突出数学本质，培养数学思维

摘 要：2024年高考数学新课标Ⅰ卷第18题突出地考查了函数性质的大致研究框架（尤其是对称性、单调性）、函数问题的基本思考路径（尤其是数形结合、导数方法与变形意识）。这提示我们，数学教学应该：突出数学本质，充分挖掘概念、原理蕴含的数学思想方法，深刻理解数学知识的内在联系；培养数学思维，引导学生由此及彼、由少到多、从分解到组合、从特殊到一般地进行延伸思考。

关键词：数学教学；高考试题；数学本质；数学思维；函数

2024年高考数学新课标Ⅰ卷紧扣关键知识、结合核心素养科学设计试题，充分考查数学本质和数学思维。其中主要考查函数主线知识的解答题（第18题），更是体现了这一点。本文先解析2024年高考数学新课标Ⅰ卷第18题，看它如何考查数学本质和数学思维，再进一步谈一谈教学启示，思考教师如何在教学中突出数学本质，培养数学思维。

一、 试题解析

（1） 若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2） 证明：曲线y=f（x）是中心对称图形；

（3） 若f（x）＞-2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围。

本题题干所给函数比较复杂：是对数函数和三次函数的结合，且含有两个参数。但是第一问比较简单：在参数b=0的情况下，函数变成对数函数和一次函数的结合；所给的性质（限制条件）是关于导函数的不等式，而导函数是分式函数，且很容易分离参数a。具体解法如下：

第二问乍一看有难度，因为不知道对称中心。但是，注意到定义域为（0，2），则可知对称中心的横坐标为1。由此，可以设出关于中心对称的两点的横坐标，表示出这两点的纵坐标，看它们的和是否为常数。具体解法如下：

设x∈（0，2），则2-x∈（0，2），且2-x与x关于1对称。

前两问虽然不难，但是，反映了函数性质的大致研究框架，即先关注整体性质，如奇偶性（乃至一般的对称性）、周期性、整体值域等，以便简化研究过程，再关注局部性质，如单调性、局部取值范围等，从而全面、深入地认识函数；也反映了函数问题的基本思考路径，即定义域优先，再使用精确的数学语言（解析式）表达相关问题，必要时可以借助图像探索思路，借助导数精微分析。

当然，这两问因为比较简单，所以还不涉及单调性和局部取值范围等，还不需要借助图像和导数——这正是较为复杂的第三问涉及和需要的。

面对第三问的已知和所求，容易想到：如果参数a的值确定，那么求参数b的取值范围就会容易许多；根据“函数值大于-2在且只在右边半个定义域上成立”这一条件，结合上一问得到的中心对称性，不难得到“函数值小于-2在且只在左边半个定义域上成立”，由此可以作出函数草图，再结合函数的连续性，便不难得到对称中心的纵坐标a=-2。较为严密的推理需要用到零点存在定理，具体如下：

令g（x）=f（x）+2，依题意，g（x）＞0当且仅当1＜x＜2，所以g（1）≤0。

如果g（1）＜0，在（1，2）上任取x1，因为g（x1）＞0，同时g（x）的图像连续，所以，存在x0∈（1，x1），使得g（x0）=0，与题意矛盾。

所以g（1）=0，即f（1）=-2，即a=-2。

这时，结合函数草图直观分析，还可以发现f（x）在x=1的附近（实际上是邻域）必须单调增，从而f′（x）在x=1的附近必须大于等于0。

以上过程看似繁复，但是思考结合图像，是直观的。学生要具有直观想象和数学抽象的能力，从数学本质出发，用数学语言正确地将题意转译出来，从而解决问题——当然，严谨的推理需要进一步打磨。

不过，无论如何，以上过程还是繁复了点，因为求到了四阶导数。很多学生可能在这一过程中信心不足，导致放弃。其实，如果有较强的目标意识，认识到多次求导是为了判断f′（x）与0的大小关系，找到使f′（x）≥0的b的取值范围，再结合f′（1）=0的事实，就可以想到对f′（x）的表达式进行因式分解，从中提取出因式（x-1）的若干次方，进而对剩余的因式（含参数b）进行符号判断——

可见，虽然导数是精微分析函数性质的强大工具——甚至可以和十进位值制记数法、方程、解析几何并称中小学数学课程中四大“好的数学”（陈省身语），但是，利用导数研究函数性质时，不能一味地求导下去，还要注意观察代数结构，适当进行式子变形，从而实现“多想少算”——这很考验对代数结构的洞察力、式子变形的基本功，也和解析几何方法不能完全代替纯几何方法、方程方法不能完全代替算术方法是一个道理。

二、 教学启示

（一） 突出数学本质

上述试题突出地考查了函数性质的大致研究框架（尤其是对称性、单调性）、函数问题的基本思考路径（尤其是数形结合、导数方法与变形意识）。这就提示我们，数学教学应该突出数学本质，充分挖掘概念、原理蕴含的数学思想方法，深刻理解数学知识的内在联系，形成“从基本概念、原理出发思考问题”“利用通性通法解决问题”“构建学科知识框架和系统”的习惯。［1］

为此，教师首先要钻研教材，厘清每一个知识点的来龙去脉，挖掘相应的例题和习题中蕴含的数学思想和方法。比如，函数概念在初中是用运动变化的观点来描述的，而在高中是用集合映射的观点来定义的，其核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。教师可以通过实际例子进行抽象，并在建立概念后设置不同的问题引导学生加以辨析，正确理解对应法则f的内涵。

其次，要明确知识点之间的内在联系，构建完整的数学知识体系。比如，函数、方程和不等式之间存在着紧密的联系，教师要引导学生发现这些联系，从而更好地理解数学的整体性。进而，要以知识结构为框架，进行知识的迁移和拓展。当学生掌握了一定的知识结构后，他们就能更容易地理解新知识，并将其纳入已有的知识结构中，达成深刻理解。

再次，不要突出所谓的“技巧”，而要引导学生掌握解决一类问题的通法，因为这些方法中蕴含着朴素的数学思想，有助于理解数学本质，形成处理问题的基本想法。比如，面对上述试题，如果学生形成函数问题的基本思考路径，首先关注定义域，就不难猜想对称中心的横坐标为1；如果学生具备代数结构的洞察能力和式子变形的基本意识，就不必求四阶导数。笔者认为，这些能力和意识的形成，需要学生反复经历反思自悟、提炼升华的过程，这就要求教师适当放慢教学的节奏，多一些试错和纠错。

（二） 培养数学思维

上述试题对函数性质大致研究框架和函数问题基本思考路径的考查也提示我们，数学教学应该以核心素养为导向，培养学生的数学思维，帮助学生学会“像数学家一样思考”。为此，教师要引导学生由此及彼、由少到多、从分解到组合、从特殊到一般地进行延伸思考，从而建立结构化、更全面、更深刻的认识。比如，对上述试题，笔者在教学中尝试从三方面引导学生展开思考：

函数是奇函数。

再看函数y=ax+b（x-1）3，它是一个三次多项式函数，将它写成y=b（x-1）3+a（x-1）+a，很容易发现它的图像关于点（1，a）中心对称。于是，叠加可得函数f（x）的图像关于点（1，a）的中心对称。

第二，类比研究寻联系。对第三问，结合两个解法，联系近年高考真题，让学生比较其中的异同，归纳解决此类问题的一般路径。

第三，深度思考探本质。导数是定量研究函数精微性质的一大利器。学习导数离不开定量研究函数的局部性质。结合以上几个问题，可以帮助学生充分地感受到利用导数研究函数在特殊点附近性质的一般方法：计算函数和导数在特殊点处的值，再结合函数图像，明确函数在其邻域（有时只考虑左邻域或右邻域）上的单调性，确定导数的符号；如果导数为0，则进一步求高阶导数，结合n+1阶导数研究n阶导数图像，逐步探寻命题成立的限制条件，获得初步的猜想，再沿着猜想的方向展开论证，直至最终解决问题。

总之，当前科学技术迅猛发展，愈加要求我们突出数学本质、培养数学思维，真正实现数学的育人价值。

参考文献：

［1］ 教育部教育考试院．优化试卷结构设计 突出思维能力考查——2024年高考数学全国卷试题评析［J］．中国考试，2024（7）：7985．