分、简单极限等问题，从而更好地理解和应用数学分析中的各种方法和技巧，还可进一步解决课程内容多课时少的问题。此外，教师可从数学建模课程中寻找合适的例子作为课程知识的应用，运用“数学分析”的方法对模型进行分析，如求解最大值最小值问题时可引入数学建模课程中城市通行能力模型、扬帆远航等例子［6］；在讲解不定积分时可引入存贮模型、森林救火等例子，以此促使学生进一步理解微积分知识的应用，也更了解学习“数学分析”的实际意义。

3.课后：除常规的作业以外，布置延伸拓展、预习思考、每章总结等其他任务，并及时评价。学生及时进行回顾、归纳总结每章的主要内容，构建完善的知识体系，促进学生培养良好的学习习惯，增强学生的自主学习能力。通过课后延伸拓展等环节可使学生进一步理解和掌握当次课程内容，同时为下一节课的学习做基础，如此构成良性循环。

综上可知，课前资料查阅，课中实际问题导入、数学软件数值计算，课后拓展延伸等环节，不仅能提高学生的学习兴趣，而且能够促进提高学生的数学建模能力，使学生体会数学在实际生活中的重要应用，为培养应用型人才提供有力支撑。

（三）融入课程思政

教学中融入思政元素，如融入爱国主义精神、哲学思想、创新精神等，以激发学生的学习兴趣，发现数学之美，增强学生的爱国之情，使学生树立正确的世界观、人生观和价值观，激励学生自觉树立并践行社会主义核心价值观［7-10］。（1）教学内容中引入我国科技发展和国家现代化发展情况，增强学生的爱国主义情怀和创新精神。例如，讲授无穷积分概念时以求解第二宇宙速度为例，引申出我国航天事业的发展，鼓励学生学好专业课，发扬航天精神，为我国现代化建设奉献自己的力量；讲授第一型曲面积分之前让学生查阅“中国天眼”相关资料，增强爱国之情。（2）适当引入哲学思想，使学生充分认识辩证思想，看问题抓住主要矛盾。例如，极限是贯穿“数学分析”课程的重要工作，让学生充分认识极限蕴含着丰富的辩证思想——变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一，任何时候对待任何事物要承认矛盾、分析矛盾、勇于揭露矛盾，积极寻找正确的方法解决问题，利用科学的思想为学生的成长和成才打下基础；又如，以芝诺悖论和《庄子·天下篇》中的一句话——“一尺之锤，日取其半，万世不竭”引入数项级数，分析其矛盾、探寻原因，并利用数学解决问题。（3）适当引入科学家的故事，使学生了解科学探索中的艰辛与快乐，同时也让学生掌握其蕴含的数学思想方法。如，讲授极限、级数时均可以刘徽的割圆术为例，让学生理解其背后的数学思想，坚定文化自信。

（四）学习评价方法

“数学分析”课程的学习评价是将过程性评价和终结性评价相结合，多维度考查学生的学习情况。过程性评价占总成绩的40%，其中资料查阅占4%，课堂参与占12%，每章总结占8%，作业占8%，拓展延伸占8%；终结性评价占总成绩的60%，其中包含期中考试10%和期末考试50%。

二、教学设计的创新点与效果

根据学生实际，以培养应用型人才为目标，采取课前—课中—课后全程覆盖式闭环教学模式，在教学目标、内容、方法、活动、评价等教学过程中每个环节增加创新点，激发学生学习兴趣，提高学习效率。教学目标方面，在原有的教学目标的基础上，增加高阶教学目标，使学生具备利用数学软件画图与数值计算能力，进而增强团队协作能力和解决实际问题能力，同时树立并践行社会主义核心价值观。教学内容方面，将课程内容与科学前沿、时事新闻相结合，以生活中实际问题为例、增加延伸拓展部分，改进教学内容讲授顺序，进而在教学内容上创新。教学方法方面，采取问题驱动法、思维启发法、直观演示法和互动讨论法等，课前查阅资料，以实际问题导入，将转化思想贯穿始终，利用数学软件画图和数值计算，将抽象的内容和复杂计算形象化、生动化、简单化。教学评价方面，采取多元化评价方法，每节课后结合学生实际情况与课堂效果总结经验，进行教学反思，持续改进教学水平。

笔者自2017年9月承担“数学分析”课程教学任务以来，结合学生实际情况，坚持以学生为中心，不断改进并形成课前—课中—课后全程覆盖式闭环教学模式，将抽象的理论具体化、形象化，将枯燥无味的课堂活跃化，持续改进学生学习数学分析遇到的难题。首先，通过教学设计，学生基本学会通过形象化、简单化方式把难懂的内容转化为易于理解的内容。其次，学生基本可以利用数学软件画图和数值计算，进一步掌握数学思想和方法、处理问题的技巧和策略。最后，通过实际问题导入课程，增加延伸拓展部分等，增强学生的建模能力、团队协作能力和解决实际问题能力。部分学生在大学二、三年级参加各类数学建模竞赛、数学竞赛多次获奖，获奖人次有了明显的增加，培养应用型人才逐渐见效。