难题引入，逐层化解

摘要：含参二次函数的最值问题，是近几年数学中考的热点问题，也是初中数学的难点问题。对此，设计一节微专题复习课，引导学生从简单的情况入手，层层递进（包括从不限制自变量的取值范围到限制自变量的取值范围，从确定的取值范围到不确定的取值范围，从确定的表达式到不确定的表达式，从正向的求最值到逆向的求参数）突破难点，同时，体会特殊与一般、数形结合、分类讨论、方程等思想的意义与作用。

关键词：初中数学；二次函数的最值问题；微专题复习课

近年来，为了进一步提升数学中考复习效果，教师通常会引导学生在第一轮的知识模块复习、第二轮针对常见题目类型和解题策略的大专题复习的基础上，展开第三轮针对更具体的题目类型和解题策略的微专题复习。［1］微专题复习课的教学不仅需要选择恰当的主题，而且需要组织典型的题目（使它们相互关联、层层递进），同时需要设计合理的过程。本文主要呈现笔者对《含参二次函数的最值问题》微专题复习课的思考与设计。

一、 教前思考

含参二次函数的最值问题，是近几年数学中考的热点问题，也是初中数学的难点问题。学生在初中数学课程中学习过“二次函数的图像和性质”，从特殊到一般地认识到：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线，它的顶点坐标是-b2a，4ac-b24a，对称轴是直线x=-b2a；若a＞0，则抛物线开口向上，当x＜-b2a时y随x的增大而减小，当x＞-b2a时y随x的增大而增大，当x=-b2a时y取最小值4ac-b24a；若a＜0，则抛物线开口向下，当x＜-b2a时y随x的增大而增大，当x＞-b2a时y随x的增大而减小，当x=-b2a时y取最大值4ac-b24a。

由此，在不限制自变量取值范围的情况下，很容易求出确定（不含参数）的二次函数的最值，也不难求出不确定（含参数）的二次函数的最值（用含参数的式子表示即可）。但是，在限制自变量取值范围的情况下，求确定（函数的表达式和自变量的取值范围不含参数）的二次函数的最值就有一点难度了：需要考虑图像顶点（或对称轴与x轴交点）的横坐标在自变量取值范围的左侧、右侧还是内部，并且结合图像的开口（二次项系数的正负）情况确定函数值随自变量增大的增减情况（单调性）。求不确定（函数的表达式或自变量的取值范围含参数）的二次函数的最值的难度就更大了：需要对参数的取值情况进行讨论，从而确定图像顶点的横坐标在自变量取值范围的左侧、右侧还是内部。此外，逆向设计，即“已知最值，要求二次函数（即求函数表达式或自变量取值范围中的参数）”，也会增加问题的难度。可见，这类问题除了考查学生的二次函数图像和性质知识，还能很好地考查学生的数形结合、分类讨论等思想及数学运算、逻辑推理能力。

基于上述分析，笔者针对含参二次函数的最值问题，设计了一节微专题复习课，引导学生从简单的情况入手，层层递进（包括从不限制自变量的取值范围到限制自变量的取值范围，从确定的取值范围到不确定的取值范围，从确定的表达式到不确定的表达式，从正向的求最值到逆向的求参数）突破难点，同时，体会特殊与一般、数形结合、分类讨论、方程等思想的意义与作用。

二、 教学设计

（一） 难题引入：激发动力，引导方向

教师出示问题：

已知二次函数y=x2-2mx-3（m为常数），若在自变量x的值满足2m≤x≤2m+1的情况下，函数值y的最小值为-6，求二次函数的解析式。

课始便将问题的难度“拉满”：限制自变量的取值范围；函数的表达式和自变量的取值范围都含参数；已知最值，要求二次函数。一方面，鼓励学生正视困难、迎接挑战，激发学生的学习动力；另一方面，启发学生化难为易、化生为熟，引导学生的思考方向。

（二） 逐层化解：从易到难，解决问题

1. 取值范围无限制、表达式确定的问题

教师出示问题：

求出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标、开口方向，说出其对称轴、最值和增减性。

通过特殊化（不限制自变量x的取值范围，设参数m=1）和正向化手段，将问题的难度降到最低，变成学生非常熟悉的具体二次函数性质的问题。全面考查二次函数的性质，一方面，可以激活学生数形结合的研究经验，为后续探究打好方法基础；另一方面，可以引导学生发现“顶点坐标蕴含对称轴信息，结合开口方向可得最值和增减性”，为后续在限制自变量取值范围的情况下考虑图像顶点的横坐标在取值范围的左侧、右侧还是内部（从而确定自变量取值范围内函数的增减性）做好铺垫。

2. 取值范围有限制且确定、表达式确定的问题

教师出示问题：

已知二次函数y=x2-2x-3，在自变量相应的范围内分别求出函数的最值。

（1） -2≤x≤0，当x=时，y最小值=；当x=时，y最大值=。

（2） 2≤x≤4，当x=时，y最小值=；当x=时，y最大值=。

（3） -2≤x≤2，当x=时，y最小值=；当x=时，y最大值=。

（4） -2≤x≤4，当x=时，y最小值=；当x=时，y最大值=。

（5） 0≤x≤4，当x=时，y最小值=；当x=时，y最大值=。

通过限制自变量的取值范围，初步提升问题的难度。因为不含参数，学生不难作出函数的精确图像（如图1所示），在相应的范围内找出图像的最高点和最低点，从而得到函数的最大值和最小值。五个小题给出的五个范围具有代表性，可以引导学生发现一般规律：图像顶点的横坐标在自变量取值范围的左侧或右侧时，函数的两个最值分别在自变量取值范围的两个临界点处取得；图像顶点的横坐标在自变量取值范围的内部时，函数的两个最值分别在图像的顶点处和自变量取值范围的离图像顶点更远的临界点处取得。

3. 取值范围有限制、取值范围或表达式不确定的问题

教师出示问题：

已知二次函数y=x2-2x-3，当x1≤x≤x2时，求函数的最大值和最小值。

通过让自变量的取值范围不确定（含参数），进一步提升问题的难度。有了上面的一般规律，学生能够依据函数的精确图像（图1），先确定图像顶点的横坐标为1，然后分x2≤1、x1+x22≤1≤x2、x1+x22=1、x1≤1≤x1+x22、1≤x1这五种情况，求出函数的最大值和最小值分别为x21-2x1-3和x22-2x2-3、x21-2x1-3和-4、x21-2x1-3或x22-2x2-3和-4、x22-2x2-3和-4、x22-2x2-3和x21-2x1-3。教师可以适当引导。

教师出示问题：

已知二次函数y=x2-2mx-3（m为常数），当-1≤x≤2时，求函数的最大值和最小值。

通过让函数的表达式不确定（为控制难度，只设了一个其实就是图像顶点横坐标的参数），进一步提升问题的难度。这时，教师可以引导学生画出函数的草图（如下页图2所示），即让学生认识到：函数图像开口方向和开口大小确定（由二次项系数决定，和之前的函数图像一样），但在坐标系中的位置（上下左右）不确定，为了不引起误解，可以去掉坐标系。有了上面的一般规律，学生能够依据函数的草图，先确定图像顶点的横坐标为m，然后分2≤m、12≤m≤2、12=m、-1≤m≤12、m≤-1这五种情况，求出函数的最大值和最小值分别为2m-2和1-4m、2m-2和-m2-3、-1和-134、1-4m和-m2-3、1-4m和2m-2。

4. 取值范围有限制、取值范围和表达式不确定的问题

教师出示问题：

已知二次函数y=x2-2mx-3，当x1≤x≤x2时，求函数的最大值和最小值。

通过让自变量的取值范围和函数的表达式不确定，再提升问题的难度。有了上面的一般规律，学生能够依据函数的草图（图2），先确定图像顶点的横坐标为m，然后分x2≤m、x1+x22≤m≤x2、x1+x22=m、x1≤m≤x1+x22、m≤x1这五种情况求出函数的最大值和最小值。这时，学生能感受到结果的烦琐：表达式中一般含有三个字母，至少含有一个字母m。从而体会到问题的难度。

5. 逆向问题

教师提问：含参二次函数的最值问题还有什么可能？学生会想到图像开口向下的情况。教师引导：这种情况和开口向上的情况没有本质的不同，只是“小变大、大变小”而已。学生能再想到逆向问题。教师引导学生认识到这样的问题难度可能进一步加大，从而设法适当控制难度，即将自变量取值范围中的参数x1、x2都用函数表达式中的参数m表示，且只考虑一种最值，由此回到课始的问题：

已知二次函数y=x2-2mx-3（m为常数），若在自变量x的值满足2m≤x≤2m+1的情况下，函数值y的最小值为-6，求二次函数的解析式。

有了前面的解题经验及规律总结，在只考虑最小值的情况下，学生能够分2m+1≤m（即m≤-1）、2m≤m≤2m+1（即-1≤m≤0）、m≤2m（即0≤m）这三种情况求出函数的最小值分别为2m-2、-m2-3、-3，然后分别令2m-2、-m2-3等于-6，结合取值范围检验得到m=-2。由此，教师可以引导学生认识：解决逆向问题时，首先要带着参数（有时可能要假设参数）解决正向问题，然后可根据已知的最值求出待定的参数，这其实是方程思想的体现。

最后，教师引导学生回顾上述问题解决过程，梳理出“将一般的问题特殊化，从简单的情况入手，总结解题经验，发现解题规律，进而解决更复杂的问题”的思路，并感悟其中蕴含的特殊与一般、数形结合、分类讨论、方程等思想。

参考文献：

［1］ 李庾南，刘东升.初中数学复习课的细分与教学［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2024（3）：4750.