基于核心公式诱导思维的理论力学知识网络图构建与应用

摘  要：针对理论力学课程由于内容庞杂、分散而导致学生难学、畏学，教师难教的问题，提出基于核心公式诱导思维构建理论力学知识网络图的方法。该方法以理论力学核心公式为线索，采用诱导思维的逻辑对繁杂的理论力学知识点进行有机串联，最终利用思维导图工具构建理论力学课程完整的知识网络图。基于该方法，给出构建理论力学知识网络图的一个完整实例，并分别从“把厚书读薄”和“把薄书读厚”两个方面阐述其应用于教学实践的思路。

关键词：理论力学；知识体系；知识网络图；思维导图；逻辑思维

中图分类号：O31         文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2023）07-0086-07

Abstract： Aiming at the problems that students are difficult to learn， afraid to learn and teachers are difficult to teach due to the complex and scattered content of Theoretical Mechanics course， a method of constructing knowledge network diagram of Theoretical Mechanics based on core formula is proposed. This method takes the core formula of Theoretical Mechanics as the clue， uses the logic of inducing thinking to organically connect the complex knowledge points of Theoretical Mechanics， and finally uses the mind mapping tool to construct a complete knowledge network diagram of Theoretical Mechanics course. Based on the methods， a complete example of constructing the network diagram of theoretical mechanics knowledge is given， and the ideas of applying it to teaching practice are expounded from two aspects of "reading thick books thin" and "reading thin books thick".

Keywords： Theoretical Mechanics; Knowledge system; knowledge network diagram; mind map; logic thinking

理论力学是一门理工科本科生的专业基础课程，也是此类专业学生接触到的第一门系统性的力学课程。航空、机械和土木等专业的理论力学课程基本教学内容分为静力学、运动学及动力学三大板块，现行的大多数理论力学教材也基本上按照这三大板块来进行编排。这种体系主要来源于苏联，虽然完整、经典，然而至今五十多年，其形式、内容、方法几乎没变[1]。而且该体系包含了13个知识要点，内容庞杂且分散，偏重于理论分析，各个知识点之间缺乏有机的联系，容易形成知识的“孤岛”。在这样的知识体系下，如果采用传统的教学方法按照知识点进行孤立的讲解，容易使学生觉得课程内容太多、太难且太枯燥，从而产生厌学情绪，使得教学效果大打折扣。另外，对于学过普通物理力学的学生而言，初学理论力学时，许多内容都是在普通物理力学中学习过的，极易产生轻视心理，实际上对于许多概念的理解似是而非，很难建立起理论力学知识体系的完整图像。

针对以上问题，国内学者对于理论力学教学进行了诸多的改革研究和实践。周昕等[2]提出，在理论力学教学过程中要做到既避免与普通物理力学的简单重复，又要抓住理论力学的核心部分，做好普通物理力学与理论力学的教学衔接，教授理论力学应该建立在更为严格的逻辑基础之上，更偏重于数学推导，用统一的视点系统地综合各传统力学分支。张速等[3]针对学生在学习理论力学过程中知识点不易掌握的特点，将科学方法论中的比较-分类、归纳-演绎、分析-综合三种逻辑方法引入到理论力学的课程教学实践中。叶红玲等[4]通过构建“1+4+N”的课堂教学体系，梳理课程知识点，将教与学相统一。陈妍如等[5]将思维导图引入理论力学教学，针对理论力学教学的特点，分别举例阐述了在课前预习、课堂学习和总复习三个阶段使用思维导图的模式。以上教学探索在提高理论力学教学的有效性方面提供了很多有益的经验。

在消化吸收以上研究成果的基础上，本文提出基于核心公式诱导思维构建理论力学知识网络图的方法，并给出一个可供参考的构建实例及将其应用于教学实践的思路。该方法以理论力学核心公式为线索，采用诱导思维的逻辑将繁杂的理论力学知识点进行有机串联，最终利用思维导图工具构建理论力学课程完整的知识网络图，从而实现将理论力学课程的知识体系浓缩到一张纸上的目的。基于该方法构建的理论力学知识网络图可直接应用于教学，也可根据实际情况进行进一步补充、调整或裁剪以作为教学应用和研究的参考。

一  基于核心公式诱导思维构建理论力学知识网络图

根据作者多年教授理论力学课程所积累的教学经验及对该课程内容的理解，通过对课程内容进行全面的分析和梳理，以理论力学核心公式为线索，采用诱导思维的逻辑将繁杂的知识点进行有机串联，最终利用思维导图工具构建理论力学的知识网络图。选择思维导图作为构建理论力学知识网络的工具和表现形式，可以实现形象思维与抽象思维的巧妙结合，是培养学生数理逻辑思维能力的有效途径。作为将发散思维具体化的一种方法，思维导图由于具有树状、多层级的发散结构，非常适合用于将理论力学零散的知识点构建成可视化的知识网络，可以有效帮助学习者找到新旧知识间的联系，更好地完成新知识的内化，从而提高学习者分析问题和解决问题的能力。

下面以具体的实例来说明基于核心公式诱导思维的逻辑构建理论力学知识网络思维导图的过程。实例描绘的理论力学知识体系主要参考哈尔滨工业大学理论力学教研室编写的《理论力学（I）》[6]，该教材于1961年发布初版，先后再版7次，逐步形成了自身风格和特点，是我国发行量和影响最大的理论力学教材[7]。实例中所涉及的理论力学概念、术语和符号均与该教材保持一致，因此文中不再进行特别的定义和说明。对于实例中出现的公式也不进行严格的推导，而只是从诱导思维的角度给出公式与公式之间联系的简单说明。实例中所有的思维导图均使用开源软件Freeplane 1.9.5版本制作完成。

（一）  理论力学知识网络图主框架的构建

理论力学知识网络图主框架从总体上描述了理论力学所包含的三个部分内容：静力学、运动学和动力学，以及这三个部分之间的内在联系。从图形上看，其主要功能在于给出知识网络图树状结构的“树干”，并清晰地描绘出从“树根”到各分支之间的联系。考虑到学习理论力学的学生一般都具有高中物理和大学物理的力学基础，因此选择使用他们最为熟悉的质点牛顿第二定律（f=ma）作为知识网络图树状结构的根节点，并由此诱导“生长”出树状结构的“树干”节点，如图1所示。下面简述一下运用诱导思维的方法生成理论力学知识网络图主框架的具体过程。

首先，由根节点公式中的力f可以提出如下问题：对于一个质点上的一个力是简单易求的，但是对于质点系中的复杂力系，如何进行分析、简化和求解？由此便可从根节点向左诱导“生长”出静力学节点（图1①号节点），以及静力学的三个分支：受力分析、力系简化和力系平衡。

其次，由根节点公式中的加速度a可以提出如下问题：对于一个质点的运动是容易描述的，但是对于质点系，乃至于工程中更常见的刚体，如何描述其在惯性坐标系以及相对坐标系中的运动？由此便可从根节点向右诱导“生长”出运动学节点（图1②号节点），以及运动学中按研究对象由简单到复杂分类的四个分支：点的运动、刚体简单运动、点的合成运动和刚体平面运动。

最后，在初步建立静力学和运动学基本概念的基础上，进一步提出问题：既然静力学只研究物体的受力，运动学只从几何的角度来研究物体的运动而不研究引起运动的物理原因，那么物体运动的原因究竟是什么？在此问题的诱导下，再回到根节点，进而指出：牛顿第二定律公式中的等号把静力学和运动学联系起来，给出了物体的运动与作用力之间的关系，这就是动力学的研究内容。由根节点分别向下向上，可以进一步诱导“生长”出动力学的三个普遍定理节点：描述质点系质心的运动状态及其变化规律的动量定理节点（图1③号节点）、描述质点系相对于定点或质心的运动状态及其变化规律的动量矩定理节点（图1④号节点），以及从能量的观点来分析质点系动力学问题的动能定理节点（图1⑤号节点），这个诱导“生长”的具体过程将在后面的动力学分支的构建部分进行详细描述。

至此，我们运用诱导思维的方法完成了理论力学知识网络思维导图主体框架的构建。这个过程也可以看成是以核心公式为线索，通过诱导思维完成知识网络树从根节点到分支节点的“生长”。如果继续按照这种思路让图1中的每个分支节点都进一步充分“生长”，即可得到我们最终需要的理论力学知识网络图，如图2所示，或者说得到一棵能够完全覆盖理论力学课程所有知识点的茂密的“知识树”。这棵“树”以核心公式为线索，在所有分支节点之间建立起有机联系。

（二）  静力学部分的构建

在如图1所示主框架的基础上，将静力学节点（①号节点）进一步展开即可得到静力学部分的知识网络树状结构（如图2所示）。静力学包含三个下级分支：受力分析、力系简化和力系平衡。下面将各个分支的进一步细化、“生长”过程简述如下。

受力分析是静力学研究的基础，该分支按照画受力图的一般步骤细分为三个下级分支：取研究对象为分离体、画主动力、去除约束画约束力。其中前两个分支太简单就不再展开。去除约束画约束力是画受力图教学中的重点和难点，因此将该分支进一步按照常见约束类型展开为六个分支：光滑接触约束、柔索约束、滚动支座、光滑铰链、球铰链、止推轴承。接下来需要重点解决如何画约束力的问题。其中光滑接触约束、柔索约束和滚动支座这三类约束的约束力方向是可直接确定的，因此不再细分。光滑铰链约束可进一步细分为三个分支：如果存在二力平衡或三力平衡汇交的情况，可确定约束力的方向；如果不存在这两种情况则归类为其他，这时需要把约束力分解为两个正交分量。球铰链和止推轴承是三维空间约束，其约束力的方向一般不能直接确定，因此需要分解为三个正交分量。

力系简化的依据是力的平移定理。应用力的平移定理将任意力系中的力矢量平移到任意选定的O点，得到一个等效汇交力系和一个等效力偶系，构成了力系简化分支的两个下级分支。对于得到的等效汇交力系，可直接进行矢量求和从而得到主矢。对于得到的等效力偶系，也可直接进行矢量求和从而得到主矩。为了简洁，图中没有区分平面任意力系和空间任意力系，可以把平面任意力系视为空间任意力系的特例。如有需要，该分支还可根据主矢和主矩的不同组合情形进一步细化给出任意力系简化结果的描述，限于篇幅这里就不再给出。

力系平衡问题是静力学研究的重要内容，其目的是通过求解静力平衡方程得到作用于物体上的未知力。根据任意力系平衡的必要和充分条件，可将该分支细分为两个下级分支即主矢等于零和主矩等于零。再分别写出这两个矢量方程在直角坐标系下的三个标量方程，可进一步生成六个下级分支。

（三）  运动学部分的构建

在如图1所示主框架的基础上，将运动学节点（②号节点）进一步展开即可得到运动学部分的知识网络树状结构（如图2所示）。运动学按研究对象由简单到复杂分为四个下级分支：点的运动、刚体简单运动、点的合成运动和刚体平面运动。下面将各个分支的进一步细化、“生长”过程简述如下。