留学生高等数学一流课程建设与实践

摘  要：随着我国高等教育国际化的快速推进以及来华留学生的数量急剧增加，面临一个基本问题就是如何提升留学生教育质量。高等数学作为一门公共必修基础课，如何让留学生学好这门课程，提升留学生数学素养，在专业课中更好地发挥数学的作用，首要的问题是提高教学质量。该文根据一流课程建设的实施意见，总结归纳留学生高等数学一流课程建设与实践的过程，主要从英文教材建设、课程平台建设、因材施教、教学互动等几个方面阐述课程建设的探索与经验。

关键词：留学生；高等数学；一流课程；教学质量；课程平台建设

中图分类号：G640      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）25-0007-04

Abstract： With the rapid development of the internationalization of China's higher education and the sharp increase in the number of foreign students coming to China， improving the quality of foreign students' education is fundamental. Advanced Mathematics is a public compulsory basic course. How to let foreign students learn this course well， play a better role in professional courses， and improve the mathematical literacy of foreign students？ According to the implementation opinions of the first-class course construction， this paper summarizes the process of the construction and practice of the first-class course of Advanced Mathematics for foreign students， mainly from the construction of English textbooks， course platform construction， teaching students according to their aptitude The exploration and experience of curriculum construction are expounded from several aspects such as teaching interaction.

Keywords： international students; Advanced Mathematics; first-class courses; teaching quality; course platform construction

国家教育部于2016年印发了《推进共建“一带一路”教育行动》的文件，这是中国教育对外开放的新起点，过去几年，“一带一路”沿线国家来华留学生人数急速增加，成为来华留学生规模的主体。来华留学生教育是“一带一路”建设的基础，是提高教育国际化水平的新契机，而高校是我国教育质量建设的主要载体，通过建设具有鲜明特色的国际教育课程体系，优化培养结构，建立国际化教育特色品牌，进一步提升我国综合国力和全球影响力，是高校的重要任务[1-2]。

高等数学作为高校传统的公共基础课，也是最重要的一门基础课程。它不仅是学生入校后首先面临的一门重要课程，而且是大学本科甚至研究生阶段的很多后继课程的基础，在培养具有良好数学基础及应用人才方面起着重要的作用。由于高等数学的内容和方法有较强的逻辑性、抽象性，从而激发学生学习的积极性、引导学生去发现问题、去解决问题，激发学生对科学的兴趣，是提高留学生培养质量，提升留学生综合素质的重要组成部分。留学生教育不是简单的把课程内容翻译成英文进行授课的过程，应是通过先进的教学理念和方法建立完整的教学体系，在教学过程中完成不同文化的交融。

郑州大学留学生教育起步于1981年，1997年开创了全英文授课医学本科教育，是首批全英文授课培养医学本科留学生的院校，2016年开始招收软件与土木工程专业的留学生。多年来郑州大学积极开展广泛深入的国际交流与合作，着力引进国外优质大学先进的教学内容、教学办法、课程体系和先进的教学管理模式。随着“两性一度”的金课标准及教育部《关于一流本科课程建设的实施意见》的提出，我们对留学生高等数学课程进行积极的探索，寻找适合其切身需求的培养模式，把教学改革成果真正落实到课程建设上。

一  英文高等数学教材建设

英文原版教材的使用显然不能作为国际化程度的指标。所以，开发针对性强的留学生专用教材是当前开展来华留学生课堂教学改革的重要保证。近些年，来自欧美教材的影印版和中译本也多了起来，J. Stewart[3]、D. Varberg等[4]和 M.Weir等[5]编写的高等数学教材一直受很多高校的青睐，被选为双语班或留学生授课的教材。在多年教学改革的基础上，我们深入调查留学生来华的学习动机和学习需求，根据留学生自身的知识结构和优缺点，通过对比国内外教材，不断尝试，结合新形势下留学生大学数学教育教学理念和教学方法的发展，我们开始了英文高等数学教材的建设，并于2023年1月由郑州大学出版社出版。在教学内容及体系编排上，充分考虑到留学生数学教学实际和特点，以及数学的系统性、严谨性、抽象性，吸取西方高等数学教材的优点，力求使教学内容的叙述深入浅出，层次分明；在讲述方法上注重与现实生活的关联性，从生活中具体的事例出发，以多种方式引导学生观察、分析、总结，帮助学生理解教材内容。这主要体现在以下五个方面：一是从典型的几何直观、自然科学和生活实例出发，引出高等数学的基本概念、理论。例如，在讲数列极限概念时，我们通过现代化手段用动画演示如何用多边形的周长无限地接近圆的周长，同时又给出一个具体的等比数列，用具体的计算让学生直观地看到随着数列项数的增加，数列无限地接近于一个具体的数值。通过这些例子，让学生明白有些量不能用有限次运算得到。从实到虚，以直代曲的转变过程，是一个应对这种问题的新思想，让学生自然地接受极限的思想，接纳高等数学的思维方法。二是从图像、数值、语言的多种表达方式描述概念与理论，突出高等数学的应用，提高学习兴趣。例如，在讲拉格朗日中值定理时，除传统的由罗尔定理的几何意义延伸出拉格朗日中值公式之外，我们利用平均速度与瞬时速度的关系得到更为一般的结论，让学生体会到高等数学存在于日常生活中的点点滴滴，激发学生的求知欲，培养学生的数学思维。三是延续国内教材学科理论体系，突出数学素养，培养学生抽象思维能力。高等数学理论建立在极限“ε－N”“ε－δ”定义的基础上，渗透数学抽象的语言形式，培养学生的数学能力与数学技术。四是结合留学生的特点，吸取国外教材的优点。比如，微分的概念，没有按照国内教材传统的定义方法[6]，而是采纳国外教材的方式直接定义函数的微分df（x）=f'（x）dx，再给出切线替代曲线的线性逼近思想。五是针对学生的基础与专业，减弱逻辑证明，注重突出数学基本能力的训练而不过分追求技巧。紧密结合章节的内容，配备了一定数量的典型例题与习题，难易适度、层次感强、覆盖面大。同时增加了高等数学在科学技术、实际生活等方面的习题，有利于培养学生探究科学问题的能力。

二  层次教学

本着“以学生发展为中心，以教学成果为导向，以能力提升为标准”的教育理念，为了使高等数学课程更好地为专业教学服务，满足留学生个性发展的需求及学习基础的差异性，提高学生解决问题的能力，我们对高等数学课程适当调整教学目标，进行多样性、层次化设计[7-8]。我们以学生自身能力基础之上取得更好的突破和发展为出发点，根据学生专业及择业方向对学生进行层次划分，按数学基础较好与较弱实施分层次教学，使课程教学目标、内容、方法更符合留学生的知识水平和认知能力，使教学与各层学生的接受能力相适应。

对于数学基础较好的留学生，课堂教育教学注重抽象逻辑思维的训练，填充高等数学理论知识，增加需要掌握的知识点的数量，培养学生的数学素养，分析、解决问题的综合能力。对于数学基础较弱的留学生，我们调整了高等数学课程的部分授课内容，删除了一些抽象的、注重数学基础和逻辑训练的知识点，增加需要理解的知识点的数量，侧重于培养其掌握基础知识和基本技能，强调一些基本的数学方法。在数学基础较好的课堂上，我们老师扮演解难、陪伴的角色。例如，在讲二重积分这一概念时，让学生自己通过对定积分定义的类比去定义二重积分，老师最后加以润色给出精确的概念，再通过类比让学生总结出二重积分的性质；在数学基础较弱的课堂上，老师作为引导者、带路者，为学生指明方向。同样的内容，我们从动画展示出发，用直观的形象思维得到抽象的定义，再和学生一起讨论定积分与二重积分的相同点。对于习题部分，我们对于数学基础较好的留学生，要求独立完成且可以通过文献的搜索或者是自己国家的教学方式找出相似的题目或者不同方式的做法在课堂上与同学分享，让同学们了解不同文化背景下知识传输的方式。对于数学基础较弱的留学生，我们采用先讲解，独立尝试，再讨论的方法进行，让学生能够做到举一反三。当然不同班的学生经过一段时间的学习之后，成绩、思维结构及想法都会发生相应的变化，我们会进一步增强不同班之间学生的整合和流动。我们每一章都有相应的测试，会在征得学生们的同意之后，不同班的学生完成相同的测试题目，老师与学生通过对测试卷的评价，去发现问题，让学生重新选择适合自己的学习层次，使各个层次的学生都各有所得，也利于激发学生的自主学习能力。通过几年的摸索，我们认为层次教学强调的是针对学生的个体差异因材施教，因人而异，满足学生专业及个性化需求，促进个体发展，提高了教学的针对性和科学性。层次教学也锻炼了老师的调控、应变的能力，通过掌握学生动态，了解对应专业的后继课程及时调整教学内容，做到了教学相长。

三  课程平台建设

2020年春至2022年，留学生网络在线授课对我们在线课堂及在线资源提出了更高的要求。这三年我们利用信息化技术完善了课程平台建设。课程平台能够利用现有的信息化技术，将高等数学课程突破时间和空间的影响，对课堂教学进行一定的补充和细化。平台建设主要有以下三个内容。

（一）  教学资源库

教学资料库包括高等数学教学大纲、电子教案、教学视频等。老师课前分享课件和课程视频给学生，帮助学生提前预习，带着问题有的放矢地进行课堂学习；学生则能够浏览或下载相应的资料有针对性的学习。例如，在讲多元函数复合函数求偏导数的链式法则时，我们利用动画视频回顾加法、乘法原理，让学生去思考这些原理与抽象法则的联系，彻底理解法则的算法，同时也让学生体会到了知识间的联系与统一。

（二）  教学资料库

教学资料库包括课程作业、试题库、题库及在线测试等。在线通过平台发布、提交作业，且每一章都有在线测试，学生能够及时发现问题，老师则可以根据在线测评了解教学效果。

（三）  高等数学课程线上答疑群

该课程线上答疑群包括邮件答疑，钉钉群等互动学习交流。其既能让学生的问题得到及时的解决，也能让老师了解学生的学习程度，极大地提高了教学效果。同时我们将每一章作业中出现的错题汇集成册放在讨论群中，让学生去找问题、找原因，用自己的方式去解释，讨论群里热火朝天，既增加了学生的兴趣，也增加了学生间的交流，而老师则在讨论中去体味学生视角下的高等数学，为进一步提高教学质量提供了有益的储备。课程平台建成后，学生们积极上网自主学习，通过课程信息教学大纲及教学进度表及时了解学习任务，自主下载章节作业等。平台的互动式辅助教学以及网上答疑，既巩固了课堂上所学内容，也让学生对自己所学的知识有一个正确的认知， 同时也锻炼了学生自主学习的能力。而老师通过对学生的测试评价以及网上答疑，了解学生掌握知识的程度，及时发现问题，帮助学生消化课程难点。抽象是数学的特点，课程平台实现了信息技术与教学的深度融合，实现了教学的趣味化和资源共享化。

四  教学互动

来华留学生是我国各高校的特殊群体，是一个不容忽视的组成部分。我们对提高来华留学生全英文教学质量不断探索，其中一个主要环节就是课堂教学。在授课方式上注意汲取国外的教学模式，结合留学生思维比较活跃、爱问问题的特点，我们在课堂上设计互动环节，引导学生去发现、去猜想，激发学生的兴趣及对知识的渴求，增强创造的信心[9]。比如在讲不定积分的第一换元公式，我们设计的互动主题是不定积分公式的形式不变性。一个小组利用函数sin x，sin 2x的微分ｄ（ｓｉｎ ｘ）＝ｃｏｓ ｘｄｘ，ｄ（ｓｉｎ ２ｘ）＝ｃｏｓ ２ｘｄ２ｘ，得到相应的不定积分。

一个小组则利用原函数与不定积分的概念，通过求导基本公式得到不定积分公式。让学生自己总结出积分的特点，也区别出导数与微分不同之处。课下鼓励学生以小组合作形式进行讨论并做小型报告等。在导数应用最值问题这一部分，我们提出的讨论题目是“When is your coffee cup stablest？” Suppose your motorcycle has no cupholder，  you have to use one hand to ride your motorcycle with coffee cup in other hand. Bitter experience has taught you that the cup is least stable when it's completely full，  use calculus to analyze when is your coffee cup stablest.