“随机信号分析”课程教学内容与教学方法研究

［摘 要］ “随机信号分析”课程是电子信息类专业的核心基础课之一，在课程体系中处于承前启后的位置。要解决学生在该课程学习过程中知识点孤立、动手计算较少、对知识点外延了解不够的问题，须进行基于知识点类比和知识点构图等的教学内容改革。针对该课程概念抽象、理论性强的特点，引入并结合实例介绍了随机通达教学和BOPPPS教学。授之以渔，为数字中国建设培养创新型、应用型、复合型人才，为构筑国家竞争新优势提供强有力的人才支撑。

［关键词］ “随机信号分析”课程；教学内容改革；随机通达教学；BOPPPS教学模式

［基金项目］ 2023年度北京邮电大学引进人才科研启动经费项目

［作者简介］ 苗红霞（1989—），女，河北邯郸人，博士，北京邮电大学信息与通信工程学院特聘副研究员，博士生导师，主要从事非平稳随机信号的分数域分析与处理研究。

［中图分类号］ G642.41 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）28-0076-05 ［收稿日期］ 2023-05-16

一、研究背景与意义

党的二十大报告指出：“教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑。”［1］高校在加快建设教育强国、科技强国、人才强国中扮演重要角色。通过全面提高人才自主培养质量、科技自主创新能力、现代大学治理水平，为全面建设社会主义现代化国家提供强大人才支撑。本科教育是高校发展的“牛鼻子”，也是高等教育的基石，通过评价标准、体制机制、教学模式、育人理念等方面的改变，以实现本科教育的革新和提升。《数字中国建设整体布局规划》指出，打通数字基础设施大动脉，是夯实数字中国建设基础的方法之一。该规划的提出，对电子信息类专业人才培养提出了更新、更高、更具体的要求。

《教育部关于一流本科课程建设的实施意见》开篇第一句指出，“课程是人才培养的核心要素，课程质量直接决定人才培养质量”，突出了课程建设在人才培养中的重要地位，也提出了人才培养质量提升的关键途径。

“随机信号分析”是电子信息类专业的核心基础课之一，一般在大二或大三学年开设，在整个课程体系中具有承上启下的作用［2］。其先修课程包括“概率论与数理统计”“信号与系统”“数字信号处理”等，后续课程包括“通信原理”“信息论”等。但该课程概念抽象、理论性强的特点易使学生望而却步，甚至产生抵触情绪。因此，在授课过程中，打消学生的学习疑虑、激发学生的学习兴趣、帮助学生掌握本专业学习方法成为关键。该课程的建设对国家电子信息类专业人才培养有重要意义，对整体提升应用基础设施水平，加强传统基础设施数字化、智能化改造有重要意义。

二、学生学习现状分析

尽管诸多学者提出了以学生为中心的教学理念和教学方法，但由于学生群体和课程特点不同，学生在“随机信号分析”课程学习过程中仍存在一些问题，主要体现在以下几个方面。

（一）知识点孤立

虽然“随机信号分析”课程在课程体系中具有承上启下的重要作用，但学生在学习过程中往往更多地关注本课程中单独的知识点，而较少关注课程内或不同课程之间知识点的联系。一是因为课时有限，教师在授课过程中无法过多回顾先修课程知识，甚至导致一些学生一步跟不上，步步跟不上。二是由于考试时，相关试题是根据相应课程所涉及的关键知识点进行考核的，其中，不乏学生只是为了通过考试而在考前临时学习，导致知识点掌握不牢固，无法为下一阶段的学习提供知识上和思维上的帮助。

（二）动手计算较少

在实践教学中发现，部分课上看起来认真听讲、积极回应、课后作业认真的学生，反而在期末考试中未能取得理想的成绩。随机信号分析是一门综合了数学和工科特征的学科，在学习和考核过程中涉及动手计算部分。然而，为了激发学生的学习兴趣，在课程导入和上机实验过程中，往往在侧重趣味性的前提下讲解基础知识。但是，一些学生可能过多关注教学案例中的趣味性，而对具体推导和演算过程关注较少，导致闭卷考试动手计算时，小错频出，丢分严重。另外，部分习题老旧，甚至可通过网络找到参考答案。

（三）对知识外延了解不够

在学习过程中，一些学生更多地关注与考试相关的知识，易造成对课程外延知识了解不多。此外，由于课时有限，教师在授课过程中无法过多介绍外延知识。但适当的外延，可帮助学生更深刻理解课本上的核心知识点。若对同一个知识点采取“就事论事”的方法进行讲解，学生也只能领会知识点本身的含义；对某些知识点，若稍加一步拓展，以另一个视角审视当前知识点的含义，可达到横看成岭侧成峰的效果。

三、教学内容改革

针对上述三个问题，首先对教学内容进行改革。在教学前、教学中、教学后三个阶段做好知识体系构建，使学生在学习过程中温故而知新，对“概率论与数理统计”“信号与系统”“数字信号处理”等课程知识点有更深刻的理解，基于此，理解并掌握“随机信号分析”课程的知识点。对教学内容的改革方法及其作用如图1所示，此四部分内容相互补充、互为支撑，为学生学习本课程及其他课程提供了有效方法论。

（一）知识点类比

依照概率论学随机，从信号与系统分析。本课程围绕随机过程展开，随机过程可看作时间和集合的二元变量，其概念的引入方式有以下两种：第一种是从随机变量加时间的维度，是“概率论与数理统计”课程在时间维度的延拓，即可固定时间变量，考察随机过程的随机性，构建确定性的数字特征，然后再考察数字特征随时间的变化规律；第二种是从确定性信号加集合的维度，是信号与系统在集合维度的延拓，即可从随机过程的样本来研究随机过程。其中，根据第一种引入方式，介绍了课程中相关函数、相关时间、功率谱等概念；根据第二种引入方式，介绍了课程中的随机信号经过线性时不变系统后的统计特征、设计了匹配滤波器等。这些知识点与先修课程中的相关知识点既有联系，又有知识的增量。通过引导学生做好先修课程的复习，可降低本课程的学习难度。

因此，授课教师课前可安排学生回顾先修课程中的相关知识点，课上将重点放在教授知识的增量上，课后告知学生下节课所需的知识点。

（二）知识点构图

多维度构建蓝图，悉知知识点占位。构图是为了让学生了解当前知识点在本课程乃至本专业中的定位，知识点不是孤立的，而是相互联系的。掌握知识点之间的相互联系有助于深刻理解课程中的知识点，形成体系化认知，达到触类旁通的效果。除了教材从“随机信号处理理论与应用”角度给出的知识点体系以外，还可从其他维度梳理知识点框架。例如，从信号与系统的角度来归纳本课程的知识点。其中，“信号”部分知识点包括随机变量、随机过程的概念，相关函数和功率谱的定义和性质；“系统”部分知识点包括随机过程经过线性时不变系统后相关函数和功率谱的变化规律，并利用此规律进行信号检测、参数估计、滤波器设计。纵向归纳整理知识点在不同课程中的应用，例如，卷积运算在“概率论”中可用来表示两个随机变量和的概率密度函数；在“信号与系统”中可用来描述信号经过线性时变系统后的输出，并且由卷积定理和快速傅里叶变换实现卷积的快速计算；在“通信原理”中可用来描述信道的特征。

（三）知识点巩固

公式推导打基础，动手实验助理解。本课程兼具数学类课程和工科类课程的双重特点。因此，在课后设置习题环节，将课下练习与上机实验相结合；在课程考核环节，将平时练习作业、上机实验纳入考核成绩中。由于“随机信号分析”是一门经典的课程，大部分院校都有开设，并且选用的教材相似，因而很容易形成一套固定的题库。为了促进学生独立思考、自主复习、避免抄袭题库答案，教师须课上根据例题举一反三，将知识点讲解明白，课下对练习题进行一定的设计和修改。有余力的教师可针对不同学生设计个性化作业，一方面，避免学生之间相互抄袭；另一方面，通过增加部分学生互相批改作业环节，增加学生对知识点的理解。

文献［3］介绍了多种实验和课程设计，侧重于帮助学生理解知识点在工程实践中的应用。此外，MATLAB等软件中已经有现成的函数可一键计算结果和呈现波形，对于形象化理解课程知识点提供了便捷。但作为初学者，仍应手动计算，才能对知识点产生深刻理解。在期末考试等考核环节，大部分习题需要手动计算，这就要求学生确保每个计算系数的正确性。而这些能力都是通过仿真实验无法锻炼的。扎实的理论功底不仅是为了在课程学习中取得好成绩，更是为了熟练掌握知识点、理解新知识的处理方法，为后续科研工作中解决新问题训练扎实本领。

（四）知识点拓展

信号非平稳更实际，系统随时变是常态。新知识的获得过程，往往是站在巨人的肩膀上的，即建立在已有知识的基础上，学习知识的增量。教师在授课过程中稍加一些知识的外延，一方面，可在对比学习中激发学生的兴趣；另一方面，可弱化当前知识点的难度。依照信号与系统的思路，可以适当介绍现代信号处理的核心观点：信号是非平稳的，系统是非线性或时变的。例如，通信中信号因调制而具有特殊的非平稳性质——循环平稳性。本课程只简要介绍了其概念。事实上，可做如下拓展：针对循环平稳信号的周期性，介绍循环相关和循环谱这两个统计量，加深学生对周期和非周期信号频谱的理解，同时启发学生对非平稳信号处理的思考；通过介绍这两个统计量之间的联系（广义维纳—辛钦定理），加深学生对本课程核心知识点——维纳-辛钦定理的理解；通过介绍循环谱与信号截断频谱的联系，加深学生对功率型信号和功率谱概念的理解；通过介绍循环维纳滤波，加深学生对线性时变系统的理解。

四、教学方法改革

针对第二部分提出的问题，结合第三部分提出的知识点整合方法，本部分引入两种新的教学方法。

美国教育家布卢姆（Bloom）将学生的认知过程分为知道、理解、应用、分析、综合和评价六个层次，其中，前三个属于低阶层次，后三个属于高阶层次。相应地，低层次教学活动形成低阶知识，主要是陈述性知识；高层次教学活动形成高阶知识，主要是程序性和策略性知识［4］。

针对不同层次的知识点，采取不同的教学方法。针对高阶知识，在基于讲授式、讨论式、案例式等传统教学的基础上，引入新的教学理念与方法，帮助学生更快、更深刻地学习新知识，培养学生分析、解决问题的能力。

（一）随机通达教学

随机通达教学的目标是获得高级知识；方法是在不同时间、不同情景、不同目的、不同角度多次进行同一个知识点的学习［5］。

例如，针对本课程中维纳-辛钦定理知识点，教材《随机信号分析与处理（第3版）》（作者：罗鹏飞、张文明）第三章从功率型信号的定义出发，经过概念转换和公式推导，利用傅里叶变换的帕塞瓦尔定理和构建时域与频域之间转换的桥梁作用，得到功率谱与相关函数的关系。要向学生强调，此关系与维纳-辛钦定理所描述的关系不同：维纳-辛钦定理是面向平稳信号展开的，而对于一般类型的功率型随机信号，功率谱与相关函数之间还有一步求平均的运算。这是学生在本课程中第一次接触和学习该定理，课上习题和课后作业应侧重于对这一定理的具体表现形式进行学习，例如给出某随机信号相关函数（或功率谱）的表达式，引导学生求解其功率谱（或相关函数），或给随机信号模型，引导学生求解相关函数和功率谱；第七章介绍的维纳滤波器其实是该知识点的一种应用，此时应向学生强调该知识点的应用。具体来讲，当信号平稳且系统线性时不变时，维纳—霍夫方程可由相关函数与系统冲激响应卷积表示。进而，通过傅里叶变换可将卷积运算转化为乘积运算。此时，须利用维纳-辛钦定理得到维纳-霍夫方程的频域表征形式，进而得到维纳滤波器的显式表达式。学生经过第三章的学习，已经理解并掌握了这一定理；在第七章的学习中，可从滤波器设计和时频域转换的角度再次体会该定理的内涵。最后，课上可适当补充有关循环平稳信号统计量的介绍，例如循环相关函数和循环功率谱以及这二者之间的广义维纳—辛钦定理。这种将针对平稳信号的定理拓展至非平稳信号定理的讲解，一方面，可在两个定理的对比学习过程中加深学生对该定理的理解；另一方面，在知识点拓展后，可弱化原有知识点的难度。有关该知识点在不同教学过程的体现如图2所示。