注重经验积累，加强反思教学

摘 要：2024年高考数学新课标Ⅰ卷第19题涉及的知识点相对较少，而思维含量颇高。其解题思路集中表现为数学活动经验的不断总结（归纳）和迁移（类比），具有较强的探究味。其命制具有题目背景公平、解题技巧弱化、素养考查全面、前后结构连贯等特点。从而，对数学教学的启示除了弱化技巧，注重发展学生的核心素养之外，更重要的是：注重经验积累，加强反思教学，从而提升学生探究学习知识、解决问题的能力。

关键词：数学教学；高考试题；核心素养；经验；反思

为了进一步推进高考综合改革，教育部考试中心于2024年1月推出了高考适应性测试卷。通过专家点评，数学卷明确传递出弱化知识与技能考查、增强思维过程与核心素养考查的命题导向。在调查的基础上，2024年高考数学全国卷发生了新变化：题量减少了，解答题考查内容的位置分布不再固化。其中，新课标Ⅰ卷第19题作为压轴题，涉及的知识点就相对较少，而思维含量颇高，尤其是第3问颇有难度，网上传出部分省市该题满分人数极少甚至为0。本题与日常教学的常规问题迥异，甚至有点儿竞赛题的味道，引起了部分一线教师的争议。本文拟客观分析本题的解题思路、命题特点，并对一线教学提出相应建议。

一、 解题思路探析

（2024年高考数学新课标Ⅰ卷第19题）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列。

（1） 写出所有的（i，j）（1≤i＜j≤6），使得数列a1，a2，…，a6是（i，j）可分数列；

（2） 当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）可分数列；

等差数列中的若干项成等差数列，它们对应的项数也成等差数列。因此，题干中的数列可直接视为1，2，…，4m+2。为了表述方便，下文对其进行图示说明。

第一问要求学生理解“（i，j）可分数列”这一新概念，对前6项找出全部的（i，j）。由于数列项数较少，学生经过尝试，不难得出如图1所示的答案。

在解决本问的过程中，学生加深了对（i，j）可分数列的认识，形成了对（i，j）可分数列的具体感知，同时可以收获经验①“掐头去尾，使得剩下的是连续的4项”。

第二问给出了明确的目标：数列是（2，13）可分数列。因此，学生可以直接考察数列删去2和13两项后能否折分成若干个4项的等差数列。由于题目给出了具体的范围m≥3，学生也不难先尝试研究m=3的情形，再推广到m≥4的情形。

在m=3的情况下，学生通过尝试，不难得到如图2所示的分组方法。

在这一过程中，学生可以收获经验②“从删去的项看，还可以删去首尾的第2项”和经验③“从剩余的项看，最后构成等差数列的还可以是间隔两项的项”。

当m≥4时，相对于m=3的情形，数列从第15项起一共多了连续的4（m-3）项。在这些项中，连续4项分为一组，正好形成m-3组等差数列，结论得证。

在这种情形下，学生可以获得经验④“在原数列（i，j）可分的情况下，后面增加4k项，仍（i，j）可分；类似地，前面增加4k项，则（i+4k，j+4k）可分”。

基于经验①和经验④，可以一般化得到第一种情形：对整个4m+2项中间连续的4l+2项“掐头去尾”，即去掉4k+1和4r+2（0≤k≤r≤m）两项，如图3所示。此时，去掉的项两侧和中间的项数均是4的倍数，故剩下的项可以分成m组，每组均是连续的4项（仍成等差数列）。因为大小顺序确定且可以相等，这里的k、r相当于在m+2（而非m+1）个数中任选2个数，所以个数为C2m+2。

对部分学生而言，直接算出个数为C2m+2有一定的难度。他们可以根据经验①和经验④，以（1，2）、（1，6）、（5，6）为基础，将i、j向后移动4k项（k≤m），得到如下页图4所示的结果，从而不难算出个数为1+2+…+（m+1）

根据经验②、经验③和经验④，学生可以想到（2，13）可能成为新一类可分数列的典型代表，从而推广得到：对整个4m+2项中间连续的4l+2项删去首尾的第2项，即去掉4k+2和4r+1（0≤k＜r≤m）两项，如图5所示。

但是，（2，13）只是中间连续的14项首尾的第2项，还需要进一步一般化。为此，可以考察（2，5）、（2，9）、（2，17）等，即中间连续的6项、10项、18项等首尾的第2项是否可分，从而寻找一般规律。

对前6项，根据经验①，（2，5）不可分。

对前10项，通过尝试，不难得到如图6所示的分组方法（每组是间隔一项的项），因此，（2，9）可分。

对前18项，通过尝试，不难发现第9—18项的情况和前10项的情况完全一样（都删去了首尾的第2项），可以按如图7所示的方法分组，因此，（2，17）可分。

对前22项，类似地，也可以发现在前14项（2，13）可分的情况下，第13—22项的情况和前10项的情况完全一样（都删去了首尾的第2项），可以按如图8所示的方法分组，因此，（2，21）可分。

由此，可以一般化得到：若（2，4k+1）可分，则（2，4k+9）也可分。又因为（2，9）可分，（2，13）可分，所以不难得到经验⑤“（2，4m+1）可分（m≥2）”。

可见，本题的解题思路可概括为图10。而且，本题的解题思路集中表现为数学活动经验的不断总结（归纳）与迁移（类比），具有较强的探究味。

二、 命题特点评析

（一） 题目背景公平

高考作为全国性的选拔性考试，关乎广大学生的前途命运，涉及千家万户的切身利益，因此，公平性成为高考题的首要属性。高考题的公平性常常体现在两个方面：题目背景本身的公平性、题目考查的知识与方法的公平性。

本题以等差数列为背景设计了一个纯数学问题，没有嵌入实际背景，属于数学情境研究（关注数学知识和方法在基础性、简单综合层面的考查）［1］，因而，本题不存在城乡、地区差异，背景公平。

本题属于新定义情境问题。过去，一些新定义情境问题喜欢涉及高次根的大小比较、零点定理和夹逼准则等高等数学知识。例如，2024年广东一模第19题直接将线性代数知识下放。这对没有经过高等数学训练的学生是不公平的，容易误导一线教师盲目提高学生的学习要求，布置大量“超纲”的学习任务，从而既增加了学生不必要的学习负担，也扰乱了国家课程标准的实施。而本题仅涉及等差数列的概念、性质和简单的概率计算等高中阶段学生必须掌握的基础知识——虽然也可以借助数论知识求解，但是并没有实质性影响，即数论知识并不能简化本题的解法。且本题求解未运用特定的技巧性方法，难度层次也很清晰：第一二两问，学生基于自主尝试应该可以求解；第三问确实颇有难度，但是第一二两问给出了较好的提示。作为压轴题，本题可以说，既保持了一定的区分度，又兼顾了不同水平学生的解答。总之，可以认为，本题在知识选择和难度设计上兼顾了不同层次、不同地区学生的差异与需求。

（二） 解题技巧弱化

数列作为高中数学的重要概念，既是数的拓展，又与函数关联：可将数列各项的值视为函数对应的值。加强数列与函数的联系无可厚非，但是部分教师习惯将数列与函数嫁接，借助导数等知识研究数列的最值等问题，显然就加重了学生的学习负担。例如：

（2019年高考数学江苏卷第20题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”。

（1） 已知等比数列{an}（n∈N*）满足：

a2a4=a3，a3-4a2+4a1=0，求证：数列an为“M数列”；

① 求数列bn的通项公式；

② 设m为正整数，若存在“M数列”cn（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值。

而本题涉及的知识较少、技能的要求也较低，更像是以数列为背景的思维训练题。对前两问，学生在理解可分数列概念的基础上，借助直觉、通过尝试可以得到解答；第三问虽然难度较大，但是整个解题过程贯彻着基于前面学习经验的猜想，运用了归纳、类比等数学思想，没用到什么特殊的数学解题技巧。这样的设置使得学生无须汲汲于掌握繁杂的解题技巧、追求过快的计算速度。

（三） 素养考查全面

高中阶段数学核心素养的主要表现是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。喻平教授在参考布鲁姆模型、PISA模型的基础上，将核心素养的各个主要表现都划分为理解、运用与创新3个水平。［2］参照这3个水平，俞梦飞、章飞研制了数学试题的数学核心素养评价框架：将数学抽象素养分解为理解抽象物、形成抽象物、抽象地思考三个表现（分别记为A1、A2、A3），将逻辑推理素养分解为合理推理、演绎推理两个表现（分别记为B1、B2），将数学建模素养分解为发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型三个表现（分别记为C1、C2、C3），将直观想象素养分解为空间想象、数形结合两个表现（分别记为D1、D2），将数学运算素养分解为理解算法、运用算法、设计算法三个表现（分别记为E1、E2、E3），将数据分析素养分解为数据处理、对数据的认识两个表现（分别记为F1、F2），再将分解后的各个表现都划分为3个水平。［3］

根据这一评价框架，对本题各个解题步骤（得分点）进行核心素养分析。比如，第二步“对特殊情况m=3进行讨论”，要求能够在去掉a2、a13这两项后，将剩余的12项分成3组（每组4项）等差数列，需要学生在理解可分数列概念的基础上进行探究，考查数学抽象的表现“理解抽象物”，考查水平为水平二，因此，记为A12；需要学生发现剩余的12项可以被分为3组公差均为3d的等差数列，考查逻辑推理的表现“合情推理”，考查水平为水平二（涉及多个数学对象），因此，记为B12。该步骤赋3分，其A12、B12可分别赋1分、2分。最终得到本题各个解题步骤考查的核心素养表现及其水平如下：第一步，A12、B11；第二步，A12、B12；第三步，A13、B23；第四步，A32、B23；第五步，A32、B12；第六步，A23、C23；第七步，C23；第八步，E22。

汇总可得，本题考查的数学核心素养及其分值、占比如下：数学抽象，4分、23.5%；逻辑推理，9分、52.9%；数学建模，3分、17.6%；数学运算，1分、5.9%。

可见，本题考查的数学核心素养较为全面，对学生合情推理和演绎推理的要求较高，符合本题所承担的选拔拔尖人才的定位；对学生的模型意识也提出特定的要求，体现了本题前后呼应的题目结构。此外，本题的素养水平设置也较为全面，符合压轴题的难度梯度要求，满足不同层次学生的能力发挥。

（四） 前后结构连贯

本题各问设计合理，层次清晰、相互启发，使得解题过程就是一个很典型的学习探索过程：学生在不断回顾先前问题解决经验的过程中深化理解，解决新的问题，发展数学思维。因此，这样的考题不仅考查了学生的能力，更在解决问题的过程中发展了学生的能力。这对日常教学具有很好的引导作用。

问题是数学的心脏，它基于学生已有的知识和经验生成，又在解决的过程中产生新的知识和经验。这意味着数学学习离不开经验：始于经验，回归经验。具体来说，在学习过程中，学生顿悟和转化已有经验，经过具体经验、反思性观察、抽象概括和主动实践四个阶段，解决问题并生成新的经验。［4］

解本题时，学生基于等差数列概念的学习经验，经过前两问的具体尝试，形成寻找（i，j）和数列分组的直接经验，帮助理解题意；通过观察与反思，总结并概括直接经验，转化成经验①②③④，为解第三问做铺垫；基于概率公式的学习经验和新的解题经验①④，一般化得到第一种情形并完成计数；同理，基于概率公式的学习经验和新的解题经验②③④，通过一般化探索，顿悟或推理出经验⑤，进而得到第二种情形并完成计数。可见，每一问的解决都经历了“回顾经验（包括以前的学习经验和本题的解题经验）—反思总结经验—生成新的经验—应用新的经验”的过程。这样的设置有利于激发学生自主探究的意识，提高学生知识迁移的能力。