高中数学试题的主题式命制

摘  要：在“教—学—评”一致性的视角下，主题教学需要相应的“主题式评价”，其重要方面和步骤即试题的“主题式命制”。以“差商”为例，说明高中数学试题主题式命制的步骤：首先是系统分析，包括分析主题内容在教材不同章节中的具体呈现及内在逻辑关系、外部知识关联，解读主题内容的本质和价值；其次是问题设计，即设计系列问题，力图揭示主题的本质，并建立与主题相关联的内容联系（知识结构）；最后可能还需要根据具体考试内容与形式方面的规范或习惯要求与导向，进行试题的加工。

关键词：高中数学；试题命制；主题式；差商；函数与导数

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本文系上海市教育科学研究项目“本原性问题驱动下高中数学主题教学设计与评价的实践研究”（编号：C2021043）的阶段性研究成果。

一、 从“主题教学”延伸到“主题式命题”

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称“课标”）倡导“在整体视角下，把握课程内容，进行教学设计，以促进数学核心素养发展”的理念，践行该理念的具体办法是开展主题、单元教学。［1］一般来说，主题教学与单元教学的含义一致，是相对课时教学而言的，即从关注一节课的教学到关注更大范围的教学。但是，使用“主题教学”一词时，往往更强调“跨章节”，即根据数学知识内在逻辑上的关联，围绕核心概念、重要命题（原理、定理、公式等）或思想方法，对散落于教材多个章节中的相关知识进行整合，构成跨章节的主题，课标附录中的案例36“函数单调性主题教学设计”就是一个典范。 ［2］

评价是连接“教”和“学”的桥梁，是促成“教”和“学”闭环的抓手，其重要方面和步骤是作为评价任务的试题的命制。在“教—学—评”一致性的视角下，主题教学需要相应的“主题式评价”，其重要方面和步骤即试题的“主题式命制”［3］：围绕某个教学主题（核心概念、重要命题或思想方法）设计系列问题，使得问题之间逻辑关联、环环相扣，能够揭示该主题中数学知识和方法的本质；系列问题由易到难、层次分明，既启迪学生思考的方向，又对学生思维的连贯性提出较高要求，具有很强的分层选拔功能。

随着课标的颁布和配套教材的使用，近年来关于高中数学主题（单元）教学的研究可谓如火如荼。然而，公开发表的研究成果绝大多数是以教材中的章节为主题（单元）的教学设计，鲜有涉猎跨章节主题的教学案例，与跨章节主题教学相对应的试题命制研究更是凤毛麟角。

结合主题教学的理论学习和实践经验，我们认识到，高中数学试题的主题式命制可以大致依循“确定主题—系统分析—问题设计—试题加工”的步骤。这里需要指出，因为主题的确定离不开其内容（系统）分析基础上的价值（作用）确认，所以第一步和第二步常常合并在一起考虑（进行）；第三步设计出的问题实际上就是能够考查学生知识（方法）和能力（素养）掌握和具备情况的“试题”，但是，因为正规考试（期中、期末等终结性考试，而非小测验）通常有考查内容覆盖面（不会限定内容主题）及题型、分值分布等命题技术性要求，所以命制正规考试题目时，常常需要第四步，即把第三步设计出的问题作为题胚，进行适当加工。此外，因为需要设计系列问题，所以一般以选择题（单选或多选）和解答题的形式呈现。

二、 高中数学试题主题式命制一例

下面以“差商”（两个量作差和作商，最常见的形式是fx1-fx2x1-x2）为例，谈一谈我们对高中数学试题主题式命制的探索。

（一） 系统分析：对教材中主题相关内容的深入解读

数学学科研究的水平决定着数学教育质量的高低。数学教学设计必须以数学学科研究为前提，否则容易流于表面形式，使得教学过程中仅有新颖的教育理念和炫酷的教学方法，却没有深刻的数学内涵。［4］主题教学对教师的数学学科研究能力提出了较高的要求，主要体现在对主题的系统分析上，包括分析主题内容在教材不同章节中的具体呈现及其内在逻辑关系、外部知识关联，解读主题内容的本质和价值。相应的“主题式命题”也是如此。换句话说，学科研究是其教学和评价的共同基础。

“差商”这个并不复杂的概念能够串联起数学课程中的众多知识。［5］在高中数学教材中，差商fx1-fx2x1-x2涉及函数（数列）、解析几何、导数等核心知识，函数的单调性、割线（切线）的斜率和函数的导数等在不同章节中出现的概念通过差商建立起本质性联系；进一步地，差商在比较大小、求最值（函数单调性）、研究三点共线（斜率相等）和函数的凹凸性等问题中也展示出丰富的应用价值。

理解差商的内涵（本质）主要从代数形式和几何意义两方面入手。从代数上看，根据差商的符号，可以判断函数fx的单调性；从几何上看，差商是函数f（x）图像上过两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））的割线的斜率，通过取极限，该割线的斜率转化为点（x1，f（x1））处切线的斜率，即函数fx在x=x1处的导数f′（x1）=limx2→x1f（x1）-f（x2）x1-x2。函数的凹凸性是导函数单调性的反映，自然也可以用差商来刻画：不妨设x1<x2<x3，则f（x1）-f（x2）x1-x2<f（x3）-f（x2）x3-x2恒成立说明（函数图像上任意两点连线的）斜率单调递增，即函数f（x）是下凸的。

在高等数学中，差商更是刻画函数的连续性、单调性和凹凸性等性质的重要工具。比如，差商有界（又称“李普希茨条件”），即f（x1）-f（x2）x1-x2≤L，是函数fx一致连续的充分条件，进而保证了fx的连续性。又如，高中数学教材（不加证明地）直接给出了利用导数的正负来判断函数单调性的结论，实际上这是借由微积分的核心命题——微分中值定理推导的结果。拉格朗日中值定理将割线斜率转化为切线斜率，将差商转化为导数，其内容是：如果函数fx在闭区间a，b上连续且在开区间a，b内可导，那么，至少存在一点ξ∈a，b，使得f′ξ=fa-fba-b。从几何上看，fa-fba-b表示曲线y=fx上两点Aa，fa、Bb，fb连线的斜率，f′ξ表示点ξ，fξ处切线的斜率，中值定理表明曲线y=fx上至少存在一条平行于弦AB的切线。

进一步看，中值定理根源于实数理论：根据极限理论（如函数极限、极限的保号性等）、连续函数的性质和导数的定义才能推导出罗尔定理（拉格朗日中值定理的特殊情形），进而证明中值定理。由于高中阶段并不学习实数理论和极限理论，因此，研究以中值定理为背景的问题，只能局限于具体函数（解析式）：一方面，直接求出导函数来判断函数的单调性；另一方面，默认函数的连续性并利用零点存在定理判断零点的情况。

近年来高考函数命题的最大热点——“极值点偏移”问题，本质上就是中值定理（罗尔定理）中的“中值点”ξ落在区间a，b的何处。其中，最有代表性的结论是不等式ea+b2<ea-eba-b<ea+eb2（记为①）。不等式①通常是通过式子变形、求导判断函数的单调性来证明的（过程省略），其几何意义则可以借助图形面积来解释，具体如下：

如图1，曲线y=ex上两点Da，ea、Eb，eb在x轴上的投影分别为A、B，点Fa+b2，ea+eb2与Ca+b2，0的连线交曲线y=ex于点Ta+b2，ea+b2，曲线在点T处的切线分别与AD、BE交于M、N。

梯形AMNB的面积S1=12（AM+BN）·AB=ea+b2·b-a，曲边梯形ADEB的面积S2=∫baexdx=eb-ea，梯形ADEB的面积S3=12AD+BE·AB=ea+eb2·b-a。由S1<S2<S3得ea+b2·b-a<eb-ea<ea+eb2·b-a，即得不等式①。

由拉格朗日中值定理，曲线y=ex至少存在一条切线，其斜率eξ等于差商ea-eba-b。不等式①则表明“中值点”ξ∈a+b2，b。在不等式①中，令ea=x1，eb=x2，即得等价的（对数平均）不等式x1x2<x1-x2lnx1-lnx2<x1+x22，即2x1+x2<lnx1-lnx2x1-x2<1x1x2（记为②）。

作为基本初等函数中的重要模型，指（对）数函数的性质是高中数学的核心内容。将指（对）数函数与多项式函数运算获得新函数并研究新函数的有关性质，是近些年高考命题中的常客。而上述不等式①②正是很多高考题的命题背景。

（二） 问题设计：揭示主题本质和构建内容联系的命题路径

基于对主题（内容）的系统分析命制试题时，设计系列问题的立足点是揭示主题的本质，并建立与主题相关联的内容联系（知识结构）。

设计差商主题的系列问题时，我们以拉格朗日中值定理为命题背景，以单个函数为研究对象，揭示差商fx1-fx2x1-x2的本质，刻画函数的单调性、凹凸性和割线（切线）的斜率；并以两个函数的关系为研究对象，通过两个差商的等量或不等关系，构建函数的最值与值域、奇偶性、单调性、零点（方程的解）等性质的知识结构。具体路径如下：

1. 立足代数视角变形差商，研究函数的单调性

“对任意x1、x2∈R，都有fx1-fx2x1-x2>0”是函数fx单调递增的等价定义，由此，函数y=fx-cx单调递增可以用差商fx1-fx2x1-x2>c来刻画。以“函数y=fx-cx单调递增”为背景设计问题，可以给出具体函数（含参数的解析式），根据单调性研究函数的最值或参数的取值范围；也可以针对抽象函数，比较两个量的大小或研究函数的零点。为了增加问题的思维量，还可以考虑（平移变换后的）函数y=fc+x-cx的性质，例如：

问题1：若对任意x1、x2∈R，都有fx1-fx2x1-x2>M（M是实常数），则称函数fx为“M函数”。

（1） 若fx=x3+x+c为“c函数”，求实数c的取值范围；

（2） 已知gx是“a函数”，且g0=-a2，求关于x的方程g（a+x）=ax解的个数。

2. 立足几何视角提炼差商，研究函数的凹凸性和“中值点”的位置

由拉格朗日中值定理的几何意义，可以发现“中值点”偏移的特征：对指（对）数函数而言，中值点偏移的代数表示就是上述不等式①②；而二次函数fx的“中值点”不偏移，即fx1-fx2x1-x2=f′x1+x22。

观察下凸函数的图像，还不难发现：下凸函数fx（导函数单调递增）在任意点x0处的割线斜率fx-fx0x-x0是单调递增的。这个结论可以利用中值定理证明：

不妨设x>x0（当x<x0时同理可证），记gx=fx-fx0x-x0，则g′x=f′xx-x0-［fx-fx0］x-x02=1x-x0·f′x-fx-fx0x-x0。由中值定理知，存在ξ∈x0，x，使得f′ξ=fx-fx0x-x0。由f′x单调递增知f′x>f′ξ，故g′x=f′x-f′ξx-x0>0，于是gx单调递增。

基于上述分析，可以选取符合要求的具体函数来设计问题，例如：

问题2：已知函数f（x）=x2-3x+2lnx。

（1） 求证：对任意正整数n，函数gx=fx-fnx-nx>n单调递增；

（2） 是否存在等差数列x1、x2、x3（x1<x2<x3），使得曲线y=f（x）在点（x2，f（x2））处的切线与过两点（x1，f（x1））、（x3，f（x3））的直线平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由。

3. 设计两个函数的差商相等，研究和（差）函数的零点

两个函数f（x）、g（x）对应的差商相等，即f（x1）-f（x2）x1-x2=g（x1）-g（x2）x1-x2，等价于fx1-gx1=fx2-gx2，即函数y=f（x）-g（x）的图像与某个常值函数的图像有两个不同的交点。类似的，函数y=f（x）+g（x）的图像与某个常值函数的图像有两个不同的交点，也可以用差商来刻画。由此，便可以选取（含参数的）具体函数来设计问题，例如：