数学教学需做到“五讲”

摘  要：对于数学疑难内容的教学，教师的讲既重要又必要。数学教学需做到“五讲”：讲准确、讲简单、讲直观、讲创新、讲优美。它们分别是体现数学逻辑性的应然要求，消解数学复杂性的必然要求，降低数学抽象性的基本原则，贴近数学探究性的崇高目标，以及凸显数学审美性以实现快乐学习的常用方法。

关键词：数学教学；讲授法；学科特征

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本文系四川省卓越教师培养计划项目（编号：ZY16001）、四川省教育科研资助金项目重点课题“差错诊断与差错控制，从而数学教与学解困新路探究”（编号：SCJG20A049）、内江师范学院横向科研项目“高中数学原创性命题研究与推广”（编号：HXL21111）的阶段性研究成果。通讯作者：赵思林。

对于数学疑难内容的教学，教师的讲既重要又必要。关键是如何讲，才能讲得好，从而帮助学生学得好。对此，我们提出数学教学需做到“五讲”。

一、 讲准确：体现数学的逻辑性

讲准确，是体现数学逻辑性的应然要求。青年数学家恽之玮在一次报告中讲到：“只要能够给一个确切定义，有一套逻辑规则，在这个逻辑框架下面进行推演，就是数学。”这里的推演可以理解为演绎推理，包括数学运算。由此可知，定义、逻辑规则、演绎推理是建构数学知识体系的三大要素。在大数据和人工智能时代，基于定义、逻辑规则、演绎推理而产生的“算法”显然是不容忽视的。数学中的概念、命题、推理、算法是逻辑思维的基本形式。命题与推理之间的一个重要关系是对数学命题的证明。讲准确，是指把数学概念（特别是核心概念）的本质讲到位，把数学命题及其证明过程的逻辑讲严谨，把数学运算的算理讲透彻、算法讲清楚。

要把经过长期历史文化积淀形成的数学概念的本质讲到位是不容易的。例如，调研发现，很多学生对函数概念本质的认识（理解）有偏差甚至错误；一些教师认为“单值对应”不是函数的本质，“对应”才是函数的本质。这些教师的观点虽然正确，但是不准确。事实上，布尔巴基学派用“两个集合之间的单值对应关系”来定义函数［1］，即认为函数是一种单值对应。美国SAT（学术能力测试）数学学科考试用书中的函数定义是：关系是指有序数对组成的集合，函数是满足一切有序数对的第一个元素（数）有且仅有唯一的第二元素（数）的关系。［2］该定义比较简明，其中的“有且仅有唯一的”与“单值对应”在本质上是相同的。我国大学的数学分析教材通常也把函数的本质规定为“单值对应”。因此，“单值对应”是函数的本质。

要把数学命题及其证明过程的逻辑讲严谨也是不容易的。对此，要小心合情推理或几何直观代替演绎推理的情况（当然，有意利用合情推理或几何直观解决过分强调演绎推理带来的学习困难的情况除外），还要注意不能循环论证（如用余弦定理证明勾股定理）。

此外，特别要注意作图过程中的准确。例如，用五点法作函数y=sin x在一个周期内的图像。画一个草图不需要太准确，而作函数的图像则需要一定的准确性。作三角函数的图像，不管是人工作图，还是计算机作图，都会产生误差。显然，误差越小，作图的质量越高。观摩大量的课堂发现，教师常常采用以下几种画法：（1） 随手画出图像，既不标注单位长度，又不注意误差控制。对此展现了画图的随意性，忽视了数学的逻辑性。（2） 只在x轴上标注单位长度，不在y轴上标注单位长度。这样做仍然展现了画图的随意性，忽视了数学的逻辑性。（3） 在x轴和y轴上都标注单位长度。这样做又可以细分为两种具体的做法：① 先在x轴上标注π个单位长度，再计算，并在y轴上标注1个单位长度；② 先在y轴上标注1个单位长度，再计算，并在x轴上标注π个单位长度。前一种画法虽然符合习惯，但是运算量大，而且误差较大。事实上，若先在x轴上取5厘米作为π个单位长，那么y轴上的1个单位长可通过5π近似计算得到，约为1.6厘米——这里的1.6是由5π通过2次近似计算得到的：第1次近似计算是取π的近似值，如取π≈3.14；第2次近似计算是取结果的近似值，即53.14≈1.6。后一种画法虽然不符合习惯，但是运算量小，而且误差较小。若先在y轴上取2厘米作为1个单位长，那么x轴上的π个单位长可通过2π近似计算得到，约为6.3厘米。这两种作图方法都是正确的，但是后一种方法比前一种方法更准确（也更简单）。综上，作三角函数的图像时，“先在y轴上标注1个单位长度，再计算，并在x轴上标注π个单位长度”是人工作图最精准的方法。

二、 讲简单：消解数学的复杂性

讲简单，是消解数学复杂性的必然要求。菲尔兹奖得主、法国数学家马克西姆·孔采维奇在谈及“面对越来越复杂的数学，数学教育该如何做”时说：“我们要学会不断地简单化。”［3］张景中院士提出的“教育数学”理念也有“把数学讲简单”的核心意蕴。“把数学讲简单”是数学教师的核心素养。［4］很多学生觉得数学难学，这可能与教师把数学讲得比较复杂有直接的关系。只有把数学讲简单，才能让学生易学、易记、易懂、易会。讲简单，是指抓住数学本质，并把它讲清楚、讲透彻。数学本质通常包括数学概念的属性本质、数学命题的逻辑本质、数学整体的结构本质、数学内核的思想本质等。［5］

数学内容包括数学概念（含义）与符号（表征）、数学命题（陈述）与问题（疑问）、数学方法与思维等。把数学概念讲简单，可采用阐明概念的内涵，揭示概念的本质；指出概念的外延，教授简单的案例等方法。如讲对数的定义时，可以讲“对数的本质是指数”，更具体地，在“at=p（a＞0，a≠1）”中，t（在指数位置）叫作对数。把数学符号讲简单，可采用把符号的主要意义讲清楚、讲直观等方法。如讲函数符号f时，可以把f理解为对x（输入数据）进行运算的一个“机器”，即x→f→f（x）。举一个例子，取f（x）=x3-2x+7，这时f可理解为对x施行的一个“算法”，即f（  ）=（  ）3-2×（  ）+7。把抽象问题（如抽象函数问题、多字母代数问题等）讲简单，可采用特殊化、数量图形化、符号情境化等方法；把结构复杂的问题讲简单，可采用换元、减元、降次等方法。把数学方法讲简单，可重点讲通性通法（普适方法）；把数学思维讲简单，可采用借助直觉思维、正难则反、原型启发、经验重组、“退”到特殊（极端）等策略。

例1  证明：Cmn+1=Cmn+Cm-1n。

因为组合数的定义（意义）反映了某类组合计数问题的本质属性，简单易懂，还可减少运算，所以对于本题，可先创设能体现组合数Cmn+1意义的真实情境，即构造有n+1个不同元素的集合{x，a1，a2，…，an}，计算从该集合中取出m个元素的所有组合的总个数。根据取出的m个元素中是否含x分为两类：其一，含x，则还需在{a1，a2，…，an}中取m-1个元素，故有Cm-1n个；其二，不含x，则需在{a1，a2，…，an}中取m个元素，故有Cmn个。因此，Cmn+1=Cmn+Cm-1n。

三、 讲直观：降低数学的抽象性

讲直观，是降低数学抽象性的基本原则。具体是指，充分利用几何直观、图表直观、模型直观、经验直观等，激发学生的直觉思维，帮助学生理解知识、发现结论、解决问题。为此，教师尤其要学会运用几何画板、matlab等数学软件，引导学生开展数学实验探究。例如，利用函数图像切线的斜率，理解导数的意义；利用曲边梯形的面积，理解定积分；观察函数的图像及其变换，发现函数的单调性、对称性和周期性等；利用“墙角模型”“补体模型”等，解决空间几何体的外接球与内切球问题。特别是一些代数问题的直观解法，常常先把问题中的代数元素赋予几何意义，然后构造几何图形（图像），从而利用几何知识和方法巧妙、简洁地解答问题。

例2  若x+y+z=6（x＞0，y＞0，z＞0），求x2+2+y2+8+z2+18的最小值。

对于本题，可将代数元素赋予几何意义：如图1，设AB=x，DE=y，FG=z，AC=2，BD=22，EF=32，则BC=x2+2，BE=y2+8，EG=z2+18。通过图形直观，可得OG=AB+DE+FG=6，OC=AC+BD+EF=62，得到CG=OG2+OC2=63。因为BC+BE+EG≥CG，当且仅当B、C、E、G四点共线，即x2=y22=z32时，等号成立，所以，x2+2+y2+8+z2+18的最小值为63。

四、 讲创新：贴近数学的探究性

讲创新，是贴近数学探究性的数学教学的崇高目标。具体是指，以促进学生创新思维发展为目标，创设问题情境，营造开放、包容的学习氛围，引导学生运用探究与发现的学习策略，运用类比归纳、直觉猜想、合情推理、经验重组、实验观察、创造想象、审美顿悟法等方法［6］，进行自主探究、合作研究以及成果提炼、成果分享等活动。数学的探究、发现与创新往往是从特殊情形或类似情形开始，经过试算观察、归纳概括、类比迁移、提出猜想并严格证明等过程而实现的。

例如，教学“圆锥曲线”时，可引导学生从椭圆的第一定义中发现第二定义，进而发现圆锥曲线的统一定义，而不是像通常情况那样，在学完“抛物线”后，从抛物线的定义（与椭圆、双曲线的不统一）出发，探究到定点和定直线的距离比是不等于1的常数的点的轨迹，从而得到圆锥曲线的统一定义。设点P（x，y）、F1（-c，0）、F2（c，0），

由椭圆的第一定义知｜PF1｜+｜PF2｜=（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（2a＞｜F1F2｜）。从而，a是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项，可设公差为d，则有｜PF1｜=（x+c）2+y2=a+d，｜PF2｜=（x-c）2+y2=a-d。观察两式结构上的对称性，将它们平方后相减，可解得d=cax，

即｜PF1｜=a+cax=ca·x--a2c。此式的几何意义是：平面内的动点P（x，y）到定点F1（-c，0）的距离和到定直线x=-a2c的距离（记为｜PM｜）之比为常数e=ca（a＞c＞0），即｜PF1｜｜PM｜=e。这正是椭圆的第二定义，也即圆锥曲线的统一定义。类似地，可再引导学生通过动点P到定点F2的距离和动点P到定直线x=a2c的距离进行探究，发现比值｜PF2｜｜PN｜仍然是常数e。

例3  化简：（1） C1010+C1011+C1012+C1013；（2） C1010+C1011+C1012+…+C10100。

观察所给组合式的结构特征，不难发现：通过逆用恒等式Cmn+1=Cmn+Cm-1n，反复“合并”，即可化简。具体过程如下：

（1） C1010+C1011+C1012+C1013

=（C1111+C1011）+C1012+C1013

=（C1112+C1012）+C1013

=C1113+C1013

=C1114。

（2） C1010+C1011+C1012+…+C10100

=（C1111+C1011）+C1012+…+C10100

=（C1112+C1012）+C1013+…+C10100

=（C1113+C1013）+C1014+…+C10100

=…

=C11101。

解决完此题后，可进一步引导学生把所得结论由特殊推向一般。依据恒等式Cmn+1=Cmn+Cm-1n，经过反复递推可以得到

Cmn+1=Cmn+Cm-1n

=Cmn-1+Cm-1n-1+Cm-1n

=Cmn-2+Cm-1n-2+Cm-1n-1+Cm-1n

=…

=Cm-1m-1+Cm-1m+Cm-1m+1+…+Cm-1n-1+Cm-1n，

从而可以发现朱世杰恒等式∑ri=0Ckk+i=Ck+1k+r+1。

利用朱世杰恒等式，可引导学生发现并解决下面的求和问题：

① 1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）；

② 1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）；