初中数学反例的内涵、功用与构造

摘    要：反例依托于正例而存在，它既是数学学习的工具、手段，也是培养思维的途径，还是推动数学向前发展的动力.教师需要基于学术研究确定反例的内涵，明确其具有强化概念理解、发展严谨数学思维，检验真假命题、准确掌握数学事实，发现错误问题、有力强调隐含条件，克服思维定式、培养良好思维品质等功用. 在具体教学中，教师要根据教学内容合理、灵活地构造并使用反例，引导学生从不同角度、不同思维去审视数学中的概念、定理与命题等，从而更好地感受与理解数学.

关键词：初中数学；反例；反例教学；图形与几何

与《义务教育数学课程标准（2011年版）》相比，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“《课程标准》”）突出强调了教学过程中应当关注的数学方法，其中就包括对反例运用的建议，指出“教师应引导学生了解反例的作用、体会反证法的含义，学会利用反例发现问题、解决问题”.查阅相关文献可知，近年来对于反例教学的研究较多，但主要集中于高等数学或高中数学，且聚焦于反例的概念界定与功能说明，对具体反例的呈现较少.而要在初中数学教学中巧妙地应用反例，就要充分理解反例的内涵、功用，弄清楚怎样构造反例可以提升教学效果.有调查研究表明，恰当地运用反例教学可诱发学生的创造力，培养学生的思维缜密性，提高学生的逆向思维能力等［1］ .因此，了解反例的内涵和功用，研究反例的构造很有必要.由于初中数学知识范围很广，考虑到反例较多地应用于几何问题的教与学中，笔者以初中阶段“图形与几何”领域的知识为例进行分析，阐述反例在数学教学中的小角色与大价值.

一、数学教学中反例的内涵

反例是依托于正例而存在的，但对反例的内涵，不同学者作出了不同的界定.有人认为反例指符合某个命题的条件，但不符合该命题结论的例子；有人认为反例就是说明某个命题不成立所举出来的例子；还有人认为反例是教师在教育教学过程中整理出来的关于典型例题的典型误解［2］.笔者倾向于认同反例是一种学习方法，是证伪、纠错和发现正确认识的极富说服力的思想方法，是一项创造性思维活动［3］.

在初中阶段“图形与几何”领域，学生将要学习几何图形的性质、变化等知识，涉及许多概念、定理、命题，以及一些重要的数学解题思维.在教学过程中使用正例讲解后，如果发现效果不佳，教师便可考虑使用反例.值得注意的是，反例使用的深层目的并不是否定结果，而是帮助学生从不同角度、不同思维去审视数学中的概念、定理与命题等，旨在使学生更好地感受与理解数学.例如，阅读相关数学史，我们知道，对于2000多年前古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出的棱柱定义“有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱”，数学家们一直在寻求证明或证伪，但直到20世纪初才找到否定该定义的一个凸多面体的反例，从而以最直观的实物模型来证明命题并不成立［4］.这可表明，反例不但是数学学习的工具、手段，是培养思维的途径，还是推动数学向前发展的动力.

二、数学教学中反例的功用

（一）强化概念理解，发展严谨数学思维

数学概念教学，大致可分为概念的引入、形成、巩固、应用四个阶段.在概念的引入与形成阶段，学生初次接触此概念，此时应当更多地使用积极的事例，要尽量避免或减少使用反例，以传递能够帮助学生迅速建立数学概念“中心图像”的重要信息；在学生初步掌握概念后的巩固与应用阶段，便可依据正例来引入反例，帮助学生辨别概念的易混淆点，从而清晰判断概念、掌握概念［5］.数学概念是数学学习的基础，是其他数学知识的起点，例如，推理、证明、计算等都需要数学概念的支持.而数学概念的学习又是抽象的、枯燥的，对初中生的抽象能力、思维水平要求较高.如果可结合概念使用正、反例进行教学，通过二者之间的差异性激发学生的认知与理解，帮助学生牢固掌握概念，便可降低学生在应用概念时发生错误的概率.

（二）检验真假命题，准确掌握数学事实

定义、命题、定理是数学学习的重要组成部分，《课程标准》对此类数学知识的教学建议是，结合具体实例，引导学生去了解意义、区别命题、发现结论与证明结论.实例包括正例与反例，在定理、命题的教学中，学生不能仅学会使用正例加以阐述，还需要应用适当的反例，从基础概念或定理的另一面抓住它们的本质属性，弥补正例在教学中的不足之处，进而深化学生对知识的思考、掌握与运用［6］.在初中阶段“图形与几何”领域中，学生需要学习、掌握与三角形、四边形、圆有关的一些命题与定理，因此从几何直观的角度来看，只要能举出与命题相反的例子，即依据命题的条件作图，找到反例，便可快速地判断命题的真伪.

（三）发现错误问题，有力强调隐含条件

解决问题是将数学基础知识外化的具体表现形式，而当前大部分教辅资料中，关于数学题的解释与论证基本是以正例为主，过于注重推理和论证的逻辑性，这不利于学生反向思维的拓展.笔者发现，在实际解题中，一些比较抽象的数学问题，正面去解很难，而从反面去解则容易得多.因此，通过反例解决疑惑是更加灵活的一种方式，可提升学生的解题能力，进而提高学生的解题效率.例如，对于初中阶段“图形与几何”领域中学生需要学习的直线、圆等知识，教师便可引入简单的反例，引导学生学会注意题目中包含的“前提信息”或“隐含条件”，达成深刻理解并能准确应用基础知识的教学目标.

（四）克服思维定式，培养良好思维品质

数学课程在传授数学学科知识，培养学生问题解决能力的同时，还要进一步发展与训练学生的批判思维与创新能力.批判思维与创新能力是适应当今社会发展需求，于个人发展而言可终身受益的良好品质.作为一种学习方法，在新概念、新理论的学习中，使用反例可促进学生对新知识的接受，帮助学生及时克服在传统一贯的教学中可能会形成的思维定式，防止产生墨守成规、负迁移等不利影响.反例是灵活的，反例的运用也是灵活的，教师应在充分了解学情的基础上，把握好运用反例的量、度以及运用时机等.

三、初中阶段“图形与几何”领域中反例的构造

初中阶段“图形与几何”领域，存在不少可使用反例帮助学生学习的机会，很多反例可通过更直观的形式，以最清晰的方式，帮助学生理解概念，否定谬论，发展核心素养.初中阶段要求学生在理解图形概念的基础上，认识图形的性质、关系以及变化规律等.该阶段学生是首次接触几何证明，感悟数学论证，因此教师要有意识地培养学生的几何直观与空间想象能力，使其形成初步的数学推理能力与严谨的科学精神.

下面，笔者先从概念的学习、命题与定理的学习、思维训练三个视角，列举并分析几个在初中阶段“图形与几何”领域中比较典型的反例，然后以“全等三角形及其判定”的教学为例设计反例教学片段，希望可为初中数学教师的教学提供参考.当然，反例的构造与使用并不是一成不变的，而是在以往的教学经验中总结与生成的，重要的是，教师要将反例作为一种教学工具，促进学生的学习.

（一）初中阶段“图形与几何”领域中的反例示例

1.概念的学习

李邦河院士说：“数学根本是玩概念的，技巧不足为道.”由此可见概念教学的重要性.数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的语言形式.概念是数学思维的细胞，任何数学学习都源于概念的学习，比如判断、推理、论证等.初中阶段“图形与几何”领域，学生主要学习了三角形、平行四边形与特殊的平行四边形、正多边形、圆等概念，以及它们之间的关系.下面以三角形、菱形的相关知识为例，构造其反例以加深学生对概念的理解.

【案例1】三角形的高

问题：图1中的三个三角形，哪些三角形的高的作法是错误的？

构造反例：直接举出反例，让学生独立分辨哪一种作图是错误的，从而帮助学生加深对“三角形的高”这一概念的理解.与三角形有关的线段中，三角形的高极其重要，它是学习三角形后续知识的基础.学生在前两个学段已经学习过三角形的面积公式，故已经接触过三角形的高，该学段主要引导学生更加准确地理解概念，能够准确作出不同类型三角形的高.该内容的学习需从画图入手，直观的图式可在学生的头脑中留下清晰的印象，使学生更容易记住知识.例如，图1中的第三张图片，是很典型却常被学生忽略的错误的三角形的高的作法，结合该反例，再回头分析概念“三角形的高是从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线”，能够发现反例呈现的是从三角形的一边向顶点作垂线，即使DB⊥BC，也显然是错误的.

【案例2】菱形

问题：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？

构造反例：菱形的概念学生是第一次接触，但从初中生的认知水平来看，他们对于菱形并不是很陌生，可能在小学就已经略有了解.菱形属于一种特殊的平行四边形，初中教材对菱形的概念也进行了定义.引导学生理解菱形的概念，理解菱形与平行四边形之间的包含关系，对于学生后续学习平面几何是非常重要的.例如，在应用对角线判断菱形时，要注意定理的两个条件，一是平行四边形，二是两条对角线互相垂直.为了加深印象，可向学生提出上述问题，随后向学生举出反例，即根据条件进行作图，构造出如图2所示的反例.显然，在图2中，AC⊥DB，即满足对角线互相垂直，但四边形ABCD并不是菱形.此反例可帮助学生清晰辨别错误概念，更加深刻地理解菱形的概念.

2.命题与定理的学习

几何中的命题、定理是初中阶段“图形与几何”领域最重要的学习内容，是学生形成推理能力的主要途径，因此命题、定理的教学也备受一线教师的关注.在教学中适当运用反例，可帮助学生将所学定理清晰化，提高学生学习几何的兴趣.下面以“三角形全等的判定定理”为例，构造反例，让学生准确掌握三角形的判定定理，减少解题错误.

【案例3】三角形全等的判定定理

问题1：判断命题“三个角分别对应相等的两个三角形是全等的”是否正确.

问题2：两条边与一个非夹角的角对应相等的两个三角形是否全等？

构造反例：根据命题条件作出两个三角形，发现符合条件却不符合结论，从而找到否定该命题的反例.如图3，由于BC⫽DE，故∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，∠A=∠A，即满足问题1中的命题条件，但显然△ABC与△ADE并不全等，因此很容易判断“三个角分别对应相等的两个三角形是全等的”这一命题是错误的.同理，如图4，△ABC为任意等腰三角形，在△[ABC′]和△CB[C′]中，AB=BC，B[C′]=B[C′]，∠[C′]=∠[C′]，即两条边与一个非夹角的角对应相等，但两个三角形并不全等.

3.思维训练

有研究表明，反例的使用有助于提高学生的解题能力与解题速度，有助于培养学生的创造思维能力［7］.例如，对于“平行线及其判定”，《课程标准》要求学生理解平行线的概念，并且掌握关于平行线的基本事实以及判定定理、性质定理等.对此知识进行教学，教师可设计如下案例.

【案例4】“平行线的概念”与“平行线基本事实1”

问题1：判断“永不相交的两条直线是平行线”的说法是否正确.

问题2：判断“过一点有且只有一条直线与这条直线平行”是否正确.

构造反例：以上两个命题都是学生在学习平行线之后比较容易误判的，这是因为初一学生的直观想象能力还处在发展阶段，且他们大多学完平行线之后只会留下比较简单的印象.比如关于问题1，由于课本中重点强调了平行线“永不相交”这一特点，因此学生很容易记住，从而形成了一定的思维定式，忽略了三维空间的存在，即反例为不在同一平面内的两条直线，即使不符合平行的位置关系，也会满足“永不相交”这一属性.同样，关于问题2，学生的关注点大概率会放在“有且只有”这一关注点上，从而很容易忽视“过一点”的限制条件是“过直线外一点”，如果考虑到“这一点在直线上”，反例则为作出一条与这条直线重合的直线，即可否定“过一点有且只有一条直线与这条直线平行”这一命题.