基于GGB的高中数学课程可视化教学研究

摘      要 立足于普通高中数学课程教学，对新教材必修课程中可高效进行可视化教学的内容，以及可视化教学的三个递进层面进行了详细的梳理与分析。为更好地优化高中数学课堂教学，提出了注重设计数学实验，引导学生深入探究、注重数学语言的互译，阐释内容本质、注重经典题目的变式，发展创新思维的可视化教学实施策略，为在各类中学运用GGB可视化教学提供思路和方法。

关 键 词 核心素养  可视化教学  GGB软件  高中数学课程

引用格式 杨慧，韩龙淑，王文静.基于GGB的高中数学课程可视化教学研究[J].教学与管理，2023（28）：33-36.

《“十四五”国家信息化规划》明确指出要“推进信息技术、智能技术与教育教学融合的教育教学变革”。数学是自然科学的重要基础。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：在学习数学和应用数学的过程中，应发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养[1]。高中数学必修课程的学业要求部分强调了学会运用自然语言、图形语言、符号语言表达数学研究对象；能够从图象的几何直观角度理解数学抽象概念的意义；能够通过3D直观图理解掌握空间图形及组合体的基本性质和特点；能够运用数据处理的方法从样本数据中提取需要的数字特征推断整体；能够在数学建模活动与数学探究活动中使用信息技术。

新版普通高中教科书数学必修第一册和第二册在信息技术模块引入了GeoGebra（以下简称GGB）软件研究数学问题，与此同时人教智慧教学平台实现了GGB在数字教材中的嵌入，创新了人教数字教材与学科工具的结合，能够更好地支持自主、合作、探究等教学方式。本研究旨在探索GGB自然融入到数学课堂可视化教学的途径及方法，进而促进现代化教育技术与高中数学课堂教学深度融合。

一、基于GGB数学可视化教学的内涵

可视化是指利用计算机图形学和图象处理技术，将数据转换成图形或图象，并可以进行交互的理论、方法、技术[2]。数学可视化（Mathematics visualization）就是将抽象的数学学习对象（概念原理、结构关系、思想方法等）用可看见的表征形式（图形、图象、动画等）清楚直白地呈现出来，使人们对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解[3]。高中数学具有很强的抽象性，数学教师可以通过解决具体问题时的过程演练、逻辑推理等方法提升学生的抽象思维能力，也就是说抽象思维能力的培养不仅需要推理能力，还需要直观感知和想象力。数学可视化教学建立了视觉直观到数学抽象思维的认识过程。数学可视化教学就是指利用外部表征方式呈现研究对象的本质属性、基本特征等，进而帮助学生理解数学、掌握数学和建构数学。

可视化教学离不开可视化工具和软件。在中学数学教学中运用较多的是几何画板，但随着高中数学新教材的使用，GGB软件及应用受到了广泛的关注，软件在平面作图及演示、数据统计与处理、空间位置与结构等方面都有很强的处理能力。特别是GGB软件在动态图形制作展示和3D效果呈现方面具有强大的功能。GGB主要是通过工具或指令来实现，指令的嵌套可以实现更为复杂的动态课件制作。

基于GGB的数学可视化教学是指借助GGB软件进行可视化教学设计，进行课堂实践教学。具体包括：借助GGB创设情境，激发求知欲望；实现数形结合，加深概念的理解；演示动态过程，获得知识的形成；实验操作，感受成功的喜悦。为了提升学生的六大核心素养，学生需要借助数学语言和工具更好地理解和运用数学原理，为高阶数学学习奠定基础。

二、GGB环境下高中数学教学内容分析

高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线。每条主线包含的典型内容可以借助信息技术辅助教学，很多内容可基于GGB进行可视化教学设计并真正在课堂上发挥重要的作用。考虑到教学内容本身的难度及学生的认知特点，必修一与必修二中函数及立体几何初步两大部分内容是整个高中阶段学生学习的重点与难点。函数部分集中在初等函数及图象性质的研究，特别三角函数部分涉及到了通过变换的方式研究问题，自然可以通过信息技术可视化进行教学；而立体几何中点线面间的位置判别，以及几何体的表面积及体积等的研究也离不开数学软件的支撑。

1.函数教学内容可视化

基本初等函数及其性质的教学采用数学软件辅助教学可起到事半功倍的作用。对于函数图象、性质的研究可以借助GGB设置列表、描点、连线，且在列表时可以将自变量的取值录入输入区，相应的函数值会出现在列表中，绘图区显示该点，其位置清晰可见。对于某一类函数，如幂函数、指数函数、对数函数等可以借助表格区批量绘制函数图象。批量绘制指数函数时，可先打开表格区，在表格第一列产生一个序列，第二列B1单元格录入A1^x，然后右击单元格，选中显示对象和标签，此时绘图区就会呈现该函数图象。然后将鼠标移至单元格B1右下角，向下拖动，会产生一系列指数函数，并在绘图区批量显示[4]。为增强直观效果，可在属性对话框设置动态颜色进行区分，函数的特征、性质清晰可见。关于三角函数的研究主要是从变换的角度研究的，会涉及平移变换和缩放变换，教师可通过GGB变换工具或变换指令进行设计，变换的过程可以逐步动态呈现，使学生重构深层思维，理解并掌握教学内容，达成教学目标。

2.立体几何教学内容可视化

立体几何内容的学习主要集中在必修第二册第八章，涉及到的内容主要有基本立体图形、几何体的表面积与体积、基本图形的位置关系等。从知识理解度上看，立体几何比平面几何难得多，教师可通过观察测量实物、观看直观动图、动手实验操作等方式进行教学，掌握可视化导入、可视化操作、可视化实验等环节上表示空间图形的方法和技能。

可视化软件GGB在立体几何的教学中发挥着非常重要的作用。GGB具有丰富的表现力，可以将图形进行翻转、分合，也可以从三种不同的视图方向观察几何体，同时还有四种投影类型，分别是正视图、透视视图、眼镜视图和斜视图。GGB软件可以使抽象的几何图形以动态模型的形式进行360°全角度呈现，帮助学生有效形成空间想象能力，使得几何图形更加直观、简单、高效地展示给学生[5]。立体几何中关于空间点、线、面的位置关系，点动成线、线动成面、面动成体的研究，以及不同的平面截割圆锥形成圆锥曲线，利用祖暅原理研究柱体、锥体体积等都适合借助GGB进行可视化教学，真实刻画三维空间，体现动态几何的特征，在旋转变换过程中渗透几何直观与想象等数学学科素养。

3.统计教学内容可视化

统计的研究对象是数据，很多时候需要按要求随机抽样，分层随机抽样。用样本估计总体需经历求极差、决定组距与组数、数据分组、列频率分布表以及画频率分布直方图。GGB具有一定的统计功能，表格区兼容了MicrosoftExcel的数据处理分析功能，可设置将数据转化为可视化的几何对象呈现在绘图区，并能够对数据进行统计计算和分析，可根据实例进行单变量分析、双变量分析、双变量回归分析，还可对给出的数据进行多种形式的拟合。同一组数据组数不同分析得到的直方图不尽相同，通过直方图容易看出数据的频率表分布规律，以此推测总体的取值规律。

三、GGB融入高中数学教学的三个递进层面

1.解决基本问题的教学

“为问题而教，为问题而学，为问题解决而教，为问题解决而学”是数学教学设计的根本性原则。高中数学教学中有很多的探究性问题。比如关于探究正余弦图中的一些相等关系和不等关系，可以借助GGB的旋转工具或旋转指令将小直角三角形旋转组合，且把对应边设置颜色的明暗，便于学生观察、理解和查找。关于基本不等式的几何解释，主要借助GGB基本工具绘制图形，先做一条线段，在线段上描点，作出几何图形，然后运用几何图形中对应代数描述中的数值显示线段的长度功能，移动动点，探究数值之间的关系。在探究正弦函数与余弦函数的关系时运用GGB的平移变换、伸缩变换可加深对这两种变换概念以及二者函数性质的相同点与不同点的理解。在探究不同函数增长的差异时设置滑动条，启动动画，三种函数上的动点速度设置相同，由此突出呈现上升的趋势。同时随着变量的变化，通过函数值的变化充分表明指数爆炸的含义，以加深理解、增强记忆。在探究圆柱、圆锥、圆台的联系时主要运用GGB3D视图，工具栏中可各自绘制图形，在进行教学中更加注重彼此的联系和区别。为了给学生展示彼此之间的转化，设计图形时可在直母线上取动点，通过按钮的制作设置控制动点的移动。

2.渗透思想方法的教学

（1）数形结合思想

数形结合思想是中学数学中重要的一种数学思想，它的实质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的图形结合起来。GGB教学软件就具有“数形结合”和“动态演示”的功能优势，可将抽象静态的几何图形以动态变化的形式直观地呈现在学生面前，激发学生的学习兴趣与积极性，培养学生的空间想象素养[6]。

运用数学软件GGB绘制函数图象，探究函数、方程及不等式解之间的联系，深层次理解函数的零点、方程的实数解，并能借助工具栏零点值刻画与x轴的交点，且交点坐标数值可显示出来。GGB软件可在直角坐标系下绘制图象，也可以在极坐标系、球坐标系下绘制；可绘制一般方程、参数方程下的函数图象，也可绘制隐式方程所对应的曲线、曲面图象。如探究不同的幂函数通过加、减、乘、除等运算构成新函数的性质及图象变化的趋势，以及与原函数性质间的联系等。探究指数函数与对数函数的关系时，可制作列表，描点，连线绘图，通过观察指数函数上动点及对数函数上相应点的关系，理解一对反函数图象是关于直线对称的。再如对于向量的坐标表示，以及复数乘、除法的几何意义，若借助GGB绘制向量、旋转角、乘除运算后的向量位置，能够加深对复数概念本身及运算几何意义的理解。

（2）化归思想

化归思想通常是指将待解决的问题或难以解决的问题通过一系列转化，最后归结到一类已经解决或较容易解决的问题中去。运用化归思想可将复杂的问题转化为简单的问题，可将抽象的问题转化为直观的具体问题。

研究函数的图象及性质可归结为研究函数经过一系列平移、缩放变换得到。研究简单几何体的表面积时，教师可在3D视图工具栏中找到展开图工具，然后选中几何对象，即可呈现展开图，同时自动生成滑动条，通过设置滑动条的增量可调整动态图形开合的速度，以此来培养学生的空间想象能力。

（3）分类讨论思想

分类讨论思想是将复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，然后逐一分析研究这些基础性问题，进而解决复杂问题的一种思想方法。

研究正弦定理及余弦定理，教学中可以先基于GGB在直角三角形、锐角三角形、钝角三角形中分别度量边长及角度，通过数据验证。调整三角形顶点位置，数据发生相应变换，启发引导学生猜想得到相应的定理结论，然后进行严谨的数学证明。分析指数函数或对数函数单调性时，可借助GGB表格区，设置系列指数函数或对数函数，与此同时在绘图区显示批量指数函数或对数函数，直观观察，可知分介于0、1之间和大于1两种情况讨论曲线变化趋势。

3.注重综合应用的教学

掌握了数学基本内容以及解决问题的一些思想方法之后，更重要的是如何灵活解决一些综合性的应用问题，包括纯数学方面的，也包括学科交叉方面的。孔子曾说“学而时习之”“行有余力，则以学文”。学习要理论和实践相结合，理论指导实践，实践证实理论，从实践中再学习。

必修二第145页第15题是关于长方体容器倾斜时有水的部分和没有水的部分所呈棱柱形问题。借助GGB3D功能，可以很好地分析问题和解决问题。首先，绘制一个长方体，在棱上任取一点M作为注水后水面的高度，过M作出与z轴垂直的平面，运用指令相交路径绘制出平面与长方体的交线。其次，根据题意，边固定在地面上，设置倾斜度为滑动条，将原长方体与平面同时绕边旋转，此时可以拖动滑动条呈现各个容器的不同位置，同时可对整个图形进行360°旋转，观测到容器侧面、背面的情况。引导学生探究倾斜过程中变化的是什么，不变的几何特征又是什么。调整动点M可观测到水量多和少时的一些变化规律。同时可借助GGB显示数值的变化，观察二者乘积是否为定值。必修一第110页第6题涉及到了培养某种细菌及细菌分裂问题。借助GGB，充分运用迭代功能，设置分裂一次两次的分类情况，通过图形展示，边演示，边思考，边分析，边猜想。第127页第9题是在每天进步率为1%或落后率为1%的前提下，比较一年后进步是落后的多少倍，大约经过多少天后前者是后者的10倍、100倍甚至1000倍，这样的一些问题必须借助计算工具，GGB代数区便可以进行数的运算和式的运算，并且绘图、计算可以交互使用。