非物理类专业“量子物理”课程教学的若干思考

［摘 要］ 非物理类专业学生的“量子物理”课程教学面临诸多挑战。一方面，相较于物理类专业的学生，非物理类专业的学生在数学和物理基础方面相对薄弱；另一方面，适用于非物理类专业学生的教材资源比较稀缺，从而增加了教与学的难度。为此，构建了既简明扼要又突出核心内容的“量子物理”课程大纲，旨在助力学生更好地理解和掌握“量子物理”知识。该大纲将涵盖课程基本概念、主要理论及相关技术应用，包括了经典物理到量子物理的过渡、薛定谔方程的解法和形式理论等，可以为学生后续学习奠定坚实基础。

［关键词］ 量子物理；非物理类专业；薛定谔方程

［基金项目］ 2023年度国家自然科学基金青年基金项目“弯曲时空量子场论和粒子探测器相互作用的理论探索”（12205250）

［作者简介］ 徐 皓（1989—），男，安徽合肥人，博士，扬州大学物理科学与技术学院讲师，主要从事广义相对论与量子场论研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）34-0021-04 ［收稿日期］ 2024-01-11

引言

量子物理是现代物理学的重要分支，它给出了微观世界的理论描述，所采用的数学工具也为物理学乃至纯数学的发展提供了强大的支持。随着科学技术的不断进步，量子物理也将继续引领我们对自然界的认识迈向新的高度。

在本科教育中，“量子物理”课程对于培养学生的科学素养也有重要的影响。通过学习“量子物理”课程，学生得以掌握物理学的基本原理和方法。此外，“量子物理”课程与其他学科领域也有着紧密的交叉融合，如信息科学、微电子、计算机等。学习“量子物理”课程可以为未来的工作打下坚实的基础，因此许多专业都将“量子物理”课程列为必修课程。

在物理专业的本科教学中，“量子物理”课程无疑占据着核心地位，然而在非物理类专业中，“量子物理”的课程地位却稍显尴尬。许多学生对于“量子物理”课程的重视程度不足，认为它只存在于前沿的科学研究，与日常生活和实际应用相去甚远。

除了学生观念上的误区，“量子物理”课程本身的难度也是原因之一。对于物理专业的学生，他们在学习“量子物理”前已经经历了“经典物理”和“原子物理学”等核心课程的学习，也掌握了微积分、线性代数、概率论、数理方法等数学工具。这使得他们在面对“量子物理”时具备了较为完备的基础。而且，针对物理专业本科生的优秀教材丰富多样，其中不乏大师级的著作，为学生提供了深入学习的资源。然而，对于非物理类专业的学生来说，他们通常在大二就开始接触量子物理，而此前仅仅学习了两个学期的“大学物理”和“高等数学”课程，这令他们在面对量子物理这一高度抽象、复杂的学科时容易感到困惑和无助。此外，适合非物理类专业学生的教材相对较少，也无形中增加了他们的学习难度。

自2020年开始，笔者作为扬州大学物理科学与技术学院教师，为微电子专业的大二学生教授“量子物理”课程。在教学过程中，笔者不断积累经验，深入思考教学方法，并与同行展开广泛交流。本文旨在针对非物理类专业“量子物理”课程的内容设置和授课方式等分享一些观点与建议，以期提高学生对“量子物理”课程知识的领悟和掌握，为他们的职业生涯奠定基础。

一、课程的内容选择

通常的“量子物理”课程教材以历史发展为线索，从黑体辐射和氢原子模型的实验研究出发，逐步引入量子概念。完成课程后，学生应能推导出黑体辐射谱以及氢原子电子轨道。然而，非物理类专业的学生对黑体辐射和氢原子模型的物理背景并不熟悉。求解黑体辐射所采用的核心方法——相格法，在物理类专业的“热力学”与“统计物理”课程中有所涉及。但由于不同高校课程设置的差异，非物理类专业的学生可能并未接触过这一方法。同样，求解氢原子模型所需的球谐函数也可能超出了学生的知识范围。对于非物理类专业的学生而言，传统上从历史和实验出发，回归历史和实验的思路，可能并不适用。

因此，对于非物理类专业的学生，教师需要采取更为合适的教学方式。首先，需要寻找到一个合适的切入点来引导学生深入量子物理的领域中。其次，需要重点讲解量子物理处理问题的方法，尤其是定态薛定谔方程的解法。这是“量子物理”课程的核心内容，也是理解和应用量子物理的关键。最后，需要强调量子物理背后的数学逻辑，从而更好地理解和应用量子物理的知识。

综上所述，针对非物理类专业的学生，在教授“量子物理”课程时，应选取一个易于掌握且能凸显量子物理核心的子集作为教学内容。同时，确保该子集在量子物理体系中自洽且完整。在完成这一内容的学习后，学有余力的学生可进一步探索更深入的知识，以适应科研等高层次需求。下面介绍一个在实际教学中使用的课程内容编排。推荐的参考教材为吴彪教授所著的文献［1］和大卫·J.格里菲斯所著的文献［2］。

1.物理学地图。通过地图的形式，对整个物理学进行系统性划分，主要划分为四大板块：经典物理、相对论、量子物理及未知领域。经典物理领域涵盖了力学、光学、电磁学和热学等基础学科。相对论则进一步探究宏观世界的运作原理，解释了星系乃至整个宇宙的运行规律。量子物理领域既包括量子场论和标准模型等理论研究，也涉及量子计算和量子纠缠等更广泛的实际应用。在未知领域中，展示了现代物理学尚未解决的难题，如暗物质和暗能量以及量子引力等。通过这种直观的展示方式，学生可以更清晰地了解量子物理在现代物理学中的地位，理解其起源和发展方向，纠正对量子物理仅存在于尖端研究领域的误解。

2.经典力学和旧量子理论。对量子力学先驱如何应对从经典到量子的过渡问题展开深入探讨。在解决这一问题的过程中，玻尔和索末菲提出了早期的量子化规则，将经典物理中最基础的概念——相空间进行量子化。详细阐述这种方法在处理谐振子问题时的应用，并对该方法的局限性进行深入分析。通过这一探讨，我们将更好地理解先驱如何巧妙地解决从经典到量子的过渡问题，并为后续的物理学发展奠定坚实基础。

3.线性代数回顾。尽管学生已初步接触线性代数，然而许多学生仍仅停留在行列式处理的浅层技巧记忆上，未能领会线性代数的核心思想。因此，教师应在课堂中引导学生深入理解线性代数的实质，它是处理满足线性运算的数学工具，且为波函数等物理现象提供了强有力的数学表达手段。通过这样的学习，学生将能更好掌握量子物理中的形式理论。

4.迈入量子之门。在引导学生探索量子世界的旅程中，教师并未选择黑体辐射或氢原子谱线作为切入点，而是借助施特恩-格拉赫实验，引领学生迈出了关键的第一步。这里的原因在于施特恩-格拉赫实验所聚焦的电子自旋的研究可以通过线性代数中的2×2矩阵进行描述，这种方法相较于相格法或三维时空中的微分方程更为简洁明了。通过这一部分的学习，学生将建立起对量子力学基本原理的理解，即量子体系的状态可被描述为希尔伯特空间中的一个向量，可观测的物理量由算符表示，观测结果则是算符的本征值，而获得特定本征值的概率则取决于向量在相应本征态上的投影。

5.量子动力学和薛定谔方程。在先前对量子物理的阐述中，我们尚未深入量子态随时间演变的机制，以及波函数作为希尔伯特空间向量的计算。为此，将直接导入薛定谔方程和波函数的统计解释，同时回顾概率论的基础知识，详述了如何利用概率密度计算期望值。此外，还定义了波函数的内积，证明了其正交归一性，并引入了动量算符等概念，以此深化学生对薛定谔方程及波函数的理解。

6.定态薛定谔的解法。在“量子物理”课程体系中，求解薛定谔方程占据着至关重要的地位。运用分离变量法将方程拆分为时间部分和空间部分。其中，时间因子能够直接求解，因此主要关注的是空间部分，即定态薛定谔方程。在完成归一化处理后，其对应的本征态便能作为希尔伯特空间的基矢。由于薛定谔方程的线性特性，任何时刻的量子态均可表示为这些基础矢量的线性组合，并插入时间因子以获得时间演化。教师选取了五种具有代表性的势能模型进行讨论：一维无限深方势阱、谐振子、自由粒子、δ函数以及一维有限深方势阱。通过分析这几种势能模型，学生不仅能够掌握求解定态薛定谔方程的方法，还能深入理解波函数的性质。

7.形式理论。阐述量子物理的数学基础，首先从平方可积性出发，明确定义希尔伯特空间。其次，证明可观测物理量可用厄米算符表示，并深入探讨其在离散谱和连续谱中的特性。然后，阐述量子理论的广义统计诠释，并证明普遍的不确定性原理。最后，引入狄拉克符号体系，并运用它计算2×2矩阵描述的哈密顿量系统中的态的时间演化。这一过程将为施特恩-格拉赫实验提供更为基础的描述，形成逻辑上的完整闭环。

8.量子物理的实际应用。简要探讨量子物理在前沿科技领域的几个关键应用，包括量子纠缠、量子测量、量子计算和量子通信。这些研究领域在理论和实践层面都具有重大意义，并且未来有望发挥更加举足轻重的作用。

经过对上述内容的深入学习，学生可以在有限的基础和课时条件下，实现对量子物理的数学结构和物理本质的理解。教师详细介绍的薛定谔方程的一维时空解法，是在单粒子条件下进行的。若将时空维度扩展至三维，并引入电磁势，则能推导出氢原子的能级结构。若进一步考虑多粒子系统并引入相格，则能得出黑体辐射的能谱。对于有志于继续深化学习的学生，本课程内容将为他们提供坚实的理论基础。

二、教学方法

“量子物理”课程沿用PPT与板书相结合的教学方法。在课程的起始阶段，由于涉及物理学领域的划分、施特恩-格拉赫实验等内容，PPT将成为主导的教学工具。随着课程的深入，计算量逐渐增加，特别是在求解定态薛定谔方程部分，教学应以板书为主，展示计算过程的细节，帮助学生理解和掌握不同的解法。在课程的后期涉及量子物理的实际应用时，可以再次以PPT为主。

如前所述，“量子物理”课程旨在选取一个易于掌握且能突出量子物理核心的子集作为教学内容，确保该子集在量子物理体系中既自洽又完整。因此，该课程的教学重点在于挖掘量子物理的核心原理，而非仅关注其外在形式。学生需在分析问题的过程中领悟量子物理的奥妙，并掌握科学的思维方式。教师在授课过程中，特别是在板书环节，从学者的角度出发，指导学生面对未知问题如何进行思考和尝试，而非简单地给出问题和答案的一一对应关系，让学生机械记忆。

举例来说，在求解薛定谔方程时，由于势能的选择具有任意性，因此并不存在通解。在课程中，教师应引导学生思考如何得到尽可能一般的结论。利用微积分的知识，对于连续可导的势能函数，当在其极小值点附近进行泰勒展开时，二阶项可以写成类似谐振子的形式，而势能的二次导数可以对应谐振子中的弹性系数。因此，谐振子势非常适合模拟势能极小值点附近的行为。虽然无法得到任意势能对应的解，但能够得到势能极小值点附近的行为，这在物理上具有重要的意义。

在解决谐振子的定态薛定谔方程问题时，笔者提出了两种求解策略。将求解这个问题比作是一次未知的攀登高山的过程，其中一种策略是直接进行攀登，而另一种策略则是选择先攀登一座较为容易的山峰，再从山顶观察目标山峰的地形和路线。这两种策略分别对应了数学中的解析法和代数法。

在解析法中，将方程在可直接求解的区域，即无穷远处找到解，而后对解进行必要的修正，将解表示为级数的形式，并推导每一项系数间的递推关系。同时，需要确保所得到的解与无穷远处的渐近行为保持一致，避免出现矛盾。最终，我们发现为了满足波函数的归一化条件，递推关系不能无限进行下去，必须在某一位置进行截断，而这一截断操作恰好产生了量子化条件。随后，引导学生深入思考，为什么量子化这一物理定律会在求解微分方程的技术细节中体现。通过展示两个不满足量子化条件的解，可以发现正是波函数的统计诠释对解的渐近行为提出了要求，从而导致了量子化的出现。简言之，只有量子化的解才能被认为是符合物理规律的。这也为我们提供了一个绝佳的机会，展示了数学与物理之间的密切关系。

在代数法中，笔者采取了全新的思路，没有直接求解方程，而是引入了新的算符，即产生湮灭算符，将系统的哈密顿量以新的形式呈现。通过这些算符，就能找到解与解之间的转换关系，不是一次性获得所有解，而是找出了如何从一个解生成更多解。由于物理上不可能存在能量为负的解，因此这种转换关系需要在某个点被截断，而这个截断关系恰好给出了一个求解基态的简单方程。一旦求得基态，就可以利用它来生成激发态的解，而这种方法得到的结果也和解析法完全相同。