“用教材教”的四种视角

摘 要：教师备课的第一要义是仔细阅读教材，适当处理（加工）教材，从而创生教学内容，组织教学过程，促进学生有效学习。数学教学中，“用教材教”时，特别需要关注单元结构的重组、课时逻辑的重构、学习素材的改造、练习资源的调整。

关键词：初中数学；数学教材；用教材教

教材是依据课程标准编写，提供教师教学和学生学习的学科材料。但是，教材内容并不等同于教学内容，甚至也不能完全反映课程标准的要求。所以，教师备课的第一要义是仔细阅读教材，适当处理（加工）教材，从而创生教学内容，组织教学过程，促进学生有效学习。数学教学如何“用教材教”（从教材到教学）？笔者在实践中做了一些探索，本文与各位同行分享处理教材的四种视角。

一、重组单元结构

数学教材一般是分为一个个外部相对独立、内部紧密联系的单元来架构的。“用教材教”时，首先要利用整体的眼光和全局性思维，站在学科知识系统的高度，通读整本教材，俯瞰各个单元，结合知识之间的联系，把握学习状况，适当地重组以优化单元结构。其实，不同版本教材的单元结构往往都会呈现出一定的差异。比如，浙教版初中数学教材将实数内容的教学紧接着有理数内容的教学之后，引导学生较早完成实数内容的整体建构；人教版初中数学教材将实数内容的教学安排在有理数内容教学的一年后，充分考虑了学生的认知水平。通常，不同的单元结构各有优劣，教师可以根据自己的理解，结合学生学习、学校安排等实际情况，重组所使用教材的单元结构，特别是重组单元教学的课时安排。

【案例1】浙教版初中数学八年级下册《反比例函数》单元结构重组

与其他版本初中数学教材不同，浙教版初中数学教材在“一次函数”内容后，先安排“反比例函数”内容，再安排“二次函数”内容。浙教版初中数学教材中，《反比例函数》单元安排了6个课时（详见表1），从学科体系的角度完整呈现了反比例函数的课程内容。但事实上，由于反比例函数与一次函数具有密切的联系，作业和考试中关于函数的综合应用题层出不穷；同时，反比例函数具有优美的几何特性，使得它容易与很多几何图形面积计算产生联系，也导致作业和考试中出现较多的有关反比例函数的面积问题。此外，建立反比例函数模型解决问题的难点在于建模过程，但是教材中只安排了从一道简单的例题中析出建立模型解决问题的一般步骤，因此这个过程也需要加强。基于这样的思考，可以对本单元的课时安排进行适当的重组调整（详见表1）。这样，充分考虑学生的认知，将反比例函数的性质分为3个课时学习，同时渗透与一次函数的关系，既让学生理清研究函数性质的视角，又让新旧知识融会贯通。

二、重构课时逻辑

课时是教学的基本单位。数学教材在单元结构下，会大致划定并具体编写各个课时的教学内容。“用教材教”时，落到课时内容后，也要仔细分析知识点之间的联系和学生的认知过程，适当地重构以优化教学逻辑，从而帮助学生更自然地（比如从已知到未知、从简单到复杂、从感性到理性、由此及彼、由表及里等）展开探究学习，充分理解知识意义和结构，感悟学习方法和规律。

【案例2】浙教版初中数学八年级上册《等腰三角形性质定理（1）》课时逻辑重构

本课时的标题是“等腰三角形的性质定理”。教材编写时，先介绍等腰三角形的基本性质（等边对等角），后呈现两道例题：解答例1可以得到等边三角形的性质（每个内角都是60°），例2要求证明等腰三角形的一个特殊性质（两个底角的角平分线相等）。课后还配备了若干性质定理的巩固练习。可见，教材的编排顺序是，从等腰三角形切换到等边三角形，再从等边三角形切换到等腰三角形。这样，不利于学生形成特殊三角形的研究思路。因此，笔者重构了本课时的教学逻辑：如图1所示，从等腰三角形的定义出发，研究等腰三角形的性质，从整体到局部，从边到角再到例2的特殊线段；然后将等腰三角形特殊化，得到等边三角形，让学生类比等腰三角形的性质研究等边三角形的性质；同时，在每一种图形性质获得后穿插练习进行巩固。这种教学逻辑既体现了“几何教学要教类比”的理念，又让学生掌握了几何图形性质的研究方法。

三、改造学习素材

数学教材中，学习素材主要是指引导学生探索发现新知（比如概念、定理、公式、法则等陈述性知识以及方法、策略等程序性知识）的情境、问题、任务、例题等文本内容，以及帮助学生理解建构新知的解释说明性文本内容。受到篇幅和呈现形式的限制，教材中的学习素材通常不够丰富，而且是静态的、整体的结果性内容。因此，教师在教学时需要对其适当改造，基于素材的编写意图（作用和目的），根据实际情况，将其丰富化、动态呈现、逐步呈现等，引导学生在学习活动中增强学习体验，经历探究发现、交流提升的学习过程，从而充分理解知识的来龙去脉、含义、价值，感悟知识背后的思想方法，将知识内化为能够迁移运用的能力。

【案例3】浙教版初中八年级下册《平均数》一课学习素材改造

浙教版初中数学八年级下册《数据分析初步》单元分为3个课时，教学平均数、众数与中位数、方差与标准差等统计量。第一课时《平均数》主要内容是算术平均数的计算公式以及加权平均数。介绍算术平均数的计算公式前，为了让学生感受用样本估计总体，教材安排了一则合作学习的素材：

某果农种植的100棵苹果树即将收获。果品公司在付给果农定金前，需要估计这些苹果树的总产量。

（1）果农随机摘下20个苹果，称得总质量为4千克。这20个苹果的平均质量是多少千克？

（2）果农从100棵苹果树中随机选出10棵，数出每棵树上的苹果个数，得到以下数据（单位：个）：154，150，155，155，159，150，152，155，153，157。你能估计出平均每棵树的苹果个数吗？

（3）根据上述两个问题，你能估计出这100棵苹果树的总产量吗？

如果直接让学生根据这一素材进行合作学习，学生只是做两道习题，经历计算的过程，无法感受为什么要用样本估计总体以及怎样用样本估计总体。为了让学生经历用样本估计总体的过程，可以将教材中一并呈现的素材以问题链的形式渐次展开——

提问：（出示果园中硕果累累场景的图片）某果农种植的100棵苹果树即将收获，果品公司在付给果农定金前，需要对这些苹果树的总产量进行估计。为此，需要了解哪些数据？如何估计？

预设：苹果总产量=100×每棵树的苹果数量×每个苹果的质量。

追问：如何估计每棵苹果树的苹果数量？

预设：可以选择100棵中的10棵，计算这10棵苹果树苹果数量的平均数。

追问：如何估计每个苹果的质量？

预设：可以选择20个苹果，称一下总质量，求平均数。

提问：根据以上过程，你认为如何计算一组数据的平均数？

……

这里，首先提出“估计果园总产量”的现实问题；在学生提出总体解决方案“苹果总产量=100×每棵树的苹果数量×每个苹果的质量”的基础上，通过两个追问，让学生思考如何估计苹果数量和质量，从中感受用样本估计总体以及获取样本数据、计算平均数的必要性。由此便可自然地引出计算平均数的问题，给出平均数计算的符号表达，介绍算术平均数的概念、写法、读法。

四、调整练习资源

数学教材中的练习题，是编写者精心挑选的帮助学生巩固新知的重要资源。但由于教材使用的周期比较长，很多练习题无法及时更新。而实际上，练习题的设计非常灵活，变化非常丰富。同时，不同学校、班级、学生的学习情况也有很大的差异。因此，对于教材的练习资源，教师要适当进行丰富化和层次性的调整，既帮助学生学会举一反三、灵活运用新知，也给不同水平的学生提供更具有针对性的帮助。

【案例4】浙教版初中数学七年级上册《等式的基本性质》一课练习资源调整

本节课，教材提供了分层练习，主要是难度各异的运用等式的基本性质进行式子变形和解方程的习题，但是忽视了等式的基本性质中“相同的数或式”包括的“相等”的情况，也缺少具有一定综合性的拓展练习。这样，会让学生片面地认为“相同的数或式”仅仅是形式完全相同的情况，也不利于学生在更广阔的领域内体会等式基本性质的应用价值。因此，教师对教材提供的练习资源进行了调整，设计了基础、变式、拓展三组练习，帮助学生充分理解等式的基本性质，学会运用等式的基本性质。具体练习如下：

第1题和第2题是基础练习，分别是“已知等式和变化过程写结果”“已知等式和变化结果找过程”的问题，让学生明确等式基本性质1和等式基本性质2的具体作用，在具体问题中能够根据变形的目的合理选择等式的基本性质进行变形。其中，第2题还需要应用等式的传递性，可以帮助学生理解等式的基本性质中“相同的数与式”也包括“相等的数与式”，为学生以后理解“用加减消元法解二元一次方程组”“两边平方解根式方程”等奠定基础。因为是直接应用等式的基本性质，所以体现的是工具性理解^［1］。

第3题是变式练习，也是“已知等式和变化结果找过程”的问题，但是要找的过程比较长，需要多次、综合应用等式的基本性质，同时反映的解方程过程，为学生后续学习解方程预埋伏笔。因为过程比较长，并且从一个等量关系变成了一个未知量的值的形式，所以体现的是关系性理解^［2］。

第4题是拓展练习，改编自教材的例题“已知2x-5y=0，且y≠0，判断下列等式是否成立并说明理由。（1）2x=5y；（2）x/y=5/2”，本质上也是“已知等式和变化结果找过程”的问题。改编时，关键是赋予代数关系以几何模型，并且增加过渡变量，要求学生多次、综合应用等式的基本性质找到合适的代数关系，解决问题。因为跨越了学科领域，进行了情境包装，所以体现的是图式（结构）性理解^［3］。

参考文献：

［1］潘小梅.深刻解读文本，建构“前后一致，逻辑连贯”的教学［J］.中学数学教学参考，2014（35）：22-25.

［2］孙朝仁.“原型回归”：让复习教学实现“关系性理解”——以“三角形相似”为例［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2015（8）：49-52.

［3］丁益民.数学公式教学：促进深度理解的几个路径［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2018（12）：69-71.