“一轴双线 三全育人”理念下高等数学课程思政探索与实践

摘  要：该文以高等数学课程为载体，遵循“一轴双线 三全育人”的理念，以立德树人为“主轴”，以“理论+技能”培养的知识线和“学科素养+使命担当”传承的思想线为“双线”进行运作，构建全员、全程、全课程育人格局。以高等数学课程体系里相应的知识单元为立足点，以最新的思政理念为引领，以“专业”+“思政”融合为目标，以“润物细无声”为标准，扎实推进高等数学课程承载思政的教学改革，为培养高素质创新型人才奠定坚实的基础。

关键词：高等数学；课程思政；微分中值定理；辅助函数；探究式学习

中图分类号：O13      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）30-0193-04

Abstract： This paper takes the course of Advanced Mathematics as the carrier， follows the idea of "one axis two lines，three-wide education"， takes moral cultivation as the "main axis"， operates with the knowledge line of "theory + skill" and the thought line of "discipline quality + mission responsibility"， and constructs the education pattern of full participation， whole process and all courses. Based on the corresponding knowledge units in the course system of Advanced Mathematics， guided by the latest ideological and political ideas， aiming at the integration of "major" and "ideological and political education"， and taking "moisten things silently"as the standard， we steadily promote the teaching reform of curriculum ideological and political education in Advanced Mathematics， it will lay a solid foundation for cultivating high-quality innovative talents.

Keywords： Advanced Mathematics; curriculum ideological and political education; differential mean value theorem; auxiliary function; inquiry learning

基金项目：2022年山西省高等学校教学改革创新项目“‘一轴双线 三全育人’理念下高等数学课程思政的探索与实践”（J20220981）；山西省教育科学“十四五”规划2022年度课题“思创融合理念下高等数学教学改革的探索”（GH-220028）；山西省研究生教育教学改革课题“山西高校研究生学术道德与规范研究”（2022YJJG266）；山西省研究生教育教学改革课题“电子信息专业硕士学位立项建设点产学研协同创新人才培养模式的研究”（2022YJJG267）；高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目“高等数学教学中思政案例设计与应用实践”（CMC20200417）

第一作者简介：杨莹（1986-），女，汉族，山西吕梁人，博士，副教授，硕士研究生导师。研究方向为算子理论与量子信息。

习近平总书记在二十大报告[1]中指出：“加快建设教育强国、科技强国、人才强国，坚持为党育人、为国育才，全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之。”作为教育工作者，我们要承担起这样的励志使命和重大责任。立德树人是教育的根本任务，课程思政是落实立德树人的重要举措[2]。

长期以来，大学生思想政治教育面临“孤岛”困境，思政教育与专业教育往往是“两张皮”，不能融会贯通。如何打破两者相互隔绝的“孤岛效应”，将立德树人贯彻到高校课堂教学全过程、全方位、全员之中，推动思政课程与课程思政协同前行、相得益彰，构筑育人大格局，是新时代中国高校面临的重要任务之一。如何贯彻“课程承载思政”和“思政寓于课程”的理念是每一个教学工作者应该考虑的首要问题。作为一名一线的高等数学教师，如何做好高等数学[3-4]课程教学中的课程思政是教学中面临的一个新的问题，是现阶段急需认真思考的课题，也是高等数学教学改革的必经之路。

本文遵循“一轴双线 三全育人”的理念，以立德树人为“主轴”，以“理论+技能”培养的知识线和“学科素养+使命担当”传承的思想线为“双线”进行运作，构建全员、全程、全课程育人格局。以高等数学课程为载体，以课程体系里相应的知识单元为立足点，以最新的思政理念为引领，以“专业”+“思政”融合为目标，以“润物细无声”为标准，扎实推进高等数学课程承载思政的教学改革，为培养高素质创新型人才奠定坚实的基础。

一  课程思政融入高等数学课程的可行性

（一）  时间优势

大学期间是学生世界观、人生观、价值观形成的关键时期，大一又是这一时期的黄金节点，学生刚入校门难免会出现各种不适，甚至各种诱惑影响着学生的思想状况，所以大一正是学生思想政治教育的最佳时机[5]。而高等数学恰恰是面向大一新生开设的一门重要的基础课，开课时间跨度大，课时量多，不管是从时间节点还是时间跨度上来说，它都具有实施课程思政的优势。

（二）  内容优势

高等数学是一门古老的学科，它的概念、定理、性质中蕴含着丰富的思想、观点、方法，能够锻炼学生的理性思维、科学素养和创新意识[5]，唤起学生的好奇，激发潜能，为学生学习后继专业课和解决实际问题奠定理论基础，它悠久的历史和辉煌的成就，可以增强学生的文化自信和爱国情怀，锤炼学生的意志品质和科学精神，因此它在内容上也具有与课程思政有机融合的优势。

二  微分中值定理思政教学案例

目前，关于课程思政融入高等数学的探讨主要集中于宏观上探讨“如何挖掘思政元素”，很少设计具体的教学案例做实证研究。微分中值定理[6-10]是应用导数研究函数在区间上整体性态的有力工具，在高等数学[3-4]中占有很重要的地位，并且应用广泛。微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，内容理论性较强，是教学中的难点。现行的教材及参考资料往往直接给出辅助函数，并没有分析过程，过渡不自然，学生不知其然，更不知其所以然，并且教师在教学中欠缺对学生科学素养、科学探究与思政教育方面的培养。为了改善这一教学现状，本文以“微分中值定理”这一节为例，给出融入思政元素的教学案例。

（一）  探究

引入探究式学习方法（QDT法）：提出问题Q、经过讨论D、得到结论（定理）T。为了调动学生学习的积极性，让学生更好地理解并接受所学内容，在教学方法上采用探究式学习方法（QDT法），让学生在一个个“问题”的驱动下，有序地开展学习活动，问题逐层深入，逐渐接近教学目标，最终由学生自己发现结论。

1  探究1

1）Q（问题）：曲线上取得极值的点处若有切线，切线有何特征？

2）D（讨论）：引导学生借助几何直观得到猜想，并试图将文字语言转化为数学语言，用分析语言表述猜想。进一步追问这个猜想是否正确？是否是一个一般性的结论？引导学生进一步探讨，进而得到著名的费马引理。这也间接地让学生掌握了费马引理的几何意义。

3）费马引理[3-4]：设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对于任意的x∈U（x0），有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），那么f ′（x0））=0。

2  探究2

1）Q（问题）：费马引理中的极值点能否换成最值点？能否借助费马引理给出关于最值点的结论？

2）D（讨论）：最值点如果在区间内部取，一定是极值点，引导学生得出区间内部的最值点如果可导，导数必为0。此问题为导出罗尔定理做好铺垫，间接展示了费马引理与罗尔定理的联系。经过讨论，得到如下结论。

3）T（定理）：设函数f（x）在[a，b]上有定义，x0为[a，b]内一点，若①f（x）在x0点取得最大值或最小值；②f（x）在点x0可导，则f ′（x0）=0。

3  探究3

1）Q（问题）：怎样才能使得f（x）至少有一个最值在闭区间[a，b]内部取，并且最值点处可导？试图给出充分条件。

2）D（讨论）：首先引导学生联想到闭区间上连续函数的最值定理，保证最值存在；然后探讨怎样才能使至少有一个最值在区间内部取，经过讨论得到条件f（a）=f（b）；最后如何保证最值点处可导，引导学生联想到区间可导与点可导的关系，给出充分条件f（x）在开区间（a，b）内可导。引导学生进一步探讨，得到著名的罗尔定理。

3）罗尔定理[3-4]：若函数f（x）满足①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ<b），使得f ′（ξ）=0。

4  探究4

1）Q（问题）：能否借助图形给出罗尔定理的几何解释？

2）D（讨论）：引导学生借助图形直观理解罗尔定理，f（x）在闭区间[a，b]上连续意味着f（x）是定义在[a，b]上的一条连续曲线，f（x）在开区间（a，b）内可导意味着除区间端点外，处处都有不垂直于x轴的切线，f（a）=f（b）意味着区间端点的函数值相等且过两端点的直线的斜率为0，导数等于0意味着有水平的切线且切线斜率为0，通过探究最后让学生得到罗尔定理的几何解释。

3）结论：在两个高度相同的点之间的连续曲线上，若除区间端点外，处处都有不垂直于x轴的切线，则其中必有一条切线平行于两个端点的连线。

5  探究5

1）Q（问题）：罗尔定理的条件③f（a）=f（b）非常苛刻，使得罗尔定理的应用受到了限制。如果将罗尔定理中的条件③取消，你会得到什么结论？是否在某一点处仍然存在切线l//AB？

2）D（讨论）：引导学生借助几何直观得到猜想，并进一步论证猜想。采用逆向思维的方式

构造辅助函数φ（x）=f（x）-x使学生发现此结果刚好与罗尔定理的结论一致，进而建立与罗尔定理之间的联系，通过化归转化为验证φ是否满足罗尔定理的条件，学生通过实际验证操作，得到肯定，获得了定理。这也间接地阐明了拉格朗日定理的几何意义。

3）拉格朗日中值定理[3-4]：若函数f（x）满足①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f ′（ξ）=。

6  探究6

1）Q（问题）：如果在拉格朗日中值定理中曲线弧AB用参数方程x=F（t）

y=f（t）（a≤t≤b）表示，并且满足拉格朗日中值定理的条件，相应的结论是什么？

2）D（讨论）：引导学生思考曲线弧的表达方式转变，相应的拉格朗日中值定理的结论如何转变？由于结论中涉及到直线AB的斜率与某点处切线的斜率，在新的表达方式下如何表达两者成为关注的重点。由于A、B坐标改变，很容易计算出直线AB的斜率。曲线弧在某点处切线的斜率与此点处导数有关，引导学生联想到由参数方程确定的函数的导数公式，进而得到点（x，y）处的切线的斜率为=。