一图一课：对简单问题做深度思考*

摘要：《二次函数的图像和性质》复习课可以基于初学时“以形助数”的研究方法，围绕二次函数的图像，引导学生从“根据图像回忆性质”这一简单问题出发，发散关联内容，拓展变化问题，从而在连续不断地思考中，梳理二次函数的基本性质，形成性质运用的有关问题，并且体会数学思考的基本方法，感悟知识迁移的关键路径。即以“一图一课”的方式实现“简单问题，深度思考”，体现数学的“思维之道”。

关键词：初中数学；二次函数的图像和性质；复习课；数学思维

一、 从数学的“思维之道”说起

著名数学教育家傅种孙先生说过：数学教师理解数学“不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在知何由以知其所以然”，由此才能实现“启发学者，示以思维之道”的教学。［1］那么，数学的“思维之道”是什么呢？人教版高中数学主编刘绍学先生说过：数学是自然的，数学是清楚的。也就是说，数学是合情理的、能够想到的，讲道理的、连续渐进的。［2］高考数学命题专家葛军教授进一步说：简单问题，深度思考。［3］即从简单的问题入手，以“玩”（非功利）的心态，按照一定（不失灵活性）的逻辑（标准），不断拓展变化，走向深广。这是一个极好的概括。众多数学家的思维过程都表现出这样的特点，尤其体现在很多经典科普作品中，比如伽莫夫的《从一到无穷大》、华罗庚的《从杨辉三角谈起》《从祖冲之的圆周率谈起》《从孙子的“神奇妙算”谈起》、张景中的《从2谈起》……很多数学教师对数学思维过程（如何“想得到”）也有类似的体会：基于已有知识（认识），运用一般观念（思想）。［4］这样的思维过程不仅能展现数学的思维之道（体现数学的理性精神），而且能串联起数学的知识结构（如公理化体系），同时，有助于提升数学学习的信心，获得数学学习的积极信念。因此，我们在数学教学中，特别注意引导学生经历这样的思维过程。

二、 《二次函数的图像和性质》复习教学如何实现“简单问题，深度思考”

（一） 教前思考

苏科版初中数学九年级下册第5章《二次函数》的核心内容是“二次函数的图像和性质”和“建立二次函数模型解决实际问题”。该章的第一节复习课可以重点复习“二次函数的图像和性质”。

通常的复习课分为两个部分：回忆有关知识，建立知识体系；解决综合问题，巩固知识体系。这样的复习课常常是片段式的，缺少思维的连贯性：学生在教师的要求下完成一个个梳理知识、解决问题的任务，但不知道这些任务之间的联系。

而《二次函数的图像和性质》复习课可以基于初学时“以形助数”的研究方法，围绕二次函数的图像，引导学生从“根据图像回忆性质”这一简单问题出发，发散关联内容，拓展变化问题，从而在连续不断地思考中，梳理二次函数的基本性质（自然地得到拓展的性质），形成性质运用的有关问题（自然地得到解题的思路），并且体会数学思考的基本方法，感悟知识迁移的关键路径。即以“一图一课”的方式实现“简单问题，深度思考”。

（二） 教学设计

本节课预设以下问题（解答），引导学生展开连续不断的思考：

问题1：观察图1，你能发现什么？想到什么？

思路或回答：这是二次函数的图像，可以设该二次函数的表示式为y=ax2+bx+c（a≠0）；图像开口向上，对称轴在y轴左侧，顶点在x轴下方，所以a＞0，-b2a＜0，4ac-b24a＜0，可得b＞0，b2-4ac＞0，并且当x≤-b2a时y随x的增大而减小，当x≥-b2a时y随x的增大而增大，当x=-b2a时，y取最小值4ac-b24a；与y轴的交点在负半轴上，与x轴的两个交点分别在正半轴和负半轴上，所以

c＜0，且当-b-b2-4ac2a＜x＜-b+b2-4ac2a

时y＜0，当x＜-b-b2-4ac2a或x＞-b+b2-4ac2a时y＞0，当x=-b±b2-4ac2a时y=0。

［设计意图：浓缩初学时“以形助数”研究二次函数性质的过程，提出简单的“看图说话”问题，帮助学生激活记忆，引导学生发散关联，梳理二次函数的性质。二次函数的性质比较多，引导学生梳理的基本脉络是：从开口、顶点（包含对称轴、最值信息）到与坐标轴的交点，从对称性到增减性，从函数到方程与不等式。］

问题2：根据图2，你能得到什么？

思路或回答：根据二次函数图像与坐标轴的交点坐标A（-3，0）、B（2，0）、C（0，-6），利用待定系数法，设出一般式或两根式，求得二次函数的解析式y=x2+x-6［即y=（x+3）（x-2）］；进而，得到顶点D的坐标-12，-254、对称轴方程x=-12、最小值y=-254以及增减性、对应二次方程和不等式的解。

［设计意图：从一般到特殊，引导学生具体给出图像上一些特殊点的信息，继续提出“看图说话”的问题，从而复习用待定系数法确定二次函数的解析式；同时，从以形助数到以数定形，引导学生感受二次函数一般性质最简单的应用，即代入特殊值计算。对此，教师要引导学生发现，解决二次函数性质的简单应用问题，关键是确定特殊点（如顶点、与坐标轴的交点等），观察图形，得到相应的式子。这里，也可引导学生给出顶点的坐标，发现顶点的特别之处，即“一个顶俩”：只需要再给出一个点的坐标，就可以求出二次函数的解析式。由此可以引导学生复习二次函数的顶点式。］

问题3：（1） 已知二次函数y=x2+x-6，若-2≤x≤3，求y的取值范围；

（2） 已知二次函数y=x2+x-6，若m≤x≤m+1，求y的取值范围；

（3） 已知二次函数y=x2+x-6，若m≤x≤n，求y的取值范围。

思路或回答：（1） 作出二次函数的图像和直线x=-2、直线x=3，如图3所示；图像的对称轴方程为x=-12，因为-2≤-12≤3，3到-12的距离比-2到-12的距离大（对应的y值也大），所以，当x=-12时y取最小值-254，当x=3时y取最大值6，当-2≤x≤3时-254≤y≤6。（2） 作出二次函数的图像，整体移动图像上的点M（m，y1）、N（m+1，y2），作出它们在对称轴的左侧、两边、右侧这三种可能的情况，如图4所示；第一种情况下，当x最小时y最大，当x最大时y最小；第三种情况，与第一种情况相反；第二种情况，当x=-12时y取最小值-254，当x取m、m+1中到-12的距离大的时y取最大值。（3） 作图后类似（2）进行讨论……

［设计意图：函数是自变量与函数值之间关系的表达，其最基本的功能是由自变量的值求函数的值以及反过来由函数的值求自变量的值。从一般到特殊复习了二次函数的基本性质后，从“学”到“用”，针对具体二次函数（可以降低题目难度），引导学生基于函数的基本功能，跳过过于简单（已经涉及）的求值问题，提出正向的求范围问题（由自变量的范围求函数值的范围）。同时，为让难度渐进，从特殊到一般，提出三个问题。这是研究二次函数已有思维的连续发展。对此，教师要帮助学生认识到：基于二次函数的对称性和增减性（有两个相反的增减性范围），在观察图像的基础上，确定图像顶点的横坐标与自变量可取的临界值之间的大小关系，计算图像顶点横坐标处和自变量可取的临界值处的函数值，是解决这一类问题的关键。这里，还要引导学生关注解题过程中蕴含的比较函数值大小的问题，发现有关的结论：开口向上时，自变量的取值离图像顶点的横坐标越远，相应的函数值越大；开口向下时，反之。］

问题4：（1） 已知二次函数y=x2+x-6，若y≥m，求x的取值范围；

（2） 已知二次函数y=x2+x-6，若m≤y≤n，求x的取值范围；

（3） 已知二次函数y=x2+x-6，若当m≤x≤m+1时y的最小值为6，求m的值。

思路或回答：（1） 作出二次函数的图像以及直线y=m在顶点的上方、经过顶点和在顶点的下方这三种可能的情况，如图5所示；第一种情况，求出方程x2+x-6=m的两根（用m表示），则x的取值范围在两根之外；第二、第三种情况，x的取值范围为整个实数集。（2） 作出二次函数的图像以及直线y=m、y=n都在顶点的上方、分别在顶点的上下方、都在顶点的下方这三种可能的情况，如图6所示；第一种情况，分别求出方程x2+x-6=m和x2+x-6=n的两根（分别用m、n表示），则x的取值范围在前一个方程的两根之外、后一个方程的两根之内；第二种情况，求出方程x2+x-6=n的两根（用n表示），则x的取值范围在两根之内；第三种情况，x的取值范围不存在。（3） 利用问题3（2）的结果，令最大值为6，解方程得到m的值。

［设计意图：由正到反，继续针对具体二次函数，引导学生基于函数的基本功能，提出逆向的求范围问题（由函数值的范围求自变量的范围）。同时，为了提高教学效率，略去最具特殊性的问题，提出两个一般性渐进的问题；并且提出一个稍作变化的问题，即函数值的范围由最值给出，自变量的范围用参数约束，通过求出参数的值，得到自变量的取值范围，由此凸显正向问题与逆向问题之间的联系。对此，教师要帮助学生认识到：这类问题实际上是解不等式的问题，与解方程的问题紧密联系（方程是不等式的临界情况），是代入求值问题的逆问题；解决这类问题的关键依然是借助图像进行分析，要注意图像顶点的纵坐标与函数值所在范围的临界值之间的大小关系。］

问题5：（1） 已知二次函数y1=x2+x-6，一次函数y2=-2x-2，若y1≤y2，求x的取值范围；

（2） 已知二次函数y1=x2+x-6，一次函数y2=-2x-2，两函数的图像相交于A、B两点，一次函数图像下方的二次函数图像上有一个动点P（不与A、B重合），求△PAB面积的最大值。

思路或回答：（1） 作出已知二次函数和一次函数的图像，如图7所示；求出方程x2+x-6=-2x-2的两根（即图像交点的横坐标），则x的取值范围在两根之内。或者：由x2+x-6≤-2x-2得x2+3x-4≤0，从而将原问题转化为“已知二次函数y=x2+3x-4，若y≤0，求x的取值范围”，即由二次函数函数值的范围求自变量的范围的问题。（2） 在已知二次函数和一次函数图像的基础上作出△PAB，如图8所示；因为AB是固定的，所以P到AB的距离最大时△PAB的面积最大；向下平移AB可以发现，平移到恰好在二次函数图像下方，即与二次函数图像只有一个交点时，该交点为到AB的距离最大的点P的位置；设AB平行线的函数表达式为y3=-2x+m，令y1=y3，即x2+x-6=-2x+m，由Δ=0求出m的值，易得此时点P的坐标，进而可以求出△PAB面积的最大值。或者：过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，

可得S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=12PQ|xB-

xA|=52PQ；设P（m，m2+m-6）（-4≤m≤1），则Q（m，-2m-2），PQ=-m2-3m+4，S△PAB=52（-m2-3m+4），不难求出S△PAB的最大值。

［设计意图：从单一到综合，先在具体二次函数的基础上引入具体一次函数，引导学生变一个函数值的范围为两个函数值的大小关系，继续求自变量的范围；再在固定的特殊点基础上（也可设特殊点为二次函数图

像与x轴的交点，以增设铺垫性问题）引入

运动的非

特殊点，引导学生变变量的取值范围（代数问题）为动点的运动轨迹（几何问题），求三角形面积的最值。这里，学生的思维依然是连续发展的。对此，教师要帮助学生认识到：解决问题的关键还是借助图像进行分析，只不过要关注两个图像，要注意图像交点的坐标和图像恰有一个交点这种特殊情况。］

参考文献：

［1］ 徐章韬.中学数学教材核心内容分析——经验型面向教学的数学知识［M］.北京：科学出版社，2021：序二Ⅴ.

［2］ 李祎，林晴岚.数学教学要“讲道理”——以“向量及其运算”为例［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（10）：36.

［3］ 丁菁，葛军.“拓展创新学程”函数主题编写特色及教学建议［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2023（1）：19.

［4］ 王玉宏.数学教学如何让学生“想得到”［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（3）：5154.