研究生“数值分析”课程教学改革的探索与实践

［摘 要］ 在专业课程教学中，融入科学研究和思政元素已成为高等教育改革发展的必然趋势。数值分析是连接数学、计算机科学、工程科学、计算思维、工程思维和逻辑思维之间非常重要的纽带，其课程教学所体现出来的数学思想和方法已深入各个学科中。针对研究生“数值分析”课程的特点，实施探究性教学，将科研探索和课程思政融入“数值分析”课程教学中，探索以科研助教学、以教学促科研、知识传授和价值引领有机结合的课程教学改革路径，培养研究生的实践能力、创新能力，使其具有扎实的学术研究功底。

［关键词］ 数值分析；教学模式；探究性学习；创新能力；课程思政

［基金项目］ 2021年度广东省研究生教育创新计划项目“数值分析研究生示范课程建设”（2021SFKC030）

［作者简介］ 邓秀勤（1966—），女（瑶族），广东连州人，硕士，广东工业大学数学与统计学院教授，主要从事机器学习研究；刘冬冬（1989—），男，河南商丘人，博士，广东工业大学数学与统计学院副教授，主要从事数值代数及其应用研究；徐 杰（1980—），男，浙江绍兴人，博士，广东工业大学数学与统计学院讲师（通信作者），主要从事计算数学研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A   ［文章编号］ 1674-9324（2024）43-0117-04 ［收稿日期］ 2023-09-20

“数值分析”既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用广泛性与实际实验高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合且实用性较强的数学课程［1］。随着大数据和人工智能的飞速发展，“数值分析”课程教学面临着新的挑战。结合学科特点和专业培养目标开展“数值分析”课程教学改革，受到越来越多教育工作者的关注。

传统的“数值分析”课程教学主要以知识目标为导向，容易过多地强调理论知识和公式推导，忽视实践环节，难以有效激发学生的学习兴趣，教学效果不是很理想。陈明等［2］结合自主探究式学习的教学五要素，构建了基于自主探究式学习的研究生“数值分析”课程教学策略总体思路，取得了良好的教学效果。郭培昌等［3］在研究生“数值分析”课程中实施了探究性学习，向学生提供了具有科研深度兼具专业特色的科研文献作为阅读材料，将科研探索融入教学中，全面提升了学生的知识技能和科研水平。张建华等［4］分析了目前课程教学存在的问题，构建了以计算思维和工程思维为核心要素的“数值分析”课程教学改革方法，为新工科研究生创新能力的培养提供了有效的途径。笔者结合多年的课堂教学和实践教学经验，从课程教学模式、理论和实践与科研融为一体、课程思政和考核方式四个方面进行了研究及探讨。

一、构建以问题驱动为导向的探究性教学

在教学过程中，探究性教学要求学生在教师指导下，通过以自主、探究、合作为特征的学习方式对当前教学内容中的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流［5］。在以问题驱动为导向的探究性教学中，以问题发现、问题分析、问题解决为主线，师生共同围绕“问题”开展自主合作探究学习，体现以“学”为中心的教学理念。以问题驱动为导向的课堂教学围绕学生的学习需求而展开，打破了传统教学的“壁垒”，避免了教师“一言堂”，有助于在自主探究、合作交流、问题解决的过程中，激发学生强烈的学习兴趣和潜能，锻炼其独立思考和科研思维能力。

拉格朗日插值既是数值逼近的重要内容，又是微分方程、数值积分、数值微分的重要基础。为了让学生掌握构造拉格朗日插值多项式的核心思想，首先根据互异的两点唯一确定一条直线的几何直观，让学生由点斜式写出该直线方程，通过对所构造的一次函数化简，得出这个一次函数可以表示成两个线性函数的线性组合，然后启发学生思考这两个线性函数有什么性质，进而引出基函数的概念，并重点讲清拉格朗日基函数的构造思想。依据这种思路，让学生构造二次、三次基函数，然后从二次、三次基函数逐渐向高次归纳和推广。最后，分析讨论拉格朗日插值的优缺点，引导学生主动思考、深入探究、自主学习。虽然拉格朗日插值公式结构整齐紧凑、理论分析方便，但公式不具备递推性，在计算中，当插值点增加或减少时，所对应的基函数需要全部重新计算。为克服这些缺点，就须要构造其他插值方法，从而为讲述Newton插值法的构造做铺垫。此外，可以先举例说明二次插值比线性插值要精确，随后提出问题“是不是多项式插值的次数越高越好？”，从而引发学生进一步思考，然后结合Matlab绘制插值曲线来解释高次拉格朗日插值的龙格现象，进而引出分段线性插值问题，不断拓展拉格朗日插值多项式的内涵，层层推进，以问题为驱动，引导学生探索尝试，将科研思想融入教学过程，为今后的科研和学习奠定基础。

二、强化理论与实践并重的理念，注重培养学生的创新精神和创新能力

数学不仅是自然科学的基础，也是人工智能、机器学习、计算机视觉、无人驾驶汽车和数据分析等的技术基础。“数值分析”是一门集理论和实践于一体的专业学位课程，具有较强的理论价值和应用价值，是数学和工程科学的纽带，在培养创新意识、创新能力，以及树立工程理念上发挥着重要作用。“数值分析”课程最主要的特色便是理论与实践相结合，数学理论指导算法设计和误差分析，数值运行结果又验证理论推导的正确性，在教学中既要重视讲透各种数值算法理论，又要重视培养学生的编程计算能力，使学生能将课上所学到的数学算法，通过编程、上机实现，得到计算结果。因为想要编出程序代码，首先必须透彻理解算法的数学原理，这样不仅有助于学生理解课堂上的数学理论知识，而且学生可以根据程序代码的运行结果来比较算法的优劣，直观感受算法的稳定性、运算量、运算时间等，在程序反复报错与对错误修正中，加深对算法相关数学原理的理解，锻炼实践动手能力。譬如，在介绍求解线性方程组的古典迭代法时，布置编程计算题目，分别按照雅可比迭代和高斯—赛德尔迭代格式来求解方程组，让学生通过实际运算时间来比较两种算法的渐进收敛速度。这时再与高斯消去法的程序运行结果进行比较，可以使学生直观感受迭代方法在处理大规模稀疏问题方面的优势，进而深入分析运算量和存储量对算法效果的影响［3］。学生通过具体的实践操作，突破了习惯性认知模式，深刻领会到理论知识和实践能力的重要性，提升了深度分析问题、大胆质疑问题、勇于创新的能力，提高了数学建模能力和解决实际问题的能力，培养了学术创新精神。

在教学实践环节，注重数学理论、方法与工程实际的有机融合。通过布置2～3道往年的数学建模题作为课后作业，让学生自己去探索，从学习过的知识中找思想、找方法、找突破口，极大地激发了学生参加数学建模的兴趣。例如，学生积极报名参加每年九月份举办的“华为杯”中国研究生数学建模竞赛，参赛热情逐年提升，比赛成绩逐年提高。2021年数学建模竞赛有3人获得了二等奖，6人获得了三等奖；2022年数学建模竞赛有15人获得了二等奖，14人获得了三等奖。我们期待2023年获奖人数更多，能有学生冲击一等奖，实现“零的突破”。

三、坚持教研相长、以研促教的教学理念

在课程教学中融入科学研究已成为高等教育改革发展的必然趋势。在课程中引入学科前沿，将科研项目和成果融入课堂教学，提升教学水平和科研意识，实现对学生基础科研能力和实践能力的培养以及终身学习能力的提高是我们追求的目标。在教学中，把“数值分析”课程内容结合到教师的科研项目中是践行教学与科研同向而行的一个非常好的突破口，为了强化“数值分析”课程以科研助教学、以教学促科研的教学理念，加强学生的科研意识，培养学生的创新精神，充分发挥科研项目的育人功能。笔者鼓励研究生参与自己的国家自然科学基金科研项目“高阶Markov链的张量低秩逼近模型及其在大规模随机游走中的应用”以及广州市科技基金项目“大规模稀疏随机张量模型的理论和数值分析及其在数据分析中的应用”的研究中，引导研究生进行自主探索和学术创新。用迭代法解线性方程组是“数值分析”中很重要的理论知识，高斯-赛德尔迭代法和松弛法是迭代法中经典的算法之一。通过引导学生利用“数值分析”知识点进行深入思考、理论验证、程序实现以及教师的点对点指导，有助于让研究生清楚地看到“数值分析”课上所学的理论知识、算法分析与编程技术能直接应用于科研项目的问题解决中，极大地激发了研究生参与项目研究的信心和积极性，锻炼了学生的实践动手能力和科研创新能力，为学生日后参与科研工作奠定了扎实的专业基础，进一步提高了课堂的教学效果。譬如，2021级研究生唐舒婷针对多重线性PageRank问题，结合松弛技术，提出了一种新的张量分裂算法——基于分裂迭代算法求解多重线性PageRank问题，并给出严格的收敛性分析，该文已投我国计算数学领域顶刊《计算数学》。2021级研究生利锦轩研究了一种求解m张量多线性系统的预条件分裂迭代法，并通过数值算例给出了迭代张量的比较结果，证明所提方法的有效性，该文已被国外期刊录用。这些都是教师和学生不断交流、思想碰撞产生火花的成果，据不完全统计，2020级42位学硕研究生中有35人公开发表了学术论文，其中20篇是SCI期刊论文；2021级53位学硕研究生已发表了25篇论文，其中有18篇是SCI期刊论文。2019级毕业生共29人，读博只有3人；2020级毕业生共42人，选择继续读博深造的有11人，2020级研究生读博升学率为26.2%。

笔者在如何把“数值分析”的理论和实践与科研融为一体方面做了一些尝试，取得了可喜的成效。如何进一步把“数值分析”与科研实践相结合，充分发挥教学与科研的协同育人功能，是笔者今后要进一步探讨的课题。

四、深挖思政元素，使课程思政有效融入课程教学

课程思政是一种教育教学理念。新时代的课程思政建设，应围绕立德树人根本任务，加强课程思政建设，更加注重思想引领［6］。2016年，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，“要用好课堂教学这个主渠道”“其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应”［7］。“数值分析”课程蕴含着许多重要的数学思想和方法，可以从中挖掘出思政元素，促进学生对问题来源和数学思想的理解，从而使其更好地掌握数学思想和算法精髓。譬如，北宋文学家苏轼所写的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”，描绘了庐山随着观察者角度的变化，会呈现出不同的风景。在介绍利用基函数的方法构造Hermite插值时，可以适时地引入这首古诗［8］，因为在构造Hermite插值函数时，要“横着”写出须满足的条件，但是却要“竖着”用这些条件。利用这首古诗不仅加深了学生对基函数方法的理解，而且加强了对学生的传统文化教育，让学生在润物无声中领略到了中华优秀传统文化的博大精深，可以用文学的语言将数学的原理解说得有理、有情、有趣。再譬如，秦九韶算法蕴含了丰富的爱国主义教育元素，在讲解避免误差危害的算法设计原则时，重点介绍可减少运算次数以减少计算误差的秦九韶算法，介绍秦九韶是我国南宋时期著名的数学家。通过穿插相关数学史，以激发学生科技报国的家国情怀和使命担当，增强其民族自豪感。

科研是一场永无止境的探索。“数值分析”课程与现代科学技术进步紧密相连，在教学中须积极融入科学研究精神和创新创造精神。例如在讲授数值积分时，首先给出非等分求积节点的机械型求积公式，然后讲解等距求积节点的牛顿-柯特斯求积公式，介绍几种低阶的求积公式，再介绍复化求积公式，最后在介绍变步长的求积公式的基础上，导出龙贝格求积公式。这是一个求积精度不断提高的过程。通过对求积公式进行不断优化的循序渐进的过程，向学生阐释什么叫科学研究无止境，从而激发学生的学习兴趣，培养学生的科学探索精神。“数值分析”课程中很多重要的定理和公式是以数学家的名字命名的，如高斯积分公式、牛顿迭代法等，在教学实践中融入著名科学家的励志事迹，可以激发学生为国家崛起而努力奋斗的科学创新精神和时代责任感，实现思想的共鸣，真正将价值导向与知识导向相融合，起到很好的思政教育效果。

五、多元化的课程考核方式

闭卷考试是主要的传统考核方式，在这种考核方式下，一些学生可采用考前突击的方式获得较高的分数。公正的考核评价体系是课程教学运行的重要环节，不仅直接影响学生学习的积极性和主动性，也是教师教学效果的重要体现。目前，研究生“数值分析”课程采用多元化的考核评价体系，即上课考勤（5%）+作业（10%）+课程实验（15%）+期末考试（70%），其中课程实验，学生可以根据专业背景自主选择题目，通过数值实验完成作业。