基于整体性视角的数学教材例、习题研究

摘    要：基于整体性视角研究教材例、习题的编制特点，教师可从题型、知识类型和数学基本思想三个维度对其进行数量统计分析，并根据相关理论构建知识类型框架与数学基本思想框架.教师要充分重视例、习题在引导学生挖掘数学知识的内在联系、培养学生看待问题的整体意识、启发学生数学学习的思维迁移、诊断学生数学学习的效果等方面的作用.对待具体内容如“函数”，教师要总结出其例、习题编制的整体性特征，即均衡“信息”和“智能”意义、偏重程序性知识的联系，重视数学基本思想的渗透、匹配学生的数学认知发展，加强数学内容的内在联系、搭建“横向关联”的内容结构，从而得出教材编写和教学应用的启示.

关键词：教材例、习题研究；整体性视角；初中数学

数学的学科特点决定了研究数学必然要触及数学问题，而教材中的例、习题是数学问题的主要表现方式之一，因此国内外都极重视对其进行研究，有的对其难度作比较研究，有的对其核心素养表现进行研究，有的依据其特征对其进行分类研究.而基于整体性视角研究教材例、习题的编制特点，有助于更好地发挥例、习题的作用.数学教学必须注重整体性，这是由数学的学科特点决定的.这种整体性，既体现在数学概念及其反映的数学思想方法的一体性上，又体现在各部分内容的有机联系上［1］.在看待某个事物时，不应将其分离成各个“碎片”逐一进行研究，而应将其看成一个完整的整体加以研究和考察，并使整体结构朝着优化的方向发展［2］.下面，笔者基于整体性视角，分析数学教材“函数”内容例、习题编制的整体性作用及特征，以期为初中数学教材的编写与使用提供一些思考.

一、教材例、习题的整体性研究解析

（一）研究问题

笔者主要关注以下两个问题：（1）整体性视角下，教材例、习题的作用体现在哪几个方面？（2）教材例、习题编制在题型、知识类型和数学基本思想三个维度上具有怎样的整体性特征？

（二）研究对象

笔者选取的教材为浙教版义务教育教科书《数学》八年级上册与下册以及九年级上册（下文分别简称为“八上”“八下”“九上”），研究对象是三本教材“函数”内容（八上第5章、八下第6章、九上第1章）的例、习题，例题的范围为其中出现的所有“例题”，习题的范围为其中的“课内练习”“作业题”“目标与评定”.

（三）研究方法

笔者运用文本分析法，编码统计“一次函数”“反比例函数”“二次函数”三章内容的例、习题数量，归纳例、习题编制的整体性特征，分析数学教材例、习题整体性作用的四个方面，从而获得启示.

（四）研究框架

笔者主要从题型、知识类型和数学基本思想三个维度对例、习题进行数量统计分析.知识类型的分类依据是王光生的知识二维分类模式［3］，以此构建如表1所示的框架.数学基本思想的研究采用史宁中对数学基本思想的分类与内涵说明［4］，以此构建如表2所示的框架.

编码主要由三位数学教育专业的硕士研究生独立进行，并多次进行线上、线下讨论，同时请教富有经验的一线教师、数学教育专家以达成共识，所用编码均为具体的知识类型或数学基本思想的英文首字母.下面以八上第173页“目标与评定”中的第16题（此处略）为例，进一步说明如何对体现不同知识类型、不同数学基本思想的例、习题进行统计.

第（1）小题求函数的表达式，解答过程中主要涉及一次函数的定义，因此只有信息意义，同时需要按照一定的步骤解决问题，故属于联结—程序性知识.此外，从情境问题中抽象出总费用与A种笔记本的数量关系，体现了抽象思想.

第（2）小题对最少费用的判断，需要借助一次函数的性质进行较为复杂的逻辑运算，故属于运算—程序性知识.同时利用函数的性质解决实际生活中的问题，体现了模型思想.在整个过程中，从一般的函数表达式推出特定的最少费用属于从一般到特殊，体现了推理思想.

故16题第（1）小题可编码为CP、A，第（2）小题可编码为OP、I和M.

二、教材例、习题的整体性作用分析

教材例、习题具有重要的教学价值.吴立宝等人提出习题具有“七功能”，分别是巩固强化新知、拓展延伸新知、综合应用新知、思维能力训练、思想方法渗透、诊断反馈补救以及育人功能［5］，例题具有巩固新知、解题示范、揭示思想方法、育人四个功能［6］.受此启发，笔者基于整体性视角，发现例、习题在四个方面有着重要的作用，具体如下.

（一）引导学生挖掘数学知识的内在联系

例、习题编制的整体性特质不拘泥于单个章节的限制，挖掘数学知识的内在联系，是帮助学生理解数学横纵向知识结构的关键［7］.例如，反比例函数中的思想方法与正比例函数等是一致的，教师可引导学生挖掘它们的联系，思考数学知识的源头、发展和去向.

（二）培养学生看待问题的整体意识

从整体性视角看待数学问题的解决，有助于培养学生看待事物结构与发展的整体意识，不但能使学生正确理解数学问题的“局部”特征，也能培养学生看待数学问题间联系与发展的大局观，引导学生养成从大处着眼、从小处着手解决数学问题的思维习惯.

（三）启发学生数学学习的思维迁移

数学有效教学的重要指标，是学生的数学学习能否从一个问题迁移到另一个问题，从一个情境迁移到另一个情境，从学校课堂迁移到社会生活中［8］.理解例、习题的整体性编制意图，有助于学生发展对不同数学内容学习的迁移能力，筑起新知与旧知间沟通的桥梁，加深对数学知识本质的理解.

（四）诊断学生数学学习的效果

在数学学习中，诊断性评价是诊断学生的概念理解、法则运用和解题思路与程序的有效方法.诊断性评价能够帮助教师发现学生数学学习中的问题，查明问题产生的真正原因，从而采取有效对策，促进学生概念等知识的生成和转变学习［9］.例、习题的整体性特征起着有效诊断学生理解、掌握知识情况的作用.

三、“函数”内容例、习题的统计分析

（一）数量统计

教材例题均采用例1、例2、例3等编号的形式，小题均采用（1）、（2）、（3）等编号的形式.习题均采用1、2、3等编号的形式，小题均采用（1）、（2）、（3）等编号的形式.

为使统计分析更为科学合理，笔者采用统一计数方式，按照习题编号形式将例题重新编号，统计出“函数”内容例、习题的数量，具体如下.

例题数量总共为56，其中，“一次函数”为23，“反比例函数”为16，“二次函数”为17，分别占比41.07%，28.57%，30.36%.

习题数量总共为381，其中，“一次函数”为137，“反比例函数”为108，“二次函数”为136，分别占比35.96%，28.35%，35.70%.（注：按“四舍六入五留双”原则对尾数进行进位，部分结果之和与100%略有出入，以下同）

作为“函数”内容的起始内容，“一次函数”例题数量占比最高，习题数量占比也较高，“反比例函数”的习题和例题数量占比均最低，“二次函数”习题数量占比接近“一次函数”.

（二）题型统计

笔者对“函数”内容例、习题的题型进行统计，统计结果如表3、表4所示.

由表3可知，从总体来看，计算题型占比最大，多问（是“多个设问”的简称）、应用两种题型次之，说明例题侧重于培养学生的计算能力、数学学习思维以及对数学知识的应用意识.在纵向比例上，“一次函数”例题最高，“反比例函数”和“二次函数”较为接近.

由表4可知，从总体来看，计算、简答、多问三种题型占比较高，从局部来看，选择题型比例较为均衡，填空题型在“反比例函数”中最高，作图题型在“二次函数”中最高，这反映出随着学生学习年段的增长，习题编制逐渐增加了对学生知识理解及独立作图能力的考查.

（三）知识类型统计

笔者根据知识类型框架对“函数”内容例、习题所包含的知识类型进行统计，结果分别如表5和表6所示.

由表5可知，联结—程序性知识总体比例最大，运算—陈述性知识总体比例最小，而运算—程序性知识局部比例在“二次函数”中剧增.三种知识类型的纵向比例差距较为明显，“一次函数”占比最大，“反比例函数”占比最小.

由表6可知，联结—程序性和运算—程序性知识总体比例较大，运算—陈述性知识最小，联结—程序性知识在“一次函数”中的局部比例最大，运算—程序性知识的局部比例在“二次函数”中最大.在纵向比例上，“一次函数”和“二次函数”较为接近.

（四）数学基本思想统计

笔者依据数学基本思想的研究框架对“函数”内容例、习题进行统计，结果如表7和表8所示.

由表7可知，“抽象”例题的局部比例在“一次函数”和“反比例函数”中较高，“推理”例题的局部比例在“二次函数”中较高，而“模型”例题总体比例最低.

由表8可知，“抽象”与“推理”习题在总体比例上较为接近，各局部比例均较高，而“模型”习题的总体比例及局部比例均较低.

四、讨论与结论

笔者结合上述分析及表格，绘制题型维度下例、习题局部比例平均值折线图（如图1所示），以及知识类型和数学基本思想维度下例、习题局部比例平均值折线图（分别如图2和图3所示）.由图1可知，多问、简答、应用、选择四种题型的局部比例变化较小，计算题型局部比例不断减小，作图题型局部比例不断增大.由图2和图3可知，运算—陈述性知识类型和抽象思想的局部比例均先增后减，联结—陈述性知识类型和推理思想的局部比例均先减后增，联结—程序性知识类型和模型思想的局部比例均不断变小，运算—程序性知识的局部比例则不断增加.此外，三种数学基本思想也存在着迥异的变化趋势.

基于以上分析，笔者总结出“函数”内容例习题编制的整体性特征，具体如下.

（一） 均衡“信息”和“智能”意义，偏重程序性知识的联系

由上述分析可知，程序性知识在整体比例上独占鳌头，可见“函数”内容例、习题的编制逐渐侧重于包含程序性知识和一定引导下的作图、应用、简答和多问四种题型，需要学生经过作图和建模等复杂认知操作活动解决问题.

（二）重视数学基本思想的渗透，匹配学生的数学认知发展

在“函数”内容中：抽象和推理思想的总体比例较高，表明初中阶段例、习题的编制更为重视对学生数学基础知识、数学抽象和推理能力的培养；体现模型思想的例、习题比例相对较低，这与初中生处于起步阶段的数学认知发展相适应.

（三）加强数学内容的内在联系，搭建“横向关联”的内容结构

纵向比例上，“一次函数”“反比例函数”和“二次函数”教材例、习题在知识类型、数学基本思想两个维度上的平均值有所差异，整体较为均衡，且其变化趋势也有一致之处，呈现“函数”内容在知识类型、数学思想方法上较为一致的横向关联结构.

五、启示

从以上结论可以得到一些初中数学教材编写和教学应用的启示.首先，教材例、习题的编制应重视从模仿、重复、记忆开始，帮助学生在运用中加深理解，在理解的基础上强化记忆，形成技能，然后逐步走向灵活运用［10］.教材应将数学内容的整体性循序渐进地展开.其次，教材例、习题的编制与运用应该重视对学生解决问题思维的引导性，使学生在面临一类问题时能够把握解决问题的思考方向.再次，在对“函数”内容进行研究时，笔者发现函数与方程等数学知识的联系较多，因此我们应当重视在整体性视角下数学不同内容领域知识教学间的紧密联系.[□][◢]

参考文献：

［1］章建跃.注重整体性才是好数学教学［J］.中小学数学（高中版），2012（4）：50.

［2］［7］朱先东.指向深度学习的数学整体性教学设计［J］.数学教育学报，2019（5）：33-36.

［3］王光生.知识类型与数学教学设计［J］.数学教育学报，2007（3）：27-31.

［4］史宁中.数学基本思想十八讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016：1-9，13-16，114-115，216-218.

［5］吴立宝，王富英.数学教材习题“七功能”［J］.教学与管理，2014（31）：66-68.

［6］吴立宝，王富英，秦华.数学教科书例题功能的分析［J］.数学通报，2013（3）：18-20，23.

［8］涂荣豹.数学学习与数学迁移［J］.数学教育学报，2006（4）：1-5.

［9］周友士.数学教学中错误概念的诊断与矫治［J］.教育探索，2004（10）：64-66.

［10］章建跃.如何帮助学生建立完整的函数概念［J］.数学通报，2020（9）：1-8.