数学课堂提问的基本策略

摘 要：教师要善于把教学内容变成具有潜在意义的问题，使学生更加充分地参与到学习活动中。就数学教学而言，广义的问题包括例题和习题，贯穿于课堂教学的全过程。教师要注意创设有情境背景的核心问题，驱动学生探究新知；设计系列性的变式问题，引导学生把握本质；设计不同样例的分层问题，帮助学生学会应用。

关键词：高中数学；教师提问；情境问题；变式问题；分层问题

“善教者必善问。”为了更好地突出学生的主体地位，教师要善于提出问题，引导学生积极思考和探究，主动建构和发现，从而在解决问题的过程中获取知识、形成能力——而不是一味地讲授，让学生被动地接受。也就是说，教师要善于把教学内容变成具有潜在意义（广义）的问题，使学生更加充分地参与到学习活动中——最好还能有所表现，从而让教师在更加精准的评价基础上展开更有针对性的教学。这样才能让教学“活”起来、更有效。

那么，在数学教学中，教师提出问题要注意些什么？就数学教学而言，广义的问题包括例题和习题，贯穿于课堂教学的全过程。下面，以《等比数列的前n项和》新授课为例，谈一谈几个基本的教学环节中可以提出怎样的问题，来帮助学生有效学习。

一、 有情境背景的核心问题，驱动学生探究新知

数学新知教学，首先（也是关键）要提出问题，驱动（引导）学生探究发现（思考建构）新知。这样的问题可以是一系列问题，但是一般来说，有一个核心的驱动性问题，其他是引导性追问。那么，提出这样的问题（尤其是核心问题）要注意什么呢？最好有一定的情境背景，以体现知识产生的必要性（价值），并激发学生学习的求知欲（兴趣）。这样的情境背景虽然也可以是纯数学的，但是最好是与现实生活或虚构故事（尤其是热门的、经典的）相关的，从而让抽象、枯燥的数学变得具象、生动一些。同时要贴近学生的“最近发展区”，即在学生已有认知水平的基础上具有一定的挑战性和启发性，能引发认知冲突和指引探究方向——后者有时不是核心问题的功能，而是连续、递进的追问的功能。

《等比数列的前n项和》新授课，笔者创设了这样的情境问题：“话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO。可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙。悟空一口答应：‘行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件：作为回报，投资的第一天你必须返还我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍。’八戒听了，心里打起了小算盘：‘第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万；第三天：支出4元，收入100万元……哇，发财了！’心里越想越美，但再看悟空的表情，心里又嘀咕了：‘这猴子老是欺负我，这次会不会又在耍我？’八戒能接受悟空的投资条件吗？”

这里，借助家喻户晓的《西游记》故事人物和社会热点的金融投资事件创设情境背景，引出求等比数列前n项和的核心问题，不仅体现了知识产生的必要性（价值），而且激发了学生学习的求知欲（兴趣）。同时，引出的核心问题有一定的挑战性，而这个情境背景有一定的启发性：2为公比的具体数列能启发学生发现错位相减法。教学中，教师可以通过引导性追问，让学生发现：对第2到n项的和（n≥2）提取公比q，即得前n-1项和，然后，利用Sn与Sn-1的递推关系，可得Sn的关于a1、an+1、q的表达式。符号表达为：Sn=a1+a1q+a1q²+…+a1q^n-1=a1+q（a1+a1q+a1q²+…+a1q^n-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）Sn=a1-an+11-q。进而，可以引导学生发现，这一推导方法的关键步骤是将Sn乘q，从而相减消去“中间项”（第2至n项）。由此，可以引出错位相减法。

二、 系列性的变式问题，引导学生把握本质

数学是一门精确、严谨的学科，而且具有很强的一般性和深刻性。数学知识有着精确的内涵本质和广泛的运用变化，难以一步到位地理解、掌握。学生发现（建构）数学新知后，教师要注意设计一系列变式问题，由是（正确）到非（错误）、由浅（特殊）入深（一般），帮助学生在不同运用的比较中，逐步把握数学新知的本质。

《等比数列的前n项和》新授课，引导学生探究发现（思考建构）等比数列的前n项和公式Sn=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q后，笔者设计了这样的一系列变式问题：

例1 求等比数列14，-12，1，…的前n项的和。

变式1 求等比数列14，-12，1，…从第6项到第10项的和。

变式2 求等比数列2，2，2，2，2，…的前n项的和。

变式3 求等比数列a，a2，a3，a4，…的前n项的和。

例1直接运用公式求和即可。变式1也是直接运用公式求和，但是，需要求两次前若干项的和，然后作差得到从某一项到另一项的和——当然，也可以重新确定从某一项到另一项的数列的首项和项数，再基于公比不变，运用公式求一次和。变式2能让学生发现，公比为1时，公式没有意义，不能用来求和，但是，因为各项相等，所以可以用Sn=na1这个简单的公式求和。变式3是更一般的情况（含字母参数），可引导学生发现，要分公比为1和公比不为1两类情况讨论。因此，这一系列变式问题能让学生充分把握之前探究所得公式的本质：真正意义上的等比数列（公比不为1）而非实际上是常数数列的等比数列（公比为1，也是等差数列）的前n项和公式。

三、 不同样例的分层问题，帮助学生学会应用

学生获得新知、把握本质后，练习解决一定数量的问题，以进行巩固、学会应用，是必需的。此时，设计问题的关键是适当分层，注意不同的难易性和综合度。这样，一方面可以更好地面向全体学生，关注个体差异，“使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”；另一方面可以更好地展示丰富侧面，关注问题的典型性，通过不同样例的学习，充分发展迁移应用的能力。

《等比数列的前n项和》新授课，引导学生把握等比数列的前n项和公式的本质后，笔者设计了这样的（课内）不同样例分层问题：

1. 在等比数列an中，若a1=2，q=2，n=8，则前n项和Sn=    。

2. 求等比数列1，2a，4a2，8a3，…的前n项和Sn。

3. 已知an=2n-13ⁿ（n∈N^*），求数列an的前n项和Sn。

4. 已知数列an的前n项和为Sn，a1=-94且4Sn+1=3Sn-9（n∈N^*），而数列bn满足3bn+（n-4）an=0（n∈N^*）。

（1） 求bn的前n项和Tn；

（2） 若Tn≤λbn对任意的n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围。

第1题是等比数列前n项和公式最直接（最简单）的应用，虽然没有像上述例1和变式1、2那样给数列的前若干项，但是更加直接地给出了数列的首项、公比和项数。第2题则像上述变式3那样给出了更一般的数列（含字母参数），同样需要先求出公比并对其是否为1进行讨论，再利用相应的公式求和。第3题让等差数列和等比数列通项相乘，构造新数列，求其前n项和，意在将错位相减法的应用范围推广到更一般的情形。第4题则大幅度提升了综合性，要求学生先通过前n项和的递推关系求出数列an的通项（是等比数列），再根据通项之间的关系求出数列bn的通项（是等差数列与等比数列的积数列），由此，先利用错位相减法求出bn的前n项和，再根据bn的通项与前n项和的不等关系分离参数、求最值从而求出参数的取值范围。可见，这四个问题（样例）层次分明，同时相互关联、依次递进，能让学生初步体会到等比数列前n项和公式及其推导方法的不同应用侧面以及丰富应用价值。