融入数学文化的高中数学命题研究

摘  要：在近几年北京市朝阳区高中数学区域性检测试题的命制中，努力尝试融入数学文化。命制选择题和填空题时，从“传统文化”“现实生活”“数学历史”“现代数学”中广泛选择数学文化素材。命制解答题时，重点关注融入“现代数学”的新定义问题，根据“美和趣”“真和序”的分类斟酌选择数学文化素材。由此认识到：命制数学文化试题需要经历素材选取、试题命制和检测评价三个阶段；素材选取阶段是关键所在，需要遵循联系多样情境、重视数学史料、注重推广拓展等基本原则。

关键词：高中数学；数学文化；试题命制

*

本文系北京市朝阳区教育科学“十四五”规划2023年度拔尖创新人才培养专项课题“服务数学拔尖创新人才培养的高中数学创新思维拓展学习资源的开发和使用”（编号：2023ZX050）的阶段性研究成果。

在我国基础教育课程标准（教学大纲）性质的文件中，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课标”）首次界定了数学文化的概念：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”数学文化也是一种理性的文化，影响着人的品格健全和健康心理养成。［1］

近年来，融入数学文化成为高考数学命题的一个热点，尤其在课标颁布后更成为命题的一项原则。2017年，教育部考试中心明确提出，高考试题增加数学文化。随着《中国高考评价体系》的发布（2019年），数学科考试内容改革实施路径正式提出，数学文化也成为高考数学考查的其中一个学科素养。纵观众多精彩纷呈的数学文化试题，可以发现它们的取材十分丰富，涵盖数学史、数学家、数学成果、数学名著、数学名题、数学思想等数学的来源本真，也包含数学应用、数学建模等数学的价值体现。

近几年，我们在北京市朝阳区高中数学区域性检测试题的命制中，努力尝试融入数学文化。本文谈谈我们的实践体会与反思总结，希望能给读者一些启发。

一、 命题实践

（一） 选择题和填空题的命制

选择题和填空题对知识和方法的综合性要求不是很高，命制时选材可以比较灵活。虽然数学文化是一个比较宽泛的概念（所谓“文化是个筐，什么都往里装”），但是，根据课标给出的定义，数学文化显然包括数学的“外部与内部”“过去与当下”。将这两种分类交叉，我们认为，“外部过去”指向“传统文化”，“外部当下”指向“现实生活”， “内部过去”指向“数学历史”，“内部当下”指向“现代数学”。命制选择题和填空题时，我们根据这一“细分”，广泛选择数学文化素材。当然，这种“细分”并非完全的，也非严格意义上的“分划”（不同类之间的交集为空）；同一道试题可以从不同的角度分析。

1. 融入“传统文化”的试题命制

在实践中，基于自身的眼界，考虑教育的导向，我们聚焦中华优秀传统文化。中华优秀传统文化中，有许多内容与数学有关，如土地测量、天文历法、水利工程、营造技艺、军事、乐律等诸多方面都与数学有密切联系。这些内容可以作为试题情境，引导学生了解和关注中华优秀传统文化中的数学，坚定文化自信。比如，高考北京卷出现过朱载堉的“十二平均律”、《数书九章》中的“雨量器”、围棋的状态空间复杂度、传统建筑坡屋顶、“环权”等情境，高考全国卷出现过独孤信印信、《周易》中的重卦、《梦溪笔谈》中的会圆术、古代建筑中的举架结构等情境。

例1  （2019—2020学年北京市朝阳区高三二模第8题）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）。当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至。图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（  ）

A. asin53°2sin47°

B. atan26.5°tan73.5°tan47°

C. 2sin47°asin53°

D. asin26.5°sin73.5°sin47°

本题描述了成语“立竿见影”，融入了传统文化“二十四节气”。圭表是我国传统的天文仪器，古人根据它来定节气和历法，在《周髀算经》中已有记录。题目中的数据来自专业论文，配图参考中国数字科技馆科普资料，确保了试题的科学性、准确性，考查了数学阅读能力及数学建模素养。［2］ 2021年高考全国I理科卷第9题与本题类似，以《海岛算经》为背景，要求测算海岛的高度。

我们命制的融入“传统文化”的试题还有求天坛圜丘坛扇面形石块数的问题（2018—2019学年北京市朝阳区高三一模理科第13题）。同一情境后来也在2020年高考全国II理科卷中出现。

2. 融入“现实生活”的试题命制

数学在人类理解现实的进程中扮演了至关重要的角色。融入“现实生活”的试题关注数学在现实及其他众多学科和领域中的应用，通常以数学模型、公式的形式呈现，引导学生用数学的眼光观察世界。比如，高考北京卷出现过天文学中的“星等与亮度”、冬奥会场馆中的科技，全国卷出现过钢琴的和弦等。再如，在现代建筑艺术中，英国建筑师扎哈·哈迪德设计的曲线建筑风格别致，富有强烈的几何之美。她还设计了英国伦敦科学博物馆数学展厅（温顿展厅），激励人们去更多地了解实体方面的数学。2021年“八省联考”数学卷就曾以哈迪德设计的北京大兴国际机场为背景，考查了关于多面体的曲率问题。

例2  （2021—2022学年北京市朝阳区高三一模第8题）如图3，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合。如图4，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面。它的最小半径为16m，上口半径为17m，下口半径为28.5m，高为70m。在冷却塔的轴截面所在平面建立如图5所示的平面直角坐标系，设|OA|=16，|DC|=17，|EB|=28.5，|DE|=70，则双曲线的方程近似为（  ）

（参考数据：28.52162≈3.17，28.52172≈2.81，172162≈1.13）

A. x2162－y2382=1

B. x2162－y2482=1

C. x2172－y2382=1

D. x2172－y2482=1

本题以首钢冷却塔为背景，体现冬奥会元素；需要通过提取信息建立模型来得出双曲线的近似方程，考查数学建模、数学运算（近似运算）等素养。该素材在多版教材中作为例题或习题出现，学生比较熟悉。命制过程中最大的挑战是，寻找数据建立较为准确的模型。查询得到首钢冷却塔的两个基础数据（底面直径57米、高70米），还搜索到国家标准中冷却塔的塔型参数，同时参考不同版本教材中的数据，根据已有数据推算和调整计算出方程。选择实物图片时突出滑雪跳台和冷却塔两个场景，立体示意图与平面图使用GeoGebra软件绘制。作图后，把得到的曲线移到图片上方（如图6所示），发现拟合效果较好，反映出推算的数据比较合适。

我们还关注其他学科和领域，做了一些命题尝试。关注航空航天领域，以齐奥尔科夫斯基公式为模型，以长征五号B遥四运载火箭为情境，结合图表信息考查学生对公式中参数的认识（2022—2023学年北京市朝阳区高三期末考试第8题）。关注国防领域，以兰彻斯特战斗模型为情境，考查学生对新定义的理解和指对数运算，引导学生认识数学在国防中的重要作用（2022—2023学年北京市朝阳区高三一模第15题）。关注考古领域，以良渚古城遗址为情境，介绍碳14的衰变规律在考古测定年份中的应用（2019—2020学年北京市朝阳区高三期中考试第16题）。关注生物学，通过经典的草履虫种群模型，介绍在诸多领域出现的logistics函数模型，基于生物教材中的数据设计函数f（t）=3751+74e－0.08t（2020—2021学年北京市朝阳区高三二模第15题）。此外，还有关于悬链线与指数函数（2022—2023学年北京市朝阳区高三期中考试第10题）、声学与三角函数（2022—2023学年北京市朝阳区高三一模第8题）、纸张尺寸的国际标准与数列（2021—2022学年北京市朝阳区高三二模第8题）、口罩的颗粒物过滤效率与斜率（2019—2020学年北京市朝阳区高三二模第15题）等问题。许多真实模型来自微分方程（组）的解，为学生进一步学习高等数学做了铺垫和衔接。

3. 融入“数学历史”的试题命制

数学的历史与人类认识世界的历史一样漫长。数学史是数学文化的重要组成部分，储存着人类过去的经验，帮助我们了解数学发展的动机和源头，带给我们启发，促进数学理解。比如，高考北京卷出现过“割圆术”与阿尔·卡西计算圆周率的算法，引导学生感悟“近似计算”之美。其他很多地区的试卷中也出现过比较多的融入数学史的试题。［3］

例3  （2022—2023学年北京市朝阳区高二上学期期末考试第15题）数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D，它在平面直角坐标系xOy中的方程为x3+y3－3axy=0。当a=1时，给出下列四个结论：

① 曲线D不经过第三象限；

② 曲线D关于直线y=x轴对称；

③ 对任意k∈R，曲线D与直线y=－x+k一定有公共点；

④ 对任意k∈R，曲线D与直线y=k一定有公共点。

其中所有正确结论的序号是    。

本题的背景是笛卡儿于1638年得到的叶形线，体现了数学美。在数学史上，笛卡儿首次得到叶子形状的曲线——也有数学家认为这条曲线是茉莉花的样子，所以称其为茉莉花曲线。笛卡儿得到的著名曲线除了叶形线，还有对数螺线。［4］本题的命制重点是四个结论的设计。结合学生学习解析几何的经验，从不同角度设问：结论①关注范围，结论②关注对称性，结论③和结论④关注直线与曲线的位置关系。其中，结论③可以用二次方程的判别式判断，结论④隐含了奇数次多项式方程有至少一个零点的结论。本题在命制过程中特意没有给出图像，目的在于让学生学会解析几何的思维方式——“利用代数研究几何”。在讲评时，教师可以也应当绘制出图像（如图7所示），让学生更加直观地感受这条优美的曲线。

我们命制的融入数学史的试题还涉及清代数学家夏鸾翔《少广缒凿》中的开平方捷术（2023—2024学年北京市朝阳区高三期末考试第15题）、古希腊托勒密和希帕科斯分别得到的三角学弦表（2020—2021学年北京市朝阳区高三期中考试第15题、2023—2024学年北京市朝阳区高三期中考试第14题）［5］、莱因德纸草书（2019—2020学年北京市朝阳区高二上学期期末考试第15题）、欧拉研究过的“骑士巡游”问题（2018—2019学年北京市朝阳区高三期末考试理科第13题）［6］，等等。尽管试题的文字量有限，但是在命制过程中会尽量传递数学史知识，引导感兴趣的学生了解相关历史。

此外，还有以隐性方式融入数学史的试题。

例如，2021—2022学年北京市朝阳区高一下学期期末考试第9题要求y=|x|和y=2的图像围成的封闭平面图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积。

该几何体的体积是一个圆柱去掉一个双角锥（如图8所示），其体积等于以圆柱底面直径为直径的球的体积，体现了祖暅原理。