高中数学“教、学、评”一致性的实现路径

摘    要：“教、学、评”一致性是有效教学的关键，其核心是教学目标.教师要根据对课程标准相关要求及教学内容的分析，制订并分解课时教学目标，使其具体化、可操作、可评价，然后设计逻辑连贯的数学问题，引导学生开展与教学目标对应的学习活动，并依据学生的学习表现，分析、评价教学目标达成情况.依托这样的路径，可实现“教、学、评”一致性，帮助学生在真实具体的情境、问题和活动探究中发展数学核心素养.

关键词：“教、学、评”一致性；教学目标；高中数学

“教、学、评”一致性指的是在整个课堂教学系统中教师的教、学生的学和对学生学习的评价三个因素的协调配合的程度.它由目标导向的学—教一致性、教—评一致性和评—学一致性组成［1］.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“《课程标准》”）在“评价建议”部分明确要求：日常教学活动评价，要以教学目标的达成为依据.然而，在当前的高中数学教学中，“课时教学目标定位不准确、不具体、不可评”“教学活动与教学目标两张皮”“重教学轻评价”“评价重结果轻过程”“评价与目标不匹配”等现象依然存在.下面，笔者基于对“直线与平面垂直的性质定理”内容的解析，阐述“教、学、评”一致性的实现路径.

一、教学内容及分析

“直线与平面垂直的性质定理”位于人教A版普通高中教科书《数学》必修第二册第八章第6节《空间直线、平面的垂直》，是该节教学的第二课时，主要介绍了“垂直于同一个平面的两条直线平行”定理的探究过程、证明方法和简单应用.在此之前，学生已经研究了空间直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行及直线与直线垂直等的关系，在研究立体几何的基本方法和思路方面积累了一定的经验.在学习了直线与平面垂直的概念及判定定理、点到平面的距离、直线与平面所成的角等内容的基础上，研究直线与平面垂直的性质，符合数学知识的逻辑及学生的思维规律、认知特点，研究手段依然是“直观感知—操作确认—推理论证—应用”.性质定理本身，也是证明空间两直线平行的重要依据.同时，这节教学内容是研究平面与平面垂直性质的知识基础和方法示范，具有承上启下的作用.

探究直线与平面垂直性质的第一步是直观感知，而直观感知的对象是什么，则是首先要解决的问题.直线与平面垂直的性质本质上是“在直线与平面垂直的条件下，与之相关的点、直线、平面之间的位置关系”，而由直线与平面垂直的定义已经知道了“直线与平面内所有直线都垂直”，研究它们与平面内直线的位置关系就没有必要了，探究的目标只能转向它们与空间其他直线和平面的关系，这种关系就是用来直观感知的对象.通过这种思维引导，可明确研究空间基本图形位置关系的基本思路和方法，在体现数学自然性的同时，发展学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养.

直线与平面垂直性质定理，实现了直线与平面垂直向直线与直线平行的转化，对这个定理的探究体现了转化的思想.

由于学生对于反证法还不熟悉，运用反证法证明性质定理时，教师需要适度地给予启发和引导.

基于以上分析，笔者设定这节课的教学重点是直线与平面垂直性质定理的探究，教学难点是直线与平面垂直性质定理的证明.

二、“教、学、评”一致性的实现路径

剖析教学内容后，笔者基于“教、学、评”一致性，采用如下路径进行教学.

（一）制订并分解课时教学目标

“教、学、评”一致性的核心是教学目标.《课程标准》对该课时的“内容要求”是：归纳性质定理“垂直于同一平面的两条直线平行”，并加以证明；能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.它是基于单元整体设计的教学目标，对该课时教学的指导性是宏观的，难操作、难评价，因此教师要在深度研究《课程标准》相关“内容要求”“教学提示”“学业质量标准”的基础上，对其进行科学分解，将其解析成具体化、可操作、可评价的课时教学目标及子目标（如表1所示）.

需要注意的是，分解课时教学目标要依据《课程标准》，结合教学内容进行，要保持课时教学目标与《课程标准》相关要求的内在一致性.课时教学子目标可为教与学的设计明确方向，为课堂教学效果提供可操作、可评价的标准.

（二）设计逻辑连贯的数学问题

《课程标准》在“教学建议”中指出，基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，使其形成和发展数学学科核心素养.教师应紧紧围绕课时教学目标及子目标，结合教材内容，设计合适的问题，组织学生开展学习活动，落实“教、学、评”一致性.根据《课程标准》要求、教学具体内容和学生实际，该课时可设计如下9个问题（含1个追问），引导学生开展系列化学习活动.

问题1：回顾线面平行的性质定理和面面平行的性质定理，分析它们的结构，思考性质定理的本质.（对应课时教学子目标1）

设计意图：利用已学知识，分析性质定理的结构，明确直线、平面平行的性质定理本质上就是直线、平面平行的一个必要条件，是关于该直线、平面与空间其他直线、平面位置关系的结论，再结合刚学的线面垂直定义和判定，明确平行和垂直关系是研究的重点，为后续探究指明方向.

问题2：如图1，长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，为便于讨论，设平面[ABCD]为平面[α]，平面[A1B1C1D1]为平面[β]，直线[AB]为直线[a]，直线[A1B1]为直线[b]，请结合长方体模型，解释线面平行的性质定理和面面平行的性质定理.（对应课时教学子目标1、5）

设计意图：学生结合长方体模型，进一步理解线面平行和面面平行的性质定理内涵，熟悉定理的图形语言表达.长方体是最形象直观的空间几何体，蕴含着各种空间基本元素间的位置关系.将学生的视线聚焦到长方体，可帮助学生全面、准确地认识空间的直线、平面的位置关系，为后续的探究作铺垫.

问题3：（1）在空间，与直线[b]存在哪几种位置关系的直线？结合上面的长方体（可作辅助线）思考：若[b // α]，则这几种直线与平面[α]分别有怎样的位置关系？（2）在空间，与直线[b]存在哪几种位置关系的平面？结合上面的长方体（可作辅助线）思考：若[b // α]，则这几种平面与平面[α]分别有怎样的位置关系？（3）在空间，与平面[α]存在哪几种位置关系的直线？结合上面的长方体（可作辅助线）思考：若[b // α]，则这几种直线与直线[b]分别有怎样的位置关系？（4）在空间，与平面[α]存在哪几种位置关系的平面？结合上面的长方体（可作辅助线）思考：若[b // α]，则这几种平面与直线[b]分别有怎样的位置关系？（对应课时教学子目标2、5）

设计意图：由于直线与平面平行的性质就是关于该直线、平面与空间其他直线、平面位置关系的结论，要探究其性质，必须知道“其他直线、平面”有哪些.问题3中的4个小问，目的是引导学生明确探究性质的基本思路，帮助学生学会有条理、严谨地思考问题，也为后续性质的探究提供范式.空间两大基本性质中， “平直性”通过平行来表达，“对称性”通过垂直来表达，因此在实际教学中，要强调“平行”“垂直”关系是重点思考的对象.结合长方体中的线和面，学生很容易通过直观感知，获得相应的结论.对于不正确的结论，需及时通过反例否定，让学生感受到由直观感知获得的结论，需要通过推理论证证明其确实正确，才能成为性质，进而体会思辨论证的重要性.这个问题也可类比设计成以面面平行为前提条件的结论探究.

问题4：依据上面的探究思路，设图1中长方体[ABCD-A1B1C1D1]的平面[ABCD]为平面[α]，直线[AA1]为直线[l]，[l⊥α]的性质该如何探究呢？（对应课时教学子目标3、5）

设计意图：与问题3的探究思路相同，在明确[l⊥α]的前提下，思考：在空间，与直线[l]存在哪几种位置关系的直线[m]和平面γ？它们与平面[α]分别有怎样的位置关系？在空间，与平面[α]存在哪几种位置关系的直线[m]和平面[γ]？它们与直线[l]分别有怎样的位置关系？学生借助长方体，会获得很多结论，有些结论错误，需及时否定，有些结论涉及后续学习内容，可作为学生课后自主研究的资源.

问题5：我们都知道，线面的位置关系最终可转化为线线的位置关系，垂直与平行是相互可转化的，在获得的结论中，有一个结论符合这样的条件： [l⊥α]，[m⊥α][⇒l // m].这个结论是正确的吗？（对应课时教学子目标6）

设计意图：引导学生体会直线、平面之间转化和平行、垂直之间转化的重要性，感悟直线、平面的平行、垂直关系的内在联系，并以提问引发学生思考推理论证的必要性.

问题6：证明：[l⊥α]，[m⊥α][⇒l // m].（对应课时教学子目标5、7、8）

设计意图：先让学生独立思考，再广泛深入地交流，感受直接证明的难度.在问题解决的过程中，教师可加强引导，让学生明白，针对两条直线[l]与[m]，由于无法确定它们在同一平面，所以无法应用平行线的判定知识来证明定理，由于不易构造与[l]和[m]都平行的直线，所以应用“平行于同一条直线的两条直线平行”（即基本事实4）来证明定理也很难.

追问：假设[l]与[m]不平行，你能推出怎样的矛盾？

设计意图：引导学生明确若能根据条件“[l]与[m]不平行”推出与“已知条件”“基本事实”“定理”矛盾的结论，就可说明它们平行，帮助学生形成“正难则反”的思维方式.

问题7：请用简洁的文字语言表述：[l⊥α]，[m⊥α][⇒l // m].（对应课时教学子目标4）

设计意图：在前面探究的过程中，学生已经获得了性质定理的“图形语言”“符号语言”的表达，这里要求用文字语言去表述，目的是引导学生体会三种语言之间的相互转化，深度理解直线与平面垂直性质定理的内涵.

问题8：（教材第155页练习第3题，此处略，对应课时教学子目标9、10）

设计意图：这是直线与平面垂直性质定理的应用，是将性质定理放到具体问题情境中，融合其他位置关系、数量关系条件后，强化学生对定理内涵的理解和灵活运用.该题既可通过“线线平行”进行证明，也可根据“面面平行”进行证明，能帮助学生体会解题方法的多样性和转化思想.

由这些问题组成的问题串是学生开展学习活动的主线，问题的解决过程就是学生新知构建、能力培养、素养提升的过程.依托环环相扣、层层递进的问题，引导学生开展系列化学习活动，符合数学知识本身的逻辑和学生的思维规律、认知特点.围绕课时教学目标及子目标设计问题，可使学生的学习活动更有针对性，能确保教学活动与课时教学目标的一致性.

（三）依据学习表现分析、评价教学目标达成情况

当前，很多教师仍通过课时练习、例题、课后作业、测验等方式来评价课时教学目标的达成情况，这种只关注结果性目标达成情况，而忽略过程性目标达成情况的评价方式，不利于发展学生的数学核心素养.荷兰教育家弗赖登塔尔指出：“再创造”是学习的基本方法，也是判断教法好坏的基本准则［2］.因此，落实教学活动的关键是看学生“学”的情况.教师要分析学生在学习活动中的表现和结果，评价学习活动所对应的课时教学子目标达成情况，在准确了解课堂教学效果的同时，根据需要及时调整教学策略，促进“教、学、评”一致性的实现.下面，笔者以问题4和问题6所形成的学习活动为例，分析、评价教学目标达成情况.

【学习活动1】探究“问题4”

教师出示“线面垂直性质探究”空表，让学生分成6个小组，结合长方体，3个小组完成“与[l]有关的元素”结论的探究，3个小组完成“与[α]有关的元素”结论的探究.

教师巡视每一个小组，适时进行点拨.待各组均完成后，要求各组汇报成果.