例谈初中几何推理能力的培养路径

摘    要：2024年浙江省中考数学卷第24题突出考查了学生的几何直观能力、综合运用知识解决问题的能力、数学思维的灵活性和创新性.鉴于学生在几何推理能力上存在不足，教师可多分析试题，确定培养路径.具体教学中，教师可从始于审题的直观图形感知能力、抓住要点的关键信息识别能力、常规训练的解题思路迁移能力、适合个性的解题视角选择能力、基于小结的基本图形反思能力等入手，全方位地培养学生的几何推理能力.

关键词：初中几何；推理能力培养；试题分析

2024年浙江省中考数学卷体现了对学生数学核心素养的考查，内容涵盖初中数学全部知识主题，回归基础，注重考查基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.其中，第24题突出考查了学生的几何直观能力、综合运用知识解决问题的能力、数学思维的灵活性和创新性.学生可以通过多种思维路径获得多种解法，但从解答结果来看，很多学生在几何推理能力上存在不足，在推理中遇到各种思维障碍，导致推理过程出现偏差或推理失败.由此可见，培养初中生的几何推理能力仍是亟待解决的突出问题.

一、原题呈现及分析

2024年浙江省中考数学卷第24题如下（注：为保持原貌，试题中的图不加编号）.

如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE=∠ADC.

（1）若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数．

（2）求证：①EF[⫽]BC；②EF=BD．

此题综合考查了几何的相关知识，以圆内接四边形为背景，研究线段与圆内接四边形基本元素之间的关系，从角大小关系、边位置关系、边数量关系等问题展开探究，环环相扣，并涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转变换等知识.要解决此题，学生需要具备一定的几何想象及推理能力，能识别基本图形及图形隐藏的特征，并在画图、观察、猜想、分析、证明的探究过程中，证明两条线段的数量关系.

二、初中几何推理能力解析及培养路径

初中几何推理能力是指初中阶段，学生在学习几何知识的过程中所形成的一种特殊能力，即通过数学知识的学习与掌握，运用逻辑推理的方法和技巧，从已知条件或基本事实出发，逐步推导出新的结论或证明几何命题的能力.这种能力逻辑性强、条理性清晰，不能凭空臆断或跳跃，不仅能体现学生的逻辑思维水平和数学素养，也是学生解决数学问题、进行科学探究必备的一种能力.

（一）始于审题的直观图形感知能力及培养路径

审题是提升学生几何推理能力的关键.在审题过程中，直观图形感知能力能够帮助学生快速识别题目中的关键信息和图形特征，深入理解题目要求，明确需要解决的问题，确保解题方向正确.

上题第（2）问第①小问要求探究两条线段平行，可借助几何直观观察图形特点，题中要使两条直线平行，同旁内角应互补，即∠F+∠FBC=180°.该题的背景是圆，由圆的内接四边形对角互补或外角等于内对角，很容易发现一组同位角相等、两直线平行，得出EF[⫽]BC.

在教学中，教师可以通过多样化的教学手段，如利用信息技术展示生动直观的图形、利用实物模型增加学生的认知经验、设计图形构建任务、有意识地培养学生运用图形分析问题的习惯等方式，引导学生深入探索图形的性质与变化规律.这些互动性强、富有创意的教学方式，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能促使他们在观察、比较、分析中逐步建立起对图形的直观感知，有效提升直观图形感知能力，并能在脑海中构建出清晰、准确的图形表象，为后续的几何学习乃至数学素养的全面提升奠定基础.

（二）抓住要点的关键信息识别能力及培养路径

识别关键信息是解题的关键.学生需要善于从题目中提取关键信息，如已知条件、图形的性质等，理解这些信息在解题中的作用，筛选出该题可能能用到的解题方法，构建逻辑链条.同时，学生还要熟练掌握几何中的基本定理、性质和公式，并能灵活地将它们应用到解题过程中.

对上题第（2）问第②小问，学生可联想和线段相等有关的知识点，构建如证明线段相等常用方法的知识网络.在三角形中，可以利用全等、等腰三角形等角对等边、三线合一、中垂线性质、角平分线性质或斜边中线来证明线段相等，也可以通过相似结合等量代换得到线段相等；在四边形中，可以考虑平行四边形对边相等或对角线相关的性质来证明线段相等；在圆中，可以通过弧相等或者圆周角相等、垂径定理或切线长定理等性质来证明线段相等.当然还有一些特殊的方法，如在解三角形中通过三角函数来转化得到线段相等.

在教学中，教师可以通过渗透读题技巧、用数学语言去剖析题目内容、传授题目中隐藏条件的挖掘和提取技巧、构建知识网络、逆向思考等方式，引导学生主动探索、分析并比较信息，加深对题目内容的理解并进行转化和迁移，进而提升信息识别能力.通过这些方式，学生可以逐渐学会筛选、分析和判断信息，从而能在信息爆炸的时代中，更加自信、准确地获取所需知识，为终身学习奠定坚实基础.

（三）常规训练的解题思路迁移能力及培养路径

解题思路迁移能力是解题过程中的一种重要能力，指面对新的问题，学生能够灵活地将过去解决类似问题的经验、策略、方法或思维方式应用到新情境中的能力.它要求学生具备良好的问题分析能力、创新思维能力和灵活应变能力，能够识别新问题与已解决问题之间的相似性，从而找到解决新问题的切入点.它还要求学生能跳出常规的思维框架，尝试从不同的角度和层面进行思考，以寻求更加有效和创新的解决方案.常规训练中最常见的推理方法有转移转化、等量代换等.

1.转移转化视角下的构造全等

转移转化是一种重要的思维方法，指通过图形变换或构造辅助线等方式，如调整几何对象的位置、形状或关系等，来处理复杂的几何问题.

如在上题给出的材料中找不到三角形全等的直接条件，此时，我们可从追本溯源的角度出发——这道题的本质是转移转化线段BD，构造三角形全等.通过转移转化，结合圆内同弧所对的圆周角相等和圆内平行的等腰梯形导角相等，即可得出三角形全等.方法如下.

方法1：过点B作BG[⫽]AD交圆于点G，可证△AEF≌△CAG，EF=AG=BD.

方法2：过点D作DG[⫽]BC交圆于点G，可证△AEF≌△ACG，EF=CG=BD.

2.等量代换视角下的构造相似

上题中第二个条件是AE=AC，因为不在圆内的两条线段相等，可考虑全等或相似中的等量代换.上题中第三个条件是∠AFE=∠ADC，由一对角相等可推三角形全等或相似，也可推在圆中同弧相等或弦相等，然后通过各种思路构建链条，推出结论EF=BD.

在证明线段相等时，通常可构造A字型或8字型相似，利用两对三角形相似则对应边成比例，通过搭桥的方法等量代换推出结论.

方法3：构造A字型相似，过点D作DG[⫽]EF交AF于点G.通过△BDG[∼]△CAD，[ACDB] = [ADDG]，△ADG[∼]△AEF，[AEEF] = [ADDG]，等量代换得EF=BD.

方法4：构造8字型相似，延长CB，EA相交于点G.通过△GBD[∼]△GAC，[BGBD] = [AGAC]，△AGB[∼]△AEF，[BGEF] = [AGAE]，等量代换得EF=BD.

在教学中，教师可以通过有针对性地创设问题情境、有效设计问题的追问、驱使学生关注知识应用、鼓励学生进行跨学科探索、定期给予学生反馈等方式，引导学生主动探索和思考，进而提升解题思路迁移能力.通过这些方式，学生可以逐渐养成自主学习的习惯，学会主动去寻求问题的答案，并在反馈中不断调整自己的学习策略，进而提升批判性思维和创新能力.

（四）适合个性的解题视角选择能力及培养路径

在进行几何推理时，学生常有自己擅长的视角.在教学中，教师要善于引导学生根据个人的思维特点、问题特性，迅速定位最适合自己的解题策略，从而高效解决问题.

1.转移线段视角下的四点共圆导角

在平行线的基础上构造平行四边形BGEF，实际上就是转移线段EF，如图1所示，也可得D、C、G、E四点共圆，转化角相等可得EF=BG=BD.

2.特殊方法视角下的三角函数

如图2所示，在△AEF和△ADC中，有一条边和它的对应角对应相等，即AE和对角∠AFE，AC和对角∠ADC，AE=AC，∠AFE=∠ADC，由外接圆半径公式（正弦定理）可得，[AEsin∠AFE]=[ACsin∠ADC]=[2R]，即△AEF和△ADC的外接圆是等圆，可得EF=BD.

在教学中，教师可以通过构建问题链、强化数学模型构建与应用、鼓励“一题多想”及小组合作讨论等方式，引导学生深入思考，全面激发学生的解题兴趣，拓宽思维广度，提升他们从多角度审视和选择解题视角的能力.这可使学生学会在面对复杂问题时，不局限于单一的思考路径，从而能够迅速识别并尝试多种可能的解题视角，促进数学核心素养的提升.

（五）基于小结的基本图形反思能力及培养路径

在参与探索的过程中，学生积累了一定的活动经验，教师应及时小结，帮助学生提升感性认识.感性认识虽然不直接构成推理的主要过程，但它对理解几何概念、形成几何直觉以及辅助进行逻辑推理等都有重要作用.当然，在复杂的图形中可能还需要寻找隐藏的基本图形，这可通过添加辅助线或将复杂的图形进行分解来得到.

通过小结，教师要引导学生思考知识的结构与知识间的联系，学会用联系、发展的眼光看数学，对解题过程进行总结与反思.同时，在小结时分析错误或推理受阻的原因也是必不可少的.为强化学生的推理能力，教师可在解题过程中有效融入一些训练.

在教学中，教师要以基本图形为出发点，通过构建图形变换情境、图形的“分割”和“累加”、图形证明探究活动等方式，全面激发学生的图形探索兴趣，引导学生建立基本图形，并从中抽象模型，多角度和多方向地锻炼解题能力，然后深入反思基本图形的性质与变化，深入思考图形的本质属性和它们之间的内在联系，从而显著提升基本图形反思能力，为数学学习之路铺设坚实的基石.

综上，在初中几何教学中培养学生的几何推理能力，要让学生充分参与探究过程，掌握数学研究的一般方法，把所想的说清楚，把所说的写规范.教师不仅要将教材内容转化为适合学生学习的活动和任务，确保推理能力的提升落实在具体的学习内容上，还要深入理解教学内容，把握知识结构与内在联系，引导学生用联系、发展的眼光看数学.