数学教学“结构思想”的意蕴与内化

摘      要 以知识结构为核心，以方法结构和教学结构为导引的三位一体的数学教学“结构思想”是大单元教学之灵魂。为了摒弃散点式的单个知识点教学，积极推行结构化教学，实现学生的深度学习和核心素养发展，中学数学教师需要把握“结构思想”的内涵，深刻认识到数学知识结构内化对学生思维和能力发展的意义，主动成为数学知识结构内化的先行者，掌握促进学生数学知识结构内化的两种基本教学策略。在教学实践中，教师应有机地交互运用这两种策略，不断提升学生的数学思维品格，切实发展学生的核心素养。

关 键 词 数学教学  素养导向  结构思想  单元结构化教学  序列式结构教学  整体式结构教学

引用格式 陈算荣，王莹.数学教学“结构思想”的意蕴与内化[J].教学与管理，2023（22）：37-40.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出数学教师要注重对内容的整体把握，“帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支持意义的结构化的数学知识体系”[1]。这意味着教师需要从关注单个知识点的教学转向更为高阶的知识结构的把握。数学知识结构的重要性在数学和教育研究领域早已备受关注。进入20世纪后，数学从研究具体的数量关系越来越转向研究数学结构[2]。美国著名教育家布鲁纳认为“一门学科的课程应该决定于对能达到的、对那门学科以结构的根本原理的最基本的理解”[3]。我国叶澜教授在《“新基础教育”论》一文中也指出：如果学生掌握了结构，就拥有了解决不熟悉领域中新问题的工具；在教育活动中体现结构性，将有助于学生的思维方式发生深刻变化[4]。由此可见，在数学教学中，关注学生数学知识的掌握固然很重要，但关注数学教学中的结构性才是实现深度学习和落实数学素养发展的重要之道[5]。

一、数学教学中的结构思想

依据新课程标准，促进数学知识结构内化并形成结构化意识应是数学课堂教学改革探索中的一个着力点，也是数学教育工作者在实践中积极思考和努力践行的一个方向。它更是当下落实数学核心素养的一种有效策略，因为核心素养的落实最终要看学生是否能够实现知识的内化和迁移[6]，而把握结构是实现知识内化和迁移的基础。当前，一些专家和一线数学教育工作者正在探索和研究大单元和大概念教学，其核心思想是关注学生对学科知识内在结构的把握，引领学生进行超越具体知识技能的学习，更加关注思维层面的发展，领会从具体的数学方法到一般性思维策略的教学谋略[7]。在数学教学中，教师应关注三种结构的存在：知识结构、方法结构、教学结构（学习过程结构），应构建以知识结构为核心，以方法结构和教学结构为导引的三位一体的数学教学“结构思想”，这其实就是大单元、大概念教学的灵魂所在。

当前，不少教师对单元教学存在两大认识误区：一是把单元整体教学理解为“集中教学”，求大求全，忽视内容的教学价值；二是把单元教学理解为“全章介绍+课时教学”，没有体现内容的逻辑一致性，甚至将没有逻辑性的知识并为一个学习主题[8]。存在这些误区的根本原因就是教师对数学教学结构思想没有充分的认识，可见领会“结构思想”是教师在教学中渗透“结构思想”的重要前提。下面以初中阶段研究的“中位线”内容为例，具体阐明数学教学中的“结构思想”。当把三角形看成梯形的上底等于零时的特殊情况，那么，三角形中位线性质和梯形中位线性质是一个特殊和一般的关系，其实质一样，这是知识的结构性；证明三角形中位线性质和梯形中位线性质定理都是应用“图形转化”的思想，这是方法的结构性；学习三角形中位线的过程“从概念、图形，到性质的猜想、验证、归纳，再到应用”可以类比迁移到梯形中位线的学习过程，这是教学的结构性。方法结构和教学结构最终依托于数学对象的知识结构，这三者合在一起可称为数学教学的“结构思想”。挖掘知识团内在结构，以及其中所隐藏的方法结构和教学结构，就是关注比单个知识点更上位的数学“核心知识”，即学科视角、思想和方法，进而在“一般观念”的统领下设计和实施教学，实现真正意义上的单元整体式教学[9]。

二、数学结构思想内化的意义

1.有助于学生思维和能力的发展

我国著名数学家张奠宙先生指出，结构思想亦是数学思维品质的一个重要方面[10]。布鲁纳指出，如果只教授专门的内容或技能，却没有把它们在知识领域更广博的基本结构中的脉络弄清楚，那么这样的教学显然是不经济的。这是因为：其一，学生要从已学得的知识推广到将碰到的问题，实现有效迁移就变得非常困难；其二，学生不能达到一般原理的学习，这样对激发学生智慧来说将不大有效果；其三，所获得的知识如果没有完满的结构把它们关联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识[11]。在教学中，如果教师忽视知识之间的结构性，那么这些知识呈现给学生就是零散的、点状的。不仅不利于学生形成知识的框架结构，也不利于学生对知识的整合运用，而且还会大大降低数学教学原本的育人价值。如果教师能够对这些知识之间的纵向与横向的关系加以研究，并在教学中采用一种有效的途径，让学生形成结构、运用结构，将会使数学教学的价值得到充分的体现。

例如，在初中阶段的解方程和方程组的教学中，实质上最为基本最为核心的知识是解一元一次方程，这是方程求解的基本单位元，而解一元一次方程的基本思想就是化简，把它化简整理为最简一元一次方程“x=a”的形式。以后学习的一元二次方程、二元一次或二次方程组、分式方程和无理方程就是在“化简”这一基本思想的指导下，运用化归的思想方法，以及降次和消元等具体的方法最终转化为一元一次方程来求解。尽管整个方程体系的教学散见于不同的年级，但若教师能够在教学过程中让学生牢牢抓住“化简”思想这个“一般观念”，不断地让学生感悟和体会“高次方程低次化，分式方程整式化，无理方程有理化，多元方程一元化”的化归思想和知识结构链，那么学生在整个学习过程中就会主动形成类比学习的意识[12]。学生在后续的学习和生活中遇到这样的方程求解，因为掌握了解方程的思想武器，自然能够主动地类比迁移。

因此，掌握良好的知识结构的重要性决不亚于获得牢固的基础知识和扎实的基本功。若要让学生掌握学习的主动权，那么最有效的方法是让学生掌握和运用知识结构。结构较之知识点具有更强的组织和迁移能力，教师期望达到的教学目标不应只是对知识点的牢固掌握和熟练运用，更为重要的是要让学生掌握发现和形成结构的方法以及具有灵活使用结构的能力[13]。

2.有助于教师教学思想的变革

以落实和发展学科核心素养为导向的教学目标要求倒逼教学设计的变革，教学设计应有大单元意识，关注学生数学思想体系、方法体系和知识体系的形成[14]。因此，“熟练掌握承担教学的学科的知识体系与结构，学科发展的历史与趋势”是新型教师所必须具备的专业素养之一[15]，教师应成为数学结构思想内化的先行者。《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出要对数学教师进行“基于主题的整体单元教学设计”专题培训，要求教师能把握课程标准的课程设计框架和内容体系[16]，这也充分说明教师成为数学结构思想内化先行者的必要性。

在新课程标准明确提出素养导向的要求下，不少教师在课堂教学时却依然停留在把教学的重点放在对单个知识点的传授上，仅重视对单一知识的重难点突破，习惯性开展一个知识点对应一个例题的孤立式教学，忽略把重难点的突破放在知识结构这一背景下，忽略知识的内在结构关系，这样的教学不利于学生数学“核心素养”的综合发展。正如喻平教授所强调的那样，“数学核心素养的成分难以在单个的知识点上表现出来，它往往隐藏在知识体系、知识结构之中”，要发展学生的数学核心素养，数学教师应当着眼于知识结构的教学[17]。教师要成为结构思想内化的先行者，首先必须对数学教材体系进行先行解读和系统研究，不仅要了解知识的来龙去脉，更要分析知识体系中那些对学生的数学思维产生深刻影响的高阶性知识。其次需要不断地在实践和反思的过程中提升自己对数学“结构思想”的深入认识，加强与学科教研组团队成员的合作，在对学期内容的知识体系进行深入分析的基础上，对单元教学进行科学合理的单元规划和课时计划，并积极实践以“主题、项目、大问题”等形式开展的教学，使学生在习得基本知识和技能的过程中感知和感悟藏于学科课程内部的高阶知识[18]。

三、促进数学结构思想内化的教学实践策略

怎样把教师所内化的数学结构思想有机地渗透于日常教学中，通过教师的精心设计和组织，实现学生对数学结构思想的感悟和形成呢？为了解决这一问题，笔者作为数学学科带头人带领教研团队在叶澜教授主持的“新基础教育实验”改革探索性阶段进行了大量的课堂教学实践探索。在“新基础教育”实践研究中十分强调对学科内容的整体性加工和重组的探索，强调以结构为大单元策划教学内容的组织[19]。多年的实践研究表明，在进行结构化教学设计时，最为根本的思想是用好教材，因为教材本身也是按照数学知识的内在体系对数学知识加以编排的。教师既可以依据教材内容呈现的逻辑结构组织教学，关注知识结构的逐步完善，也可以根据学生思维发展的需要在实践中对教材所呈现的结构加以创造、重组，并体现于课堂教学中[20]。下面介绍在结构化教学实践探索中形成的两种基本的促进结构思想内化的教学策略：序列式结构教学和整体式结构教学。

1.序列式结构教学策略

序列式结构教学主要是遵照现行教材所呈现的知识结构特征，按照教材的编排顺序，在“同一结构链”知识的不断学习过程中，引导学生不断完善和构建该知识结构链的一种教学策略。在该策略中，教师可以按照教材呈现的知识内容顺序，把结构关联的知识点，通过用心设计，使教学始终扣住结构这一灵魂。

教材呈现知识的特点往往是采用小步子走、一个一个知识点成序列呈现的方式，等一个知识结构相关的所有内容学完以后，学生才能在整理前面系列知识的基础上形成完整的知识框架。它是把结构相关的内容分解成条列状的一系列内容，然后一步一步地加以学习和解决。这样做有益于分解难点，及时巩固，当堂掌握知识，但也容易造成教师在教学过程中只关注一个一个知识点的落实，忽视知识点之间的结构关联性。“序列式结构教学”就是为了优化这一传统的做法，力求在一个一个知识点的学习过程中，让学生能够不断感悟、完善和形成整体的知识结构。

例如，上海所用教材对“中位线”学习内容的编写顺序是先进行三角形中位线的学习，安排两个课时，第一个课时“探索和形成三角形的中位线性质定理”，第二个课时“探索三角形中位线性质定理及应用”。在三角形的中位线学习时着重于“教结构”，包括两个方面：研究方法的结构和知识内容的结构。既让学生体验“从概念、图形到性质的猜想、验证、归纳，再到应用”的学习过程，又提供充分的时间和空间让学生在探索三角形中位线性质的多种方法中感悟“图形转化”的思想。而在关于梯形中位线的学习过程中，教师着重引导学生“用结构”，先让学生主动类比，形成研究梯形中位线的学习方案，然后让学生依据方案，对梯形中位线进行类比猜想和论证，并主动运用“图形转化”的思想寻找梯形中位线定理的证明方法和思路。在梯形中位线性质定理形成后，教师再引导学生研究三角形中位线和梯形中位线定理的关系，使学生对“中位线”内容的学习形成完整的认识。这种“序列式结构教学”方式，可以较好地培养学生的“系列性思维”，将一个一个内容掌握扎实。在这样的教学策略中，不是“只见树木不见森林”，而是“在研究树木的过程中，让整个森林若隐若现。

2.整体式结构教学策略

序列式结构教学偏重于对学生进行“系列性思维”培养，即“总是把重点放在一系列子问题上，他们也把子问题联系在一起，同时十分重视其逻辑顺序。他们对一个问题的思考过程行将结束时，才对所学内容得到较为完整的看法”[21]。然而，一味地采用这种教学方式无益于学生“整体性思维”的形成，即“对问题提出有效的整体上的推断，提出所论对象的完整的概貌及各要素之间的关系，从而不益于学生创造性地解决问题”[22]。因此，在优化传统做法的同时，教师还需要创新。