基于线上线下混合式教学模式的高等数学教学

摘  要：教育部提出的要建设具有“两性一度”特点的金课，重在培养学生综合能力和素质，这是新时代高等教育的要求。该文以导数概念为例，阐述如何通过优化教学设计，运用线上线下混合式教学新形态，实现高等数学课程的高阶性、创新性和挑战度的要求。

关键词：金课;混合式教学;导数;高等数学;能力培养

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）27-0110-04

Abstract： The Ministry of Education proposed to build a golden course with the characteristics of "both once"， focusing on cultivating students' comprehensive ability and quality， which is the requirement of higher education in the new era. Taking "the concept of derivative" as an example， this paper expounds how to realize the requirements of high order， innovation and challenge of Higher Mathematics courses by optimizing the teaching design and using the new form of online and offline mixed teaching.

Keywords： golden course; mixed teaching; derivative; higher mathematics; ability cultivation

自2018年起，教育部提出了建设五大“金课”目标[1]，各高校都积极配合教育部提出的课程建设。所谓“金课”是具有“两性一度”，即高阶性、创新性和挑战度的特点，以学生为中心，重在培养学生综合能力和素质的优秀课程。打造金课已成为当下高等教育界的共识。

高等数学课程是以微积分为主要内容的课程，是高等院校理工类专业的核心必修课，在教育教学改革中起到排头兵的作用。高等数学课程为培养创新型人才的抽象思维能力和逻辑推理能力、空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、数学建模的能力有非常重要的作用。高等数学课程高度的抽象性和严密的知识体系，都远远超出了学生的现有经验和能力。另外，高等数学已经渗透到工程、人工智能、大数据和经济等各个领域，然而高等数学课程还未能与时俱进。如何用现代数学的思想、观念和方法来培养学生的学习兴趣，开阔学生的视野，提高学生的创新精神和综合能力，让学生真实感到学有所用，是每位高校教师都应思考的问题。

2022年12月，哈尔滨理工大学再度入选黑龙江省“双一流”建设高校，一流学科入选量为一期入选量的2.2倍。“双一流”建设过程也是建设一流本科教育的过程。近年来，随着微课、慕课等在线开放课堂的兴起，教师的“教”和学生的“学”都发生了改变。数据表明线上教学虽有一定的优势，但仍然需要线下教学的补充来提高学习效果。尝试使用现代信息技术和传统教学模式的有机融合是高等院校课程教学改革发展的趋势[2]。哈尔滨理工大学高等数学课程教学团队依托学校的大力支持，利用慕课和微课的形式，打造高等数学课程教学平台，结合超星学习通、微信群、QQ群与学生保持互动，有效促进线上与线下学习的融合，营造良好的教学生态环境。

一  开展线上线下混合式教学模式的基础

围绕建设“两性一度”的金课目标，建设一套适合理工科院校高等数学课程的教学信息资源平台体系尤其重要。首先，可以将一些精品课程和国家级线上一流课程放置到高等数学课程教学平台上。其次，利用慕课和微课的形式，自建辅助教学线上资源。根据微课的基本教学设计思想，使用在线平台就一个知识点在短时间内进行针对性地讲解和展示。微课内容可增加工科专业中的应用案例，还可包括具有一定难度和深度的考研知识点讲解。利用线上教学资源的有效补充和实践，为培养新工科人才创新能力的提高提供有效的教学手段，提高新工科院校学生的专业综合能力、就业能力和考研升学率，向纵深发展，进而提高学生的专业视野和自主学习能力。目前，本校高等数学课程的教学中，教师已借助超星学习通为学生提供丰富的学习资源，帮助学生学习高等数学知识，使学生的学习效率提高。

二  线上线下混合式教学模式的教学设计和实践

一元函数的导数是二元函数的偏导数、方向导数的基础。为此，对于该节知识的讲授有必要进行推敲研究[3-4]。下面以导数概念为例阐述线上线下混合式教学模式的教学设计和实践。在教学设计和实践的过程中，均体现出课程的高阶性、创新性和挑战度。

（一）  教材内容

导数概念的内容被安排在同济大学编写的第七版《高等数学》（上册）教材中的第二章第一节[5]，也就是学习完第一章函数和极限，再进行导数的学习。对于导数的内容，学生在高中时通过高台跳水运动实例分析，学习了导数概念的实际背景和导数的概念。尽管导数的内容属于重叠内容，学生已经具有一定的导数知识经验，但大学和高中在导数内容的深度上和侧重点上是有所不同的。为此对该节知识的讲授，有必要进行精心设计工作。

（二）  教学方法

线上线下混合式教学的架构不能将线上线下割裂开来，应该相互配合。本节课程运用“三位一体”的线上线下混合式教学模式，主要包括教师和学生的“课前”，“课中”和“课后”，具体组织如下。

理论部分。主要体现在慕课、微课，课堂讲授和拓展等环节。学习内容应分为基础级、挑战级和卓越级3种。基础级，是课程中的基础理论，通过慕课、微课呈现，为课程设计的展开打下基础。挑战级，是有着更高综合性和更大难度，学生需要“跳一跳才能够得着”的部分，需要老师在线下课堂中讲授原理和方法，启发学生完成更高的要求。卓越级，需要学生发挥自主性，自主查阅学习资料，通过小组协作和教师交流，依靠群策群力去达到目标。

实践部分。主要依靠“线上-线下-线上”为主线的混合式教学模式来实施。第一阶段是“课前”：线上资源投放。即要求学生课前预习。课前发布学习任务单，主要是基础级学习内容、专业案例学习;自学在线资源中的视频，课件资料，并完成在线自测练习;思考任务单中的问题，整理上传自学笔记。第二阶段是“课中”：线下课堂教学。教师运用多种教学方法进行启发式教学，并且回答任务单中的问题。第三阶段是“课后”：再次对所学的内容进行线上检测提升和拓展。

（三）  教学目标

为满足哈尔滨理工大学“塑造高素质创新型人才”的培养目标和适应“双一流”建设和新工科建设的需求，我们优化了本节教学目标，强化了能力培养和价值塑造。

知识目标：掌握导数定义;理解导数的几何意义和物理意义;会利用导数定义验证导数公式。

能力目标：通过变速直线运动的瞬时速度和切线问题两个案例的分析来培养学生的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力;通过学习导数的定义和计算来提高抽象思维能力和数值计算能力。

素质目标：通过对极限思想的运用来提高学生在数学思想、数学方法方面的素养。

价值目标：在高等数学课程学习过程中，激发学生的学习兴趣，提高思维能力;通过同学间的讨论、合作等，增强学生的团结合作能力和语言表达能力。

（四）  教学过程

1  “课前”引导学生线上学习

第一阶段“课前”：线上资源投放。即要求学生课前预习。利用超星学习通，教师课前发布本节课的精品视频、学习资料和学习任务单。学生在教师设计的学习任务单的指引下，带着明确的学习目标去课前学习。这种课前学习，不仅让学生在“组织者”的引领下逐步转化为知识的主动构建者，还可以增强学生主动参与课堂讨论的积极性。在第二章第一节导数概念中，制定学习任务单的任务目标如下。

1）回顾高中熟悉的高台跳水和曲线切线斜率问题，理解平均变化率和瞬时变化率的概念。

2）学习函数在一点的导数的定义，左导数和右导数的定义。

3）利用导数的定义会求导数。

4）理解导数的几何意义，会求曲线在一点的切线方程和法线方程。

利用问题驱动法，在学习任务单中提出如下问题。

1）说出导数定义中的x0、Δx、Δy、、的含义。

2）利用导数的定义求导数的步骤是什么？

3）导数的几何意义是什么？

4）如何求曲线在一点的切线方程和法线方程？

2  “课中”引导学生线下探究学习

第二阶段“课中”：线下课堂教学。此部分内容分为两个模块进行教学。

第一模块教学，设计如下。

本模块首先以案例教学法给出现实生活中的一个实际问题，播放我国高铁运行的一个简短视频。视频中高铁的车厢内显示了高铁每个时刻的运行速度。

教师同时提出两个问题，问题1：高铁在运行的时候，电子屏幕上时刻会显示它的运行速度，这个速度是怎么求出来的？问题2：高铁在驶入弯道时，为了保持高铁的平稳运行，设计轨道时涉及求曲线的切线斜率问题，怎样求曲线的切线斜率呢？通过案例式教学法、启发式教学法、问题驱动法和探究法等多种教学方法，以由浅入深式激活旧知识，学习新知识。

解决问题1： 把高铁看作质点，设质点沿直线做变速直线运动，设路程与时间的函数是s=s（t），求质点在t0时刻的瞬时速度。

第一步，先考虑一个时间段t0到t0+Δt，写出质点在 [t0，t0+Δt]时间内的平均速度（平均变化率），即为

第二步，教师提问质点的瞬时速度（瞬时变化率）如何求，启发学生利用平均变化率与瞬时变化率间的关系。

思路：如何让平均变化率向瞬时变化率靠拢？假如Δt取的小一点，平均速度接近于这一点t0时刻的瞬时速度。当Δt越来越小，平均速度越来越接近于这一点t0时刻的瞬时速度。什么时候是t0时刻的瞬时速度呢？当Δt→0，的极限即为t0时刻的瞬时速度，即

解决问题2：列车在弯道运行可看作是点M（x0，y0）沿着曲线运动，列车在弯道处的运动方向可看作是求切线的斜率。设曲线C∶y=f（x），求曲线C在点M（x0，y0）的切线斜率。

思路：由于割线的极限位置是切线，先求割线斜率，再对割线斜率逼近得出切线斜率。

第一步，设M（x0，y0）是曲线C上的一个点，则y0=f（x0）。另取C上的一动点。如图1所示，并写出割线MN的斜率，即为

第二步，对割线斜率取极限即为切线斜率。当点N沿曲线C趋于点M时，即当Δx→0，tanφ极限存在，设为k，即为点M的切线斜率

第三步，学生利用图像研究割线斜率和切线斜率，观察相应直线MN的变化情况。

然后对两个问题进行小结。教师引导学生再去观察质点在某一时刻的瞬时速度和曲线在一点的切线斜率的两个表达式，即

教师提问：这两个表达式有什么相同和不同？

原来，一方面，它们表示的含义不同，一个表示的是物理上的瞬时速度，另一个表示的是几何上的切线斜率。另一个方面，符号不同。但是如果不考虑它们的实际意义，假设路程s用f表示，t用x表示，两个表达式就是一样的。所以，这两个表达式，如果舍去考虑的实际意义，就看到一个数学表达式，是当自变量的增量趋于0时，求函数的增量除以自变量的增量的极限，这其实就是所谓导数的定义（高阶性内容）。下面引入导数的定义。