大学数学教学中的美学渗透

［摘 要］ 美学广泛存在于每个学科，大学数学中的美学更是尤为值得探讨。然而，目前要在大学数学的教学中渗透美学教育并不容易。高校教师可以通过合理挖掘并运用教材中的美学元素，利用教学方法、手段、语言等有所侧重地展现数学美，在日常课堂的知识传授过程中揭示数学美，保证学生主体地位并注重提升教师自身的数学美学修养等四个方面在大学数学的教学中进行美学教育，以期能优化课堂教学模式，丰富扩展教学内容，激发学生学习大学数学的兴趣，提高学生的创新能力及文化素养。

［关键词］ 大学数学；教学；数学美学；美学教育

［基金项目］ 2023年度中央高校基本科研计划（青年基金项目）“堆垒数论中若干问题的新研究”（JUSRP122031）

［作者简介］ 刘瑜慧（1994—），女，江苏无锡人，博士，江南大学理学院讲师，主要从事数论研究。

［中图分类号］ G427 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）27-0017-04 ［收稿日期］ 2023-07-12

引言

大学数学是大学院校一门重要的基础课程。在非数学专业开设的大学数学基础课一般有“高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”等。这些基础课程是学生在大学阶段构建完整知识体系的基石，对学生后续专业课的学习以及数学文化的传承等起着重要的奠基作用。而大学数学与中小学数学的重要区别就在于大学数学含有更多高度抽象化的理论与概念，并且具有更严密的逻辑性。要想深刻理解这些内容，就需要学生能够充分认识其中所蕴含的数学美。此外，在教学过程中，如果教师能够有意识地引导学生从数学审美的角度，充分挖掘数学知识点中的美学元素，就能帮助学生更好地理解数学原理，找到甚至发现更多创造性的解题方法及结论，从而提升自身的数学水平。

一、美学教育在大学数学教学中的现状及必要性

目前，要在大学数学教学中渗透美学教育并非易事。这主要是因为基础课程的教学时间安排一般都十分紧凑，如果只是单纯从教学内容中体现具体的美学思想，可能会导致教学进度受到影响，因此往往不容易切入，更难以深入［1］。此外，部分学生进入大学后，对于学习大学数学对今后的学习生活乃至就业有何用处不够明确，因此学生只是机械、被动地学习数学，这也就给数学美育的渗透加大了难度。

因此，如何深入挖掘大学数学课程中蕴含的美育资源，推动大学数学教学中的美学教育与数学教育深度融合，从而强化美育功能，提升学生学习素养和技能，将正确的价值追求和理想信念传递给学生，进而达到完善“五育”并举的本科人才培养体系的目标，是一大值得探究的问题。

二、在大学数学教学中渗透美学教育的方法

本文从以下四个方面对如何更有效地在大学数学的教学环节中有机渗透美学教育进行探讨，为该领域的研究提供了很好的素材。

（一）合理运用教材，挖掘美学元素

数学的优美结构体现在数、形、式等各个方面，但往往并不明显，常隐藏在问题之中。大学数学更是如此。因此，教师在备课过程中，要善于挖掘教材中蕴含的美学元素，整体把握教材的知识框架和体系，制订科学合理的教学方案，让学生感受到美与数学的关系。在日常教学中，要以教材的知识为立足点，通过课堂互动、数学建模等活动充分挖掘知识点中的美学元素。以“高等数学”为例，在讲解数列的极限时，可以套用《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，引导学生从优美的古文中体会极限的数学思想；又如在讲解无穷小量的知识点时，可引用我国唐代浪漫主义诗人李白的诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”，引导学生在欣赏诗词文学之美的同时，加深对无穷小量概念的理解。教师通过深入挖掘教材中的美学元素，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣及数学水平，培养学生的文化素养和美学素养。

（二）从教学组织、语言、手段上展现数学美

1.教学组织的结构美。所谓教学组织的结构，是指课堂教学组织的构成要素，一般包含课堂的随堂讲解、课中教师互动提问与学生讨论、课后的练习及作业等。教师在授课时，应当注重将这些要素在时间与空间上有机结合起来。在各要素之间进行切换时，要注意尽量保持协调与统一，做到和谐自然，这样才能使得整体的课堂教学呈现出美感。此外，在课堂教学中，教师要注重创设教学的优美情境，善于启迪，不断渗透，渲染课堂气氛，激发愉悦情绪，使学生能够在课堂学习中体会乐趣与美。

2.教学的语言美。数学语言不同于日常语言，逻辑性及严密性极强。数学教师在课堂上讲课以及在为学生答疑辅导时，应该以身作则，秉承着高度的专业性，以优美的数学语言对学生进行美学教育。一般来说，语言美既要做到言简意赅、好语如珠，又要轻重有别、抑扬顿挫，控制好节奏，并善于将抽象的数学语言与自然化的语言（通俗、形象、趣味、幽默等）交替使用。例如，在课堂伊始、结束，或是在一个稍长的定理证明、例题演算完毕后，又或是在讲解映射、极限的定义与定积分的应用，以及空间解析几何等较为抽象的章节内容时，尤可适时渗入通俗语言，但也要注意摒弃离题的逗趣。

3.教学的手段美。板书是大学数学课堂的传统教学手段之一，特别是“高等数学”中的一些符号语言与推演，尤其需要依靠板书来完成。教师在进行课堂板书时，应该注意板书的设计，排版要美观大方，比例要适当，可以通过用重点标注的形式，使学生加深印象，给学生一种整体美。在可能的条件下，宜稍多一点图示说明。在数学的作图中，线条可以用不同颜色加以区分，做到图形精美、清楚美观。在具体讲解时，演算过程不宜太快，但板书却不可过细，以显简洁美。重要处可用方框、波形线等标示，通过板书的条理、色彩、规范等凸显美感。近年来，随着高校多媒体网络教学技术的普及，电脑软件技术、课件、电子教案等逐渐取代了传统的实物数学模型、挂图、投影，因此较传统板书，教师有了更大的发挥空间。可以通过动画制作软件，辅以优美的教态，更加生动形象地呈现出所要讲授的知识点，将美学教育贯穿于整个大学数学的课堂教学之中。

（三）在数学知识的传授过程中揭示数学美

数学作为一门基础学科，在本身的方法、结构、内容等方面具有自身的美，也即我们所常说的数学美。因此，大学教师在日常的课堂教学中，应该注重将美学能力的培养与数学的理论教学相结合，在数学知识的传授中渗透有关于数学美的美学教育，让学生能够在潜移默化中获得数学美的修养。

1.统一美。数学的固有特点就在于其自身的有机统一性。一方面，从统一性的目标出发，各类数学分支相互促进、相互渗透。在数学中，我们通过对“数”的研究，构成了代数学科；而通过对“形”的研究，构成了几何学科。“数”与“形”这两个看似相互独立的研究对象，通过建立起坐标系，可以将“数”与“形”有机地结合起来。也由此诞生了解析几何这一门新的数学学科领域，将代数学科与几何学科所研究的对象相联系，体现了数学的统一美。另一方面，随着数学概念不断地进行扩张，数学理论不断地研究深化，数学也在谋求更高层次的统一美。以“高等数学”幂级数展开中的麦克劳林级数为例，它的应用范围非常广。我们可以通过公式，将函数展开成幂级数的形式。反之，我们也可以将其与高阶的导数建立起联系，从而求解出高阶导数。由此可见，在应用数学公式求解相应的数学问题的过程中，要注重引导学生用审美的眼光去审视问题结构的和谐性，挖掘命题结论的统一性，用公式本身、各个条件以及相应结论之间的联系，研究出相应的求解方法，使得各种形式达到统一简化。这样，能自然而然地带领学生进入数学美的王国，促进各个知识点之间的融会贯通，进而提高学习效率，培养创造性思维能力。这又何尝不体现出数学的统一美！

2.简洁美。众所周知，数学学科的许多分支以及由各类分支所衍生出的其他交叉学科，都建立在简洁的公理体系之上。如特殊的欧几里得空间、线性空间理论等。也正是因为如此，数学也堪称典型的公理化学科。而数学符号和公式作为数学学科独有的语言表达形式，以其高度的概括性与抽象性，处处体现出简洁美。

例如，在“高等数学”中我们通过“ε-N”语言、“ε-δ”语言，精细地刻画出极限过程中变量之间的动态关系，给出了数列极限以及函数极限的精确化定义，也为后面介绍极限的性质与运算等奠定了基础［2］。而这类简洁的数学语言，不仅简化了用定义证明极限的解题步骤，也能更好地帮助学生理解极限概念的本质。又如，德国数学家莱布尼茨以优美和易于理解的形式创立了自己的微积分，并且设计出非常巧妙简洁的微积分符号，从而极大地推动了微积分的发展史，使得近代数学走向成熟。“线性代数”作为大学数学的另一重要基础课程，也处处体现出简洁美。例如，我们之所以会提出矩阵和向量等概念，均是提炼了源于生活的感性认知。而这样给出的抽象形式，形式简洁，富有美感。尤其是“线性代数”教材中涉及的矩阵，大多为对称矩阵。只有深切感受并理解相应的对称性，才能在利用对称矩阵求解问题的过程中，体悟简洁之美，并找到正确的简洁明快的解题方式及结论。作为大学教师，可以通过日常的教学，带动学生自发地去欣赏这类简洁美，从而在潜移默化中培养学生的学习兴趣以及对数学美的审美能力。进一步地要带动学生挖掘定义、定理、解答以及证明中所蕴含的深层含义，这对于诱发学生的求知欲，激发学生创造美的热情及创新意识，功效是不言而喻的。

3.对称美。在数学中，我们常用变换、运动的不变性来本质地反映生活中的对称性。而数学中的许多图形，本身就具有对称美。例如，圆形和波纹线都以其高度的对称性，视觉给人很舒服的感觉，也因此被称为“最美的图形”。此外，空间理论中的共轭空间以及对偶空间、命题理论中的对偶命题以及互逆定理等，都在一定意义下具有对称性质。

大学数学中也蕴含着许多对称美。以“高等数学”为例，数形结合是“高等数学”的一个重要特点。利用通常的代数方法来探究多元函数的极限或积分，往往不容易求出结果。但是我们可以借助极坐标做代换，结合题中的对称性，从而简化问题。此外，教师在讲授求解一类定积分、重积分、线面积分、曲线积分、曲面积分的简化运算，以及探讨定积分的元素法在几何学中的应用（计算星形线的弧长、求旋转体的体积）等过程中，也应当结合具体问题，正确引导学生体验欣赏其中所蕴含的数学的对称美，以及对称美给数学问题的计算及证明所带来的事半功倍的效果。

“线性代数”中的对称美也有不少，譬如一般的矩阵的运算公式（加法、数乘、转置等），就以其工整的结构，体现出对称的美感。对称矩阵的主对角线、反对称矩阵的副对角线都构成了其天然的对称轴，从外表上就给人以一种美的享受。此外，利用对称矩阵特有的形式对称美，我们可以用于求解逆矩阵，且变化前后矩阵的对称性质不会发生改变，这样的对称美所带来的特性十分简明扼要，耐人寻味。

4.奇异美。奇异美是数学发展中的重要美学元素之一。所谓奇异美，是指数学中有很多理论、公式、定理、命题等，以及数学的结构、变换、方法等许多方面，在直觉上让人觉得相背离，令人难以理解。感觉既是在情理之中，又似乎在意料之外，会让人无尽畅想，从而进入“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的“奇异”境界。如果教师在课堂教学中善于抓住这些“奇异”现象，并采用多方联想、归纳、类比、联结试验等方法去揭示新问题中的奇异美并加以有效利用，那么就可以激发学生的好奇心，从而进一步提高学生的学习热情及学习效率，培养学生的创造性思维，从学习过程中得到美的体验。

例如，微分和积分在最开始时常常被人们认为是两种毫不相干的运算，而后数学家牛顿和莱布尼茨将微分和积分建立起了联系，人们这才发现它们其实是互逆的两种运算。这样的奇异美，也正是微积分建立的关键所在。又如在“线性代数”中，单位矩阵扮演了十分重要的角色，其在矩阵乘法中的作用就类似于数的乘法中的“1”，因此，在解题过程中处处体现出奇异美。其实，在大学数学的学习与解题过程中，不论是哪一门学科，只要敢于创新，突破常规的思维，另辟蹊径，得到一种新的解题方法，就是奇异美的一大体现。