“全概率公式”内容的教材比较与教学建议

摘  要：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》新增了全概率公式和贝叶斯公式的内容。两个公式分别“由因导果”“执果索因”，都是用简单事件的概率计算复杂事件的概率。从编排顺序、问题情境、知识阐述以及例题与习题等方面对现行7个版本高中数学教材中有关这两个公式的内容进行分析比较，进而提出相应的教学建议：优化引入公式的问题情境，提供解决问题的直观模型，增加全概率公式的探究活动，强化贝叶斯公式的教学。

关键词：高中数学；全概率公式；贝叶斯公式；教材比较；概率思想

相比于之前的《普通高中数学课程标准（实验）》，最新的《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）中“概率与统计”主线的内容要求发生了比较大的变化。特别是“随机事件的概率”部分，增加了样本点与样本空间的概念，从而用集合语言阐明随机事件及其关系和运算，得到随机事件概率的基本性质和运算法则（包括互斥、不互斥时的加法公式和独立、不独立时的乘法公式等）。这样处理凸显了现代数学的抽象结构思想，也增强了知识体系的逻辑严谨性。在此基础上，还新增了全概率公式和贝叶斯公式的内容，要求“结合古典概型，会利用全概率公式计算概率。了解贝叶斯公式”［1］。学习这两个公式能帮助学生自然延伸、合理完善随机事件概率的知识（运算法则）体系。本文在简单分析这两个公式的内涵、关系及其背后思想的基础上，对现行7个版本高中数学教材中有关的内容进行分析比较，进而提出相应的教学建议。

一、 知识分析

如下页图1，设Ω是试验E的样本空间，A1，A2，…，An是试验E的一组事件，满足AiAj=（i，j=1，2，…，n；i≠j）且A1∪A2∪…∪An=Ω（即A1，A2，…，An为Ω的完备事件组），则对于任意事件BΩ，有P（B）=∑ni=1P（BAi）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai），这就是全概率公式。全概率公式的本质是：先利用完备事件组分割事件B，再由概率的加法公式和乘法公式求得事件B的概率。在实际应用中，完备事件组A1，A2，…，An是导致试验结果的各种可能原因（条件），所以P（Ai）（ｉ＝1，2，…，ｎ）称为先验概率（在试验前已知）；P（B）是事件B（作为试验结果）分别在这些原因下发生的条件概率的加权平均，所以全概率公式是“由因导果”正向计算概率的公式，即利用先验概率计算试验结果发生的概率的公式。

图1

显然，还应该有“执果索因”逆向计算概率的公式，即在事件B发生的结果下，计算其是由各种可能原因（条件）A1，A2，…，An导致的概率。［2］这就是贝叶斯公式：P（Ai|B）=P（Ai）P（B|Ai）P（B）=P（Ai）P（B|Ai）∑nk=1P（Ak）P（B|Ak），i=1，2，…，n。自然，P（Ai|B）（ｉ＝1，2，…，ｎ）称为后验概率（在试验后推知），贝叶斯公式就是利用试验结果发生的概率计算后验概率的公式。

全概率公式和贝叶斯公式同为概率论中基础而重要的公式，其基本思想都是用简单事件的概率计算复杂事件的概率，体现了“化整为零”与“化零为整”（即分解与综合）以及化难为易的转化思想。［3］通过两个公式的学习，学生可以体会利用研究对象的性质探寻解决问题的方法和将复杂问题化归为简单问题的数学思想，提升数学抽象和逻辑推理素养。

二、 教材比较

目前，根据新课标编写的高中数学教材一共有7个版本，分别是人教A版、人教B版、北师大版、沪教版、苏教版、湘教版和鄂教版。基于全概率公式和贝叶斯公式的内在关联和本质一致，它们通常是被安排在一起教学的。下面，对这7个版本教材中有关这两个公式的内容进行分析比较。

（一） 编排顺序

一般地，数学教材要根据数学知识发生发展的内在逻辑编排教学内容，体现研究一个数学对象的“基本套路”，使教材具有内容的连贯性、逻辑的严谨性。［4］高中数学“随机事件的概率”内容的逻辑结构及课程安排如图2所示。可知，全概率公式和贝叶斯公式的建立是以随机事件概率的加法公式和乘法公式为基础的（乘法公式的建立要以条件概率为基础——事件的独立性是条件概率的特殊情况）。各版本教材基本上都按照这样的逻辑结构（顺序）安排“随机事件的概率”内容，并且都将“条件概率（包括乘法公式）”内容和“全概率公式”“贝叶斯公式”内容安排在一节中。存在不同的是，人教A版、北师大版、鄂教版教材把“贝叶斯公式”内容融合在“全概率公式”小节内，人教B版、沪教版、苏教版、湘教版教材则把“贝叶斯公式”内容独立于“全概率公式”小节后单独作为一个小节。前者一气呵成，突出了两个公式的关联；后者显性处理，能引发师生对贝叶斯公式的关注。

（二） 问题情境

数学学科核心素养通常是在综合化、复杂化的问题情境中，通过学生与情境、问题的有效互动生成的。“教学情境和数学问题是多样的、多层次的。教学情境包括现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的。数学问题是指在情境中提出的问题，分为简单问题、较复杂问题、复杂问题。”［5］

为了引入全概率公式，各版教材都注重选取体现时代发展、科技进步和符合学生生活经验的鲜活素材，创设合适的情境和问题，引发学生思考和交流，使学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程。各版教材中相关内容的分析梳理如表1所示。

建立全概率公式的关键是选择完备事件组。以人教A版教材为例，所创设的问题情境如下：

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1球，摸出的球不再放回，显然，第1次摸到红球的概率是aa+b，那么，第2次摸到红球的概率是多少？如何计算这个概率呢？

这个问题的难点在于，第2次摸球结果受第1次摸球结果的影响，而第1次摸球的结果具有随机性。但是，在已知第1次摸到红球或蓝球的条件下，就容易求得第2次摸到红球的概率。因此，设Ri表示“第i次摸到红球”，Bi表示“第i次摸到蓝球”（i=1，2），利用第1次摸球的结果R1和B1，将“第2次摸到红球”R2分解为两个互斥事件的和事件，即R1R2∪B1R2，然后利用概率的加法公式和乘法公式，就可求得P（R2）。相比于利用古典概型的列举法（树形图）求解，这样计算思路更简洁、清晰，也更具一般性。将这个方法一般化，便得到全概率公式。

此外，各版教材在选择例题时，同样遵循了“情境真实且多样化”的原则，力求既简单又典型。例如，人教A版例4（餐厅选择概率）、例5（混合产品次品率）、例6（接受错误信息概率）代表了不同的实际问题情境，都是典型的应用全概率公式的问题，而且计算量较小。

（三） 知识阐述

为了促进和提升学生对知识的理解，各版教材在对全概率公式和贝叶斯公式进行解释说明时，都充分考虑了学生的心理体验和认知规律，增强了内容的可读性和亲和力；抓住了数学本质，做到了“少而精”“简而明”。同时，各版教材又各有侧重，有的强调“可视化”，有的突出“高观点”……体现了鲜明的版本特色。例如，关于全概率公式，人教B版和湘教版教材给出了类似图1的直观意义，说明：已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i=1，2，…，n，且任意两种情形均互斥），事件B发生的可能性就是各种可能情形Ai发生的可能性与在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和；沪教版教材则凝练地指出：全概率公式是说一个事件发生的概率是其在不同条件下发生概率的加权平均。关于贝叶斯公式，人教A版教材在旁白中指出：贝叶斯公式用来描述两个条件概率之间的关系；沪教版教材借助旁白指出：贝叶斯公式诱导出一种统计学观点，也是哲学观点，即事件的概率可以根据出现的新信息进行修正。

（四） 例题与习题

例题与习题作为教材的重要组成部分，构成数学学习的训练系统，其选择、布局、数量、设计等都影响着数学学习。其中，习题包括小节后的“练习题”、大节后的“习题”和章末的“复习（参考）题”。

各版教材“全概率公式”内容的例题与习题数量见表2。由此可知：（1） 从数量来看，各版教材配置的例题数量差不多，都是3—4道（含1道应用贝叶斯公式的题目）；各版教材配置的习题数量不均衡，湘教版教材最多（16题），北师大版教材最少（5题）。（2） 从梯度来看，各版教材题目的设计富有层次性与发展性，体现了“以学生发展为本”“让不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念。例如，人教B版教材将“练习题”拆分为A和B两个层级，人教A版教材将“习题”和“复习参考题”都细分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层级。（3） 从难度来看，部分教材例题和习题的难度较大，更加贴近评价试题，体现了“教—学—评”一体化的原则，改变了教材题目和评价试题差距悬殊、教考分离的痹症。

此外，部分教材通过辅助性栏目介绍了贝叶斯公式在人工智能场景中的应用，帮助学生“长见识，悟道理”，体现了文化性、思想性。

三、 教学建议

教师要在研究教材的基础上教学，发挥自身的创造性，提升学情的针对性。基于上述教材比较，对“全概率公式”内容提出如下教学建议：

（一） 优化引入公式的问题情境

鉴于全概率公式、贝叶斯公式本身的抽象性，教师要通过丰富有趣又简单熟悉的问题情境，引导学生经历“具体实例分析→共性特征归纳→本质特征抽象”的完整过程，在具体背景的基础上建立抽象知识，并体会这一过程中蕴含的数学思想。这对学生能否真正理解公式，面对实际问题时能否正确选用公式起着关键作用。因此，建议教师在各版教材的基础上进一步精选背景素材，优化问题情境。例如，基于人教A版教材教学全概率公式之后，可以出示湘教版教材第120页的问题：“如图3，甲盒里有3个黄球、2个蓝球，乙盒里有4个黄球、1个蓝球。某人随机选择一个盒子并从中摸出一个黄球，若此人选择甲盒或乙盒的概率相等，求这个黄球来自甲盒的概率。”这一问题情境与之前引入全概率公式的问题情境一脉相承，都是摸球试验，难易适中，有一定的熟悉度，有利于通过与之前问题情境的对比，帮助学生理解全概率公式的“由因导果”思想与贝叶斯公式的“执果索因”思想，体会数学知识的系统性、一致性，促进对知识结构的整体把握。

（二） 提供解决问题的直观模型

鉴于全概率公式、贝叶斯公式应用的复杂性，教师在例题教学中要提供直观的模型，如树状图、列表、卡片实物以及随机模拟等，帮助学生理解题意、分析事件的意义和概率之间的关系，从而分割事件，求解概率，解决问题。例如，对人教A版例4的第（1）问求混合产品的次品率，可以使用如图4所示的结构图分析，使解题思路更清晰。

（三） 增加全概率公式的探究活动

新课标将“数学建模活动和数学探究活动”作为高中数学课程的四条主线之一。这条主线不仅能帮助学生更好地掌握知识技能，更能帮助学生积累数学活动经验，学会用数学的方式思考和实践，是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体。各版教材编写时也对这条主线的设计进行了积极的探索。例如，在与“全概率公式”有关的“概率与统计”章节中，人教A版教材设置了“探究与发现”专题，探讨“二项分布的性质”；人教B版教材通过“数学探究活动”栏目，让学生“了解高考选考科目是否与性别有关”；苏教版教材设置了“问题与探究”栏目，讨论“你的彩票被扔掉了吗”。但是，具体到“全概率公式”内容，教师在教学中还需要适当增加探究活动。例如，可以参考如下习题进行设计：

（苏教版高中数学选择性必修第二册习题8.1第12题）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色。现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色。假设这一面的颜色是红色，那么剩下的颜色也是红色的概率是多少？

考察下面的解法：随意从三张卡片中抽出一张，抽到任何一张都是等概率的。如果抽出的卡片有一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是12。

好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是12。所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是12。这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是12。