工程教育认证下“概率论与数理统计”教学改革

［摘 要］ “概率论与数理统计”是理工和经管类各专业的数学基础课程，课程中的方法在解决实际问题时应用广泛。但是该课程理论性强、学习难度大，课程教学中通常存在课时少、实践少、学用分离等教学痛点，不符合工程教育认证理念。分析了防灾科技学院地质工程专业工程教育认证对“概率论与数理统计”课程的要求，以及大学传统的数学课堂教学存在的问题，结合地质工程专业发展规划和应用型人才培养目标，探讨如何进行数学类课程的教学改革，以达到工程教育认证标准。

［关键词］ 工程教育认证；概率论与数理统计；教学设计；教学改革

［基金项目］ 2023年度防灾科技学院教学研究与教学改革项目“工程教育认证体系下大学数学课程教学改革与实践——以地质工程专业为例”（JY2023B20）；2023年度防灾科技学院一流课程建设项目“‘概率论与数理统计’一流课程建设项目”（ylkc202348）

［作者简介］ 张艳芳（1979—），女，山西阳泉人，硕士，防灾科技学院数学教研室副教授，主要从事大学数学教学研究和统计模型应用研究。

［中图分类号］ TP393 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）32-0090-04 ［收稿日期］ 2023-07-10

引言

工程教育认证是国际通行的工程教育质量保证制度，是工程师制度改革工作的基础和重要组成部分。大学数学基础课程为高等工程教育奠定了应用数学的重要理论基础。工程教育专业认证的通用标准中列出了12条毕业要求，大学数学类课程至少可以支撑以下两项毕业要求：（1）基本数学知识。能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题。（2）应用数学分析问题。能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。但当前大学数学课程存在“学用分离”的教学痛点，不能为专业提供全部的支撑。因此，各工程专业立足于工程教育认证理念，开展了广泛的教学改革研究［1-3］。这些改革从课堂教学设计、教学模式、质量评估等多方面进行了实践，并取得了一定成果。工程教育认证理念下大学数学类课程教学改革起步相对较晚，但已引起了国内高校教师的重视，公共基础数学课教师对不同的数学课开展了相应的教学改革。这些改革中有针对大学数学基础课程教学体系和教学方法的改革［4-5］。关于工程教育认证下“高等数学”教学改革的研究相对较多，其中王国强等［6］结合高等工程教育专业认证对数学的基本要求，进行了“高等数学”的教学改革与实践；周廷慰［7］在工程教育认证的大背景下，研究了在“高等数学”课程的改革与实践中，通过调整“高等数学”课程知识点的广度与深度，使得课程内容满足工程教育认证的需求；张爽等［8］以函数极值的内容为例，结合教学过程中课前预习、课中学习、课后检验和课外拓展等四个主要环节进行教学设计，旨在促进“高等数学”课程教学质量的提高；还有学者针对工程教育认证背景下“高等数学”教学模式和教学目标的改革进行了研究［9］；部分学者开展了“离散数学”教学的改革研究［10］，“离散数学”是计算机专业基础课程之一，为了满足离散数学在高等工程教育专业认证中的支撑目标，通过分析专业认证下离散数学需要满足的支撑点，指出“离散数学”课程目前存在的问题，从课程设计、教学方法和考核方式等三方面进行讨论，指出改革方案；张蕾等［11］针对普通高校计算机专业的“线性代数”课程进行了探索与建设，以专业知识为载体，以工程认证为导向，扎实提高学生全方位的能力与素质；黄煜可等［12］以北京邮电大学的概率系列课程为例，探讨如何优化面向工科学生的数学类公共基础课程的教学设计，以便更好地配合相关专业教学改革和工程教育专业认证，实现培养优秀工程人才的目标，提出了“一体两翼”、教学内容模块化的教学设计整体思路；朱洪强等［13］分析了南京邮电大学开设的“概率统计”课程情况，根据专业需要，构建了新的课程框架，最后提出了“概率统计”课程的教学方法改革内容，包括教学内容要与实际问题结合、注意学生能力的培养和一种新的授课形式；邓海晨等［14］展示了面向网络空间安全学院的“概率论与数理统计”教学改革思路和成果。

以下以我校地质工程专业工程教育认证对“概率论与数理统计”课程的要求为例，分析概率统计课堂教学存在的问题，结合本校地质工程专业发展规划和应用型人才培养目标，探讨如何进行数学类课程教学改革，以达到工程教育认证标准。

大学数学课程在对地质工程专业的毕业生要求中主要体现在以下两点：（1）掌握从事地质工程领域相关工作所需的数学、自然科学、工程基础和专业知识，并将其用于分析和解决地质工程领域的复杂工程问题。（2）能够应用数学、自然科学知识和工程科学基本原理，识别、表达并通过文献研究分析地质工程领域的复杂工程问题，以获得有效结论。这里总结为两方面，一方面是工程中所需要的基础数学知识，另一方面是应用数学解决复杂工程问题。

一、概率统计课堂存在的问题

（一）课程内容多，理论抽象繁杂，学生难以理解

“概率论与数理统计”课程包括五章概率论内容和四章数理统计内容，概率论部分理论性强；数理统计部分方法性强，且公式烦琐。作为后续专业的公共基础课，学生难以建立课程内容与专业课之间的联系。课程内容存在很多抽象的概念和定理的证明，学起来有一定难度。

（二）传统教学方式导致学生参与度不够

传统的教学模式是板书+多媒体课件教学。教学过程中以教师讲授为主，教师不了解学生的需求，多媒体展示速度较快，且教师和学生交流少，不能及时了解学生掌握知识的情况，学生在课堂跟不上教师的节奏，导致学生感到课堂乏味，被动接受知识，不能有效提高教学效果。

（三）课程以学习理论知识为主，缺乏数学实验和软件应用

学生对课程的认识还停留在课本题目计算上，实际应用能力较差。在教学内容中，概率论是基础，数理统计是在概率论基础上的推断应用。因此数理统计部分更注重实际问题的解决，教学过程中涉及大量繁杂的公式和烦琐的计算，如果课程不设实验课，学生学完课程就只会做题，不会软件求解。

（四）课程思政内容不深，导致育人效果不显

“概率论与数理统计”课程内容丰富，与实际生活联系紧密，蕴含着丰富的思政元素。传统的授课更注重知识目标，轻能力目标和素质目标，且课时紧张，教师在教学过程中未能充分挖掘思政元素，立德树人的任务完成得不充分。

（五）考核方式不完善

教学评价手段单一，平时成绩主要集中在出勤、作业、小测验等，忽略了过程性考核和多元评价，导致学生学习的积极性不高。

考虑到概率统计课程对地质工程专业的要求，结合当前概率统计教学中存在的以上问题，概率统计课程团队进行了相关教学改革。具体用以下例子说明。

二、概率统计课程教学设计改革

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。定理提出了大量随机变量之和的近似分布为正态分布。它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且解释了为什么很多随机现象服从正态分布这一现象。这部分内容的特点是理论性太强、定理抽象，通过过去的授课经验可以知道学生一方面会觉得直接给出定理很突兀，不理解为什么大量的随机变量之和近似服从正态分布；另一方面对定理的来龙去脉，以及其在整个课程中的地位和作用不清楚，学习完后只会仿照教师的解题步骤机械做题。下面从以下几个步骤设计这节课。

（一）由引例引出问题

引例：设各个零件的重量都是随机变量，他们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5 kg，均方差为0.1 kg，问5 000个零件的总质量超过2 510 kg的概率是多少？

引导学生分析该问题的关键是大量随机变量和的分布是怎样的。

（二）实物演示高尔顿版实验

自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中，当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等，碰到下一排钉子时又是如此，最后落入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入哪一个格子，预先难以确定；但是如果放入大量小球，则其最后呈现的曲线几乎总是一样的。观察这个实物演示，提出问题：为什么大量小球落入格子所呈现的曲线几乎是一样的呢？

（三）软件操作展示不同分布随机变量之和的密度曲线图

分别给出多个独立同二项分布、独立同泊松分布、独立同均匀分布和独立同指数分布的随机变量图形。图形展示既可以让学生直观地看到多个独立随机变量之和的密度曲线越来越接近正态分布，也可以为学生演示软件的使用。

这时引导学生思考刚才的高尔顿版实验，小球落下的轮廓曲线也呈现出正态分布的密度曲线，进一步从直观上让学生有了多个独立随机变量之和的近似分布为正态分布这样的印象，此时给出定理内容就相对自然，学生容易接受，且印象深刻。这部分不但用图形展示了多个独立随机变量之和近似服从正态分布，也体现了软件求解，引导学生在课后应用软件求解概率统计中的问题。

（四）独立同分布的中心极限定理

由以上分析给出独立同分布中心极限定理的内容。讲解定理并强调定理的条件及结论。给学生两分钟时间，让学生与同桌互相讨论并对同桌说出定理的条件和结论，为定理应用做好准备。作为独立同分布中心极限定理的特殊情形，引导学生总结棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的内容，应用独立同分布中心极限定理求解引例，演示定理如何使用。

（五）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

在独立同分布的中心极限定理中，假设X1，X2，…，Xn是独立并均服从（0-1）分布，可以得到棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的内容。因此棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可以看作独立同分布中心极限定理的特殊情形。通过这种方式给出棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，既可以引导学生思考，巩固其刚学的独立同分布的中心极限定理，又可以给出新定理。

（六）融入课程思政

独立同分布中心极限定理只要求随机变量相互独立且同分布，对随机变量服从哪种分布没有要求，但最终这些随机变量和的分布却都近似于正态分布，这体现了从量变到质变的辩证法。中心极限定理是经过两百多年的时间，很多统计学家和数学家总结、证明和完善的，体现了做任何事情都要不断探索和坚持。

通过以上教学设计，学生对理论性较强的中心极限定理的理解相对容易，印象深刻。课程设计以学生为中心，培养学生能将实际问题转化为数学问题的能力，以及应用软件分析问题的能力。

结语

本文通过分析了工程教育认证对“概率论与数理统计”的要求以及大学数学传统课堂教学存在的问题，结合本校地质工程专业发展规划和应用型人才培养目标，探讨如何进行数学类课程的教学改革，以达到工程教育认证标准。以中心极限定理为例展现了概率统计课程的教学设计。在今后的教学中以学生学习为中心，通过信息化教学手段充分调动学生的积极性，使其参与到课堂中。将案例教学法、讨论法、演示教学法融入课堂，做好专业支撑。

参考文献

［1］唐刚，李志彪，邓小珍，等.基于工程教育认证的“机械设计制造及其自动化”专业人才培养研究［C］//中国国际科技促进会国际院士联合体工作委员会，南洋科学院.教育科学发展科研学术国际论坛论文集（二）.南昌工程学院机械工程学院，2022：3.

［2］HAWA D R. Ethics instruction in engineering education： A （mini） meta-analysis［J］. Journal of Engineering Education，2001， 90（2）：223-229.

［3］吴子平，肖健.工程教育认证背景下课程思政教学探索与实践：以粉末冶金技术课程为例［J］.高教学刊，2022，8（35）：106-109.

［4］章培军，王震，惠小健，等.工程教育认证背景下数学类课程的教学改革［J］.当代教育实践与教学研究，2020（12）：36-37.