“于无数学处见数学”

摘 要：数学建模课《硬笔楷书的量化评价》，选取课题内容时，努力寻找“无数学处”，即关注人文艺术这个看起来离数学很远的领域，基于学生的数形结合基础，想到用数学研究画面（视觉）的艺术，从而激发学生的研究兴趣，培养学生用数学的眼光观察现实世界的能力；设计研究过程时，努力让学生“见数学”，即重点引导学生分析影响硬笔书法好坏的大小、结构、笔画等多级因素，确定量化各影响因素的长度、面积、角度及其比例（包括斜率）等多种方式，从而激发学生的研究潜能，培养学生用数学的思维思考现实世界的能力。

关键词：高中数学；数学建模；硬笔书法；数形结合

本文系江苏省扬州市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“多元思维驱动下高中数学建模活动的教学研究”（编号：2020/P/103）的阶段性研究成果。

由于没有规定的教学内容（教材也只提供了几个例子），作为高中数学课程一条主线的“数学建模活动与数学探究活动”^［1］，一直是教学的难点，甚至常常被忽视。在我校承办的一次省数学课程基地教研活动中，我们设计、实施（由薛尧老师执教）了一节题为“硬笔楷书的量化评价”的数学建模课，给听课教师留下了深刻印象。本文谈谈这节课的教前思考与教学实践，供大家参考。

一、教前思考

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展（课题可以由教师给定，也可由学生与教师协商确定）^［2］，具有多样性和灵活性^［3］；教师应通盘考虑、整体设计、分步实施^［4］，引导学生（个体或者小组）积极参与研究过程。本节数学建模课在选取课题内容和设计研究过程时，立足于“于无数学处见数学”的想法。

（一）选取课题内容：努力寻找“无数学处”

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题、用数学的方法构建模型解决问题的过程。^［5］在现代社会，数学的应用已渗透到日常生活和科学研究的各个领域。因此，教师在选取数学建模活动的课题时，要拓宽视野，用数学的眼光广泛地关注现实世界，从数学的视角在真实现象或情境中发现问题并提出问题。在此基础上，还要考虑学生的学习基础与收获，评估教学的可行性与有效性。

本节数学建模课，我们有意识地跳出日常生活和科学研究领域，而关注人文艺术这个看起来离数学很远的领域——“无数学处”。早在1987年，复旦大学李贤平教授就带领他的学生，用统计分析的方法研究了《红楼梦》前80回和后40回中虚词出现的次数，从而获得了《红楼梦》前后并非同一个人所写的结论。^［6］这是在用数学工具研究文学这种语言的艺术。苏教版高中数学教材中有《钢琴与指数曲线》的问题探究，有《G大调与正弦函数》的阅读材料，这些都是用数学工具研究音乐这种声音（听觉）的艺术。那么，能否用数学工具研究画面（视觉）的艺术？考虑到几何学研究的图形其实也是可视的“画面”，而学生在高中比较深入地学习了函数图像和解析几何的知识，有了很好的数形结合基础（比如，用函数的奇偶性研究图像整体的对称性，用函数的单调性以及导数或切线的斜率研究图像局部的增减性以及增减程度，用二元方程研究平面上的曲线，乃至用连续变量的函数拟合离散数据的关系等），我们觉得这完全是可行的。

在进一步考虑研究何种画面（视觉）的艺术时，我们首先排除了比较复杂的绘画，确定了稍微简单一些的书法；然后排除了学生缺乏经验基础的毛笔行书、隶书、草书等，确定了学生比较熟悉的硬笔楷书。相对而言，硬笔书法艺术成分比较简单，写的好坏容易量化，用数学建模的方法进行评价的可行性比较高，可以在学生学完高中数学中有关的数形结合内容后教学。这个选题将看似风马牛不相及的书法和数学联系在一起，可以很好地激发学生的研究兴趣，培养学生用数学的眼光观察现实世界的能力。

（二）设计研究过程：努力让学生“见数学”

数学建模活动重在过程的体验，而非结果的获取。确定课题后，教师要引导学生基于“分类”和“分步”思想，经历分析问题、建构模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型等研究过程，最终解决问题（完成课题）。特别是，现实问题的相关因素通常比较多，很难一下子考虑周全，因此，数学模型的建构很难一步到位，需要反复检验论证、不断改进完善，从而充分挖掘现实问题中的数学因子，将问题数学化。

确立“硬笔楷书的量化评价”这一课题后，首先可以引导学生分析硬笔书法好坏的影响因素，从而细化评价对象；其次可以引导学生确定各影响因素的量化方式，从而形成评价方法，初步建立数学模型；再次可以引导学生对范字做量化，从而获得评价标准，进一步建立数学模型；最后可以利用量化评价标准，评价硬笔书法作品，提出改进建议。在这一过程中，最难的就是分析影响因素和确定量化方式。它需要研究者具有一定的书法鉴赏力，又能够联想到恰当的数学工具。这是教师引导的重点：影响因素可能不止于一级指标（如大小、结构、笔画等），还有二级指标（如独体字或合体字、是否含有特殊笔画、偏旁部首是什么等），即需要对一级指标再次细分；量化方式除了比较简单的长度、面积、角度及其比例（包括斜率）等，还有比较复杂的函数（可以拟合）、导数等，故需要对书法作品及数学工具进行深入挖掘。这个过程便是“见数学”的体现，可以很好地激发学生的研究潜能，培养学生用数学的思维思考现实世界的能力。

当然，受制于学生的数学知识与能力基础以及课堂教学的时间，可以做必要的简化处理以及分段、分层处理。比如，课上重点引导学生统一研究几个影响因素，并利用简单的数学工具建模；课后“留白”，鼓励学生自由研究更多的影响因素，并利用复杂的数学工具建模。此外，根据学生的学习基础，作为评价标准的范字最好由教师给出。我们选择的是湖北美术出版社2019年出版的《通用规范汉字3500字：教学版楷书》中荆霄鹏的硬笔楷书。

二、教学过程

（一）创设情境，引入课题

师  （出示图1）我们学校今年将举行硬笔书法比赛，这是三位参赛同学的字，请大家说一说：哪位同学的字较好？好的原因又是什么？

生 第三个同学的字较好，大小适中；第一个同学的字偏大；第二个同学的字偏小。

师 很好！除了大小的区别，它们还有什么区别？

生 第二个同学的捺偏短，不够舒展；前两个同学斜钩的长度和弧度都不太恰当。

师 不错，笔画的长短、弧度有区别。还有吗？

（学生迟疑。）

本环节创设硬笔书法比赛的情境，提出评价硬笔书法好坏的问题。同时，让学生基于感性认识，比较三组硬笔书法作品的好坏，为后面理性地分析硬笔书法好坏的影响因素，确定其量化方式做好铺垫。

（二）分析影响因素，确定量化方式

师 在比赛中，我们需要确立一些评价细则，从而更客观、准确地比较不同作品的好坏。那么，可以从哪些方面评价，怎样评价呢？（出示表1）这是某次硬笔书法比赛的评价细则，从中我们可以得到什么启发，作出哪些改进？

（学生小组讨论。）

生 这个评价细则，主要是从大小、结构、笔画三个方面进行评价的。结合我们对之前展示的三位同学的字的比较，我觉得，从这三个方面进行评价是比较合理的。

生 是的，大小要适中，结构要合理，笔画要美观。但是，怎样才算适中、合理、美观？需要有更精确的量化标准。

师 很好！量化是这个评价细则最需要改进的地方。那么，如何将这三个方面量化呢？

生 中国字是方块字，它的大小就应该是框住它最外围的矩形框的面积。

生 我觉得，字的大小适中是相对于所在的格子而言的，我们应该计算框住字最外围的矩形框（或者说字的外接矩形）的面积与字所在格子的面积之比。

生 关于字的结构，我觉得可以考虑各部分大小的比例关系。当然，结构的种类比较多，有些不太好研究。但是，左右、上下这两种结构的字比较常见，也比较好研究，它们左右或上下两部分大小的比例关系应该合理。

生 笔画的长度和倾斜度等是可以测量，即可以量化的；而笔画的轻重，如悬针竖与垂露竖等，则较难测量。

师 很好，同学们找到了比较可行的量化方法！不过，这样量化的结果是关于字本身的，而字的好坏是比较出来的。所以，我们还需要找一些公认的好的字作为标准，用来确定量化结果的好坏。那么，标准在哪里？

生 可以选择硬笔书法家的字作为标准。

师 很好！老师帮你们选择了硬笔书法家荆霄鹏的硬笔楷书作为标准。

考虑到分析影响因素、确定量化方式对学生而言有一定的困难，本环节给出了一次硬笔书法比赛的评价细则作为学习支架，使学生获得启发、作出改进。这一过程中，学生感受到数学建模时，常常需要对复杂的现实问题做简化处理。比如，笔画的量化主要考虑长度和倾斜度，不考虑更复杂的弧度和角度，如斜钩的特定弧度、平捺的“一波三折”等。受到教学时间的限制，教师顺应学生的思考，不将问题复杂化，而让学生课后考虑更多的数学工具。

（三）采集范字数据，确定评价标准

教师将学生分为三大组，分别研究荆霄鹏硬笔楷书中字的大小、结构和笔画，采集有关数据，从而确定评价标准。

第一组学生采集了荆霄鹏硬笔楷书中字“面积占比”的数据（如图2所示），从中发现硬笔楷书大小的标准不是一成不变的，受到两个因素的影响：一是独体字还是合体字，独体字较小，合体字较大；二是是否含有长横、斜撇、斜捺、竖弯钩等特殊笔画，含有的字较大，不含有的字较小。进一步得到各类字大小数据的适中区间：一般独体字，0.12-0.18；含有特殊笔画的独体字，0.24-0.38；一般合体字，0.30-0.43；含有特殊笔画的合体字，0.39-0.45。

第二组学生采集了荆霄鹏硬笔楷书中左右和上下结构字“部首占比”的数据（部首宽度比格子宽度或部首高度比格子高度的数据，如图3所示），从中发现各个部首的占比都是比较稳定的，由此得到各个部首字结构数据的合理区间：提手旁，0.19±0.02；三点水，0.16±0.02；绞丝旁，0.22±0.02；木字旁，0.24±0.02；单人旁，0.21±0.02；双人旁，0.23±0.02；言字旁，0.19±0.02；女字旁，0.32±0.02；火字旁，0.27±0.02；竖心旁，0.18±0.02；左耳刀，0.15±0.02；石字旁，0.27±0.02；马字旁，0.24±0.02；宝盖头，0.17±0.02；草字头，0.21±0.02；雨字头，0.32±0.02；日字底，0.27±0.02；月字底，0.38±0.02；心字底，0.25±0.02；木字底，0.35±0.02；王字底，0.3±0.02；羽字底，0.35±0.02。

第三组学生主要采集了荆霄鹏硬笔楷书中横、竖、撇、捺、钩等笔画的长度占比、斜率等数据（如图4所示），从中得到各个笔画数据的美观区间：长横的长度占比，0.40-0.60；长竖的长度占比，0.45-0.55；长横的斜率，0.12-0.28；斜撇的斜率，1.8-2.2；竖撇的斜率，2.5-5；斜捺的斜率，（-0.5）-（-0.7）；平捺的斜率，（-0.15）-（-0.25）；斜钩的斜率，（-1.5）-（-2.7）。

采集范字数据、确定评价标准的活动以学生为主体展开。通过对作为标准的硬笔书法家的字的具体研究，学生会发现影响因素（评价维度）的二级指标，如字的大小受独体字或合体字、是否含有特殊笔画因素的影响，字的结构受到偏旁部首因素的影响。这能够让学生体会到数学建模不是一蹴而就的，需要反复提炼融合、不断改进完善。

（四）利用评价标准，评价书法作品

教师让三组学生分别研究课始出示的三位参赛同学字的大小、结构和笔画，采集有关数据，与刚刚确定的评价标准进行比较，作出更客观、准确的评价。