从整体的角度理解中学数学教学内容

摘 要：促进学生对数学的整体理解是中学数学教学的重要目标之一。整体理解中学数学教学内容主要包括知识、思维和方法三个层面。以“章”为单位来看，以不同的知识为载体教的应该是同一种数学思维或同一种学科观点。每个知识领域处理问题的数学思维具有共同特征，从而就具有了思维活动的整体性。解决数学问题时要运用一般方法对研究对象进行研究，在得出性质或关系后，演绎出解决具体问题的具体方法，这就是“方法层面”的整体理解。

关键词：中学数学；教学内容；整体性；数学本质；数学思维

基于数学的整体理解开展数学教学，是新课程改革的重要理念。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“教学建议”中指出：“在教学中，要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”^［1］《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在“教学建议”中指出：“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展。”^［2］可见，不同学段的数学课程标准对教学内容的整体性都给予了高度的关注，并在教学建议中提出了明确的要求，揭示出做好数学教学工作的深刻道理。这对数学教学研究和实践有着现实的指导意义。

从数学学习的角度看，学生在不同的阶段获得的知识往往是局部的，只有在整体中才能看清局部知识的意义和作用，以及局部知识与其他知识的区别和联系。各个局部知识按照某种观点和方法组织成整体，才便于存储、提取和应用。因此，促进学生对数学的整体理解是中学数学教学的重要目标之一。

整体理解中学数学教学内容具体包括什么呢？我们只有了解整体理解的内涵，才能在数学教学中实施这一重要理念。结合数学教学的实践与思考，我认为整体理解中学数学教学内容主要包括以下三个方面：

一、 知识层面的整体理解

知识层面的整体理解可以小到一节课的知识，大到一章或几章的知识、一个学段的知识甚至跨学段的知识。以“章”的知识为例：从“章”的角度理解知识、把握知识是研究教学的切入点，也是提高教师专业能力的落脚点。从表面上看，课是一节一节上的，每节课教授的知识也是不同的。但是，如果以“章”为单位来看，则不同的知识讲的应该是同一件事情；从教学的角度看，以不同的知识为载体教的也应该是同一种数学思维或同一种学科观点。

例如七年级《有理数》这一章，表面上看，概念多、运算法则多。学生学习时首先要面对的是正数和负数、相反数、绝对值等几个非常重要的数学概念，为什么要学习这些概念呢？教学中，教师可以启发学生思考：表示有理数a的点A在数轴上是怎样确定的？这个问题本质上是点与直线位置关系的确定问题。点A在数轴上首先要有位置，位置在哪里呢？数轴上的原点O把数轴分成了三部分，除了原点O以外，还有数轴上原点O的左侧部分和右侧部分，这就是原点O在数轴上划分的位置。点A是和原点O重合，还是在数轴上原点O的哪一侧？为此，首先需要知道点A表示的数a如果不是零，其符号是什么？其次需要确定点A在数轴上的位置，这个确定是相对于原点O的（要么与原点O重合，要么与原点O的距离是确定的），这就对应着点A表示的数a的绝对值大小。

之后，在“有理数的运算”教学中，针对运算法则多，含义不易理解的难点，教师要注意引导学生把理解有理数概念的思维活动应用于运算的学习中。比如有理数的加法法则，从形式上看，叙述复杂、不好理解，但实际上，说的无非是两个加数的和的确定问题：一是符号，二是绝对值。同样，有理数的乘法法则、乘方法则，讲的都是如何从符号和绝对值这两个方面去确定积、确定幂。

如此看来，《有理数》全章都是围绕一个问题展开的，即无论是研究一个有理数，还是两个有理数的各种运算（运算结果还是一个有理数），都是通过符号、绝对值来确定的。不难看出，“确定一个有理数，一是符号，二是绝对值”这个观点是《有理数》全章知识的灵魂，是最本质的。如果学生能够抓住这个本质，就可以提纲挈领地把握各部分知识，把《有理数》这一章的知识按照一定的顺序组织起来形成一个整体，从而对数学知识的认识得到进一步深化。

再如，八年级《整式的乘法与因式分解》这一章的教学如何体现知识的整体性？如果对整式乘法中的“平方差公式”和“完全平方公式”，都先给学生几个特殊的“多乘多”例子［如（x+1）（x-1）=    ，（x+1）（x+1）=    ］，让学生计算结果，再归纳得出相应的公式，就看不到公式之间内在的逻辑关系了，机械记忆、熟练应用公式就成为学习这部分知识的主要思维活动了。同样地，如果因式分解中的“公式法”就是把整式乘法中的“平方差公式”或“完全平方公式”倒过来运用，则本质上就是在套用公式，谈不上有什么数学思维，更看不到知识之间内在的逻辑关系。实际上，“整式乘法与因式分解”的整体性体现在等式（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq（以下记作公式*）上。对这个代数结构的理解，可以有不同的方向：从左往右看，是多项式乘多项式转化为单项式与多项式相乘，得到几个单项式的和，或者说得到一个多项式，这个方向的变形引发的数学思维活动聚焦在运算上；从右往左看，是几个单项式的和，也就是一个多项式变形为几个整式的乘积，即所谓的因式分解，这个方向的变形引发的数学思维活动聚焦在对多项式代数特征的分析上。

先看“乘法公式”，多项式与多项式相乘方向的公式*是单元知识整体性的核心所在。平方差公式、完全平方公式是特殊的多项式与多项式相乘，因此，从具有一般性的多项式与多项式相乘的公式*来引出平方差公式、完全平方公式更自然，更符合数学知识发生发展的逻辑。要通过对公式*右端的四个单项式的分析，向学生提出“能不能由4个单项式变成3个或2个”的问题，进而启发学生找到p、q与a、b之间的特殊关系，从而得到平方差公式、完全平方公式。

再看“因式分解”，按照以往的教学要求，至少需要2个课时，分别教学“提公因式法”和“公式法”。但是，如果从整体的角度理解这部分教学内容，就会发现所谓的“公式法”本质上就是“提公因式法”，就可以在第1课时通过分析公式*右端的代数特征，将数学思维活动聚焦到研究多项式ap+aq+bp+bq上。比如，对于多项式a2-b2，尽管是两个数的平方差的形式，但是不要让学生套用刚学过的平方差公式，而要把学生的思维活动引导到分析这个多项式的代数特征上：由于构成这个多项式的两个单项式没有公因式，可不可以添加一项使得它与原多项式中的二项都有关系呢？那么，添加的这一个单项式具有什么特征？添加之后如何保证多项式没有改变？从而得到：a2-b2=a2+ab-ab-b2=a（a+b）-b（a+b）=（a+b）（a-b）。同样地，有：a2+2ab+b2=a2+ab+ab+b2=a（a+b）+b（a+b）=（a+b）2。

又如，高中《三角函数》这一章的公式比较多，这些公式是否具有整体性呢？实际上，“用数学的符号语言来刻画三角函数的性质”这一点与所有函数性质的研究方式是一致的，使得有关公式具有整体性。

如果是针对一个角的三角函数，角的终边对应的是同角三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数关系就是刻画这三个函数之间的代数关系的。

诱导公式看似公式，本质上是刻画两个角的三角函数之间关系的，是三角函数性质的代数表达。只不过这里的两个角的终边具有特殊的几何位置关系，如α和-α的终边关于x轴对称，α和π-α的终边关于y轴对称，α和π+α的终边关于原点对称，等等。

三角恒等变换看上去有很多公式，但是，这些公式的逻辑起点都是两角差的余弦公式。这个公式类似诱导公式，是以两个角为研究对象的。只不过这里的两个角不是具有某种特殊几何位置关系的两个角：两个角的顶点仍然是坐标原点，始边还是x轴的正半轴，但是，两条终边的位置是任意的。因此，我们看到的不仅是两个角，还有这两个角的终边所夹的角——这个角的顶点没有变，还是坐标原点，但是它的始边不是x轴的正半轴，而是原来两个角的终边中的一条，它的终边则是另一条。

可以看出：同角三角函数关系、诱导公式、三角恒等变换都是三角函数性质的代数特征的刻画，是数学的符号语言（其中最具有一般性的三角恒等变换的逻辑起点——两角差的余弦公式，作为三角函数的基本性质，正是高等数学中三角函数的抽象定义^［3］）。这些性质的几何特征是与自变量对应的角终边的位置关系及单位圆几何性质的体现，本质上就是三角函数各种公式的整体性表达。

还如高中的“集合”知识，无论是集合的含义，还是两个集合之间的关系、运算，都是通过研究元素与集合的关系，即“属于（∈）”或“不属于（）”得到的。这就为《集合》一章教学的整体性提供了载体，即从元素与集合关系的角度把握并运用这种符号语言。通过对集合的这种理解，让学生体会集合的内涵，掌握集合这种符号语言背后所具有的共性思维方法。

而上述思维活动在初中“不等式”的学习中也是存在的。比如，判断数a与不等式x＞2解集之间的关系，就是要确定a与2的大小关系，也就是：如果a≤2，则a不属于x＞2的解集；如果a＞2，则a属于x＞2的解集。如果是x＞2的解集与x＜3的解集之间关系的分析，就要判断x＞2的解集与3的关系以及x＜3的解集与2的关系。可以看出，上述思维活动本质上就是对元素与集合关系问题的分析。

因此，无论是初中的“不等式”知识，还是高中的“集合”知识，从思维方法的角度看，是不是从中可以体会到跨学段的数学知识所具有的整体性了呢？

二、 思维层面的整体理解

在中学阶段，学生所要学习的数学知识大致可以分为代数、几何和概率统计三个领域，不同领域处理问题的数学思维是不同的。代数领域以符号语言为主要研究对象，所承载的是以抽象为特征的代数思维；几何领域以图形语言为主要研究对象，所承载的是以直观为特征的几何思维；概率统计领域以数据为主要研究对象，所承载的是以从随机性中寻找规律性为特征的概率统计思维。尽管每个领域的数学知识是丰富多彩、形式各异的，但是，由于每个领域的研究对象具有共性，因此，每个领域处理问题的数学思维具有共同特征，从而就具有了思维活动的整体性。

在代数领域，因为处理代数（包括函数，下同）问题的思维载体主要是符号语言，所以处理代数问题的思维特征是抽象，其承载的整体性体现在两个方面。一是抽象的核心地位。抽象是代数这门学科的特点，抽象能力是学生数学思维的核心能力，让学生经历数学的抽象过程是最有价值的思维活动。代数领域的教学设计中，教师要时常提醒自己：这节课有没有抽象的数学思维活动？二是直观的从属地位。抽象不排斥直观，是借助直观来理解抽象，而不是利用直观来替代抽象。教学设计中，教师要明确：直观是在代数抽象后的数学思维活动，在处理代数问题的思维活动中是服务于抽象的。

以函数的单调递增性质为例，这个性质的直观描述为“在区间D内，函数f（x）的自变量x越来越大，其因变量y也越来越大”。为了能用符号语言表达这段文字描述，要先借助函数的图像进行直观的分析：

函数f（x）的图像是动点P（x，y）运动形成的轨迹，动点P（x，y）的横坐标x是函数f（x）的自变量，纵坐标y是函数f（x）的因变量。结合函数图像，可以直观地看到f（x）在区间D内的这段轨迹的变化趋势是向上的，也就是动点P（x，y）从左至右是向上运动的，点P（x，y）的横坐标x越来越大，纵坐标y也越来越大。但这只是对函数图像几何特征的定性描述，还无法抽象成函数的代数性质。为了能用代数的方法刻画这个变化趋势，要通过轨迹上的两个几何元素表达其几何特征，以便能将它们的几何位置关系转化为相应的数量关系，最终实现数学符号化。为此，就要将函数f（x）图像上的一个动点P（x，y）转化为其上的任意两个点，这样的两个点的几何特征是通过其在函数图像上的相对位置来体现的，也就是点Q（x2，y2）在点P（x1，y1）的上方。正是由于在区间D内趋势向上的函数图像上的任意两个点P（x1，y1）和Q（x2，y2）有这种“上下”的相互位置关系的几何特征，对应的代数形式就可以表达为：对任意的两个自变量x1和x2，当x1＜x2时，有y1＜y2。