经管类专业的数学建模案例教学认识与实践

摘  要：对于高校经管类专业的数学类课程，传统的数学系统化理论教学模式已经不能适应高等教育大众化的现状。通过近年来的教学实践，发现案例教学是激发学生学习积极性、提高数学公共课教学质量、培养学生创新能力的有效教学模式。所以，倡导以数学建模案例教学的教学模式进行教学改革。提出数学建模案例教学的具体方法和切入点，并通过实际的教学案例说明该教学模式的具体流程。最后，提出深化数学建模案例教学改革的构想。

关键词：数学公共课教学;数学建模;案例教学;经管类专业;教学改革

中图分类号：G642.4      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）27-0111-04

Abstract： For mathematics courses of economics and management majors in colleges， the traditional systematic theoretical teaching model can not adapt to the actual situation of the popularization of higher education. Through teaching practice in recent years， we found that case teaching is an effective teaching mode to stimulate students' learning enthusiasm， improve the teaching quality of mathematics public course and cultivate students' innovative ability. Therefore， we advocate curriculum teaching reform of mathematical modeling case teaching. We suggest the specific method and breakthrough point of mathematical modeling case teaching. And the specific process is illustrated by an actual teaching case. Finally， we put forward the thought on deepening the reform of mathematical modeling case teaching.

Keywords： mathematics public class teaching; mathematical modeling; case teaching; economy and management specialty;teaching reform

数学在当今高技术时代发挥了日益关键的作用。“21世纪高技术本质上是一种数学技术”已经成为社会的共识。高等学校的数学教育有必要顺应这一变化趋势，及时调整教学方法和教学模式，更好地提升人才培养效果。

通常数学类课程的教学模式主要有两种：一是按照数学学科自身的分科体系，按分类课程、系统化教学;二是以应用问题为导向，组织教学内容。目前在国内一般高等院校，数学公共课的定位是为学生的专业课程提供相应的数学理论基础和工具，使用的仍然是系统化的传统教学模式。如何与时俱进地改进教学方法和教学模式已经成为数学公共课教改的焦点问题[1-3]。同时应该针对经管类的学生特点，设计出专门的数学课教学模式，以更好地适应新时代下的人才培养。近年来已经有一些学者进行了研究和探索[4-6]。通过近年来的教学实践，发现对于经管类学生，数学建模案例教学是激发学生学习积极性，提高数学公共课教学质量、培养学生创新能力的有效教学模式。

我们理解的数学建模案例教学并不是传统系统化教学模式中的背景引例、举例分析，而是一种贯穿于整个教学过程中的具有实践性、开放性的教学模式;是一种解决用实际问题来驱动理论知识的传授的教学模式。本文基于近年来我们的教学实践，对这一教学方法进行总结和讨论。

一、经管类专业数学建模案例教学改革的认识

目前，国内大部分高校的数学公共课教学，仍然是以课堂理论教学模式为主。系统化教学模式主要是从数学的自身逻辑去构建教学体系，和目前学生的实际状况存在一定的脱节现象。同时这种教学模式客观上增加了学生学习的难度。最终造成的局面是：学生似乎知道数学很重要，但陷于基础抽象的理论学习，普遍对数学的实用性缺乏认识，不能领悟所学知识的价值，以至于学习缺乏目标和动力。

实际上，我们培养的经管类学生绝大部分是应用型人才，因此应该与时俱进的转变教学观念。传授多少数学知识给学生并不重要，重要的是让学生能掌握解决问题的数学手段。进一步的，更重要的是在传授学生数学理论和方法的同时，让学生提高数学素养。使得学生能够利用数学的思维方式去解决专业领域遇到的实际问题。 我们认为，提高数学类课程教学质量的关键在于激发学生的学习兴趣。教学改革应该首先通过教学模式的调整，让学生感受到“好的数学理论是最实用的。[7]”通过具体问题的解决，展现数学方法的强大威力，从而激发学生的学习兴趣。

经管类专业的数学课程和实际问题结合的教学改革研究，国内已有很多学者进行了探讨[8-9]。本质上都是在讲授基础数学理论的同时，加入涉及经济、金融和管理的例子。这些教学改革最主要的问题是由于学时有限，教师教学只能重点放在理论教学;即使出现涉及经济类的例子也是作为理论知识的直接应用，不能深入讨论，对于激发学生的学习兴趣作用有限。

另一方面，随着近年来全国大学生数学建模竞赛的开展，数学建模对数学教学改革起到了积极和重要的作用。在建模教学和实践中发展出来的数学建模案例教学方法，也受到了广泛的重视和研究[10-11]。数学建模案例教学是指以解决实际问题作为教学内容，通过对问题的分析、简化、建模、求解和讨论等，向学生展示数学在解决实际问题中的作用，从而让学生逐步掌握数学理论、方法和思想。

从对数学建模竞赛指导的过往经验上看，理工科学生往往比较适应数学建模的。而经管类学生，对数学方法和工具的使用，普遍要弱一些，主要的原因可能是：理工科专业的很多课程本身就渗透着利用数学建模解决问题的思想和实例，学生对这套方法有一定的训练。而经管类学生大多从记忆的角度来理解专业课程，不太适应数学工具在专业课程中的应用。

实际上，正是由于大量采用了数学工具和方法，更为逻辑一致地揭示出复杂现象背后的深刻规律，使得经管类学科在现代取得了巨大的发展。经管类学生应该顺应学科发展的趋势，熟练掌握数学工具和思维方法，善于利用数学工具，增强自身解决实际问题的能力。所以我们认为以经管类学生为对象，开展数学建模案例教学是符合时代发展需求的。

对经管类学生的数学建模案例教学，一些学者已经有了一些初步的探讨和研究[12]。我们的目标是在这些研究的基础上，在实践中循序渐进地进行教学改革，最终实现以解决应用问题为导向，重构目前经管类专业数学课程的教学内容和教学模式。

二、数学建模案例教学的具体实践

基于上面对数学建模案例教学重要性和必要性的认识，并考虑到教学改革应该以慎重的态度，在最近几年的教学实践过程中，我们进行了以下几个方面的工作。

（一）课堂教学框架的调整

对传统的理论教学进行了调整，在课堂教学的组织上，由教师根据授课专业的特点，准备恰当的案例，以案例教学贯穿整个课堂教学流程（见后面实例说明）。在课后开放式练习中，利用具体实际问题，让学生深入探讨式学习。充分利用现代信息和计算技术的发展，淡化机械式的运算练习，强调数学方法的理解和在问题中的运用，也是根据各个不同专业的差异，设计与安排学生课后习题和案例的解决。最后，在课程考核中增加权重比较大的解决实际问题的开放性试题。

在整个教学过程中，我们特别强调学生的互动和参与，淡化一些数学理论推导，并且不追求数学理论的严谨性，着重强调培养学生的数学直观和直觉。

（二）经管类学生数学建模竞赛专门培训课程

对经管类学生开设专门的数学建模案例课程（公共选修课），课程内容进行专门的针对性设计，由培训老师在经管类学科中收集、整理和加工相关合适的问题。然后通过带领学生：对问题进行分析和讨论;抓住主要因素、做出合理假设;选择合适的数学方法，建立模型;综合利用计算机和数学求解模型问题;分析、讨论和验证结果;撰写报告等各个环节。

在内容的选择上，考虑到经管类问题大多是以收集到的数据为研究起点和对象，我们强调统计学和数据科学的相关方法。在建模方面，针对不同问题的领域特点，对不同专业的学生有所侧重，例如，对于管理类学生，着重于管理决策分析中的数学建模方法，强调运筹学、数学规划等方法的引入;对于经济类学生，侧重于抓住经济现象中的主要因素，建立合理简化的数学模型，强调优化方法和算法的介绍。

（三）重视实际应用，跨学科的联合培养人才

目前的数学基础课课程体系设计是相对封闭和独立的。案例教学是以实际问题为驱动的教学模式，在本质上就要求跨学科的课程建设和人才培养，这就要求数学公共课教师了解经管类学科的发展前沿，同其他专业的教师联合，跨学科的联合培养人才。

最近几年，我们在实践的过程中，找到了一个切入点：通过数学公共课程老师直接参与经管类学生的毕业论文指导（设计）。由于在这些学生的毕业论文大量的使用了数学和统计学的方法，毕业论文的质量在一定程度上得到大幅的提高。

同时通过这种深度的参与和合作，也使数学老师更加深刻地了解到数学在其他专业和学科中的应用，给本身数学公共课的相关教学内容的处理也带来极大的裨益。

三、数学建模案例教学实例——企业价值的评估

数学建模案例教学需要授课教师细致的教学设计，这就要求教师深入到学生的专业领域，提炼具体问题的数学理论的背景、寻找恰当的案例。将具体的案例问题引入到数学课教学中，在教学中展现给学生如何综合的利用数学方法解决问题。

例如，在介绍无穷级数理论时，对于财务会计、金融类的学生，我们使用的是企业价值的评估问题作为案例教学问题。如下，我们介绍一下这一案例教学的具体流程。

第一步，案例的引入和讲解。在对会计、财务类专业学生讲解无穷级数内容时，我们选择的案例是企业的估值问题。通过财务数据对企业估值，经常使用的定量化方法是股利贴现模型和自由现金流量贴现模型。这两个模型都涉及到无穷级数的求和。我们利用这个案例进行无穷级数部分的教学。

企业现在的价值等于其预期会发放的股利的贴现值总和，如果假设企业的生命周期是无穷延续的，那么就必然考虑无穷项股利的贴现值，Rt为第t年的股利，δ为贴现率，从而引出无穷级数、求和及收敛性等概念，进一步考虑两阶段的自由现金流量模型，该模型将企业的增长分成两个阶段（成长期和稳定期）。第一个阶段为成长阶段，自由现金流增长率较高;第二个阶段是永续增长阶段，增长率比较低，从而企业此时的估值模型为

式中：PV为企业价值现值;FCFFt为第t年的自由现金流量;r为贴现率;g永续增长率;n为第n年。传统的财会专业课程学习是将这个模型当公式记忆。实际上该模型就是级数PV=，当FCFFn+k=FCFFk1+g，k=1，2，…的简化模型时

理解这个模型的数学理论后，学生自然就知道，在这个模型中r≤g是不可能出现的，因为此时级数不收敛。经济上的含义是，如果企业增长率大于贴现率，且能永续增长，那么其估值是无限的。