“拓展创新学程”概率与统计主题编写特色及教学建议

摘要：《普通高中拓展创新学程·数学》作为苏教版高中数学教材的延伸、补充和提高，能满足不同层次学生对数学知识拓展、方法创新、探究强化以及思维提升的需求。其中概率与统计主题的编写特色是合理拓展创新内容、体现核心思想方法、关注创新思维能力，而相应的教学建议有选择符合学生实际的内容、促进学生的思想方法感悟、培养学生的探究创新能力。

关键词：高中数学；拓展创新学程；概率与统计

为了更好地在高中数学教学中落实拔尖创新人才的培养，苏教版高中数学教材组的专家组织编写了《普通高中拓展创新学程·数学》（以下简称《拓展创新学程》），作为教材的延伸、补充和提高，来满足不同层次学生对数学知识拓展、方法创新、探究强化以及思维提升的需求。

本文简单介绍《拓展创新学程》中概率与统计主题的基本内容，重点阐述其编写特色和教学建议。

一、 基本内容

《拓展创新学程》中的概率与统计主题遵循“基于教材，适度拓展，注重综合应用，力求创新”的基本原则选择内容，共设计了6个专题（见表1），突出解题方法与策略，着力于学生思维的发展。

二、 编写特色

《拓展创新学程》中概率与统计主题内容的编写，遵循教与学的自然生长规律，以促进学生自主探究、发展学生的数学核心素养为宗旨，注重选材的拓展性和思想性，激发学生的创新潜能。

（一） 合理拓展创新内容

为了适应学生个性化发展，《拓展创新学程》中概率与统计主题内容的编写与时俱进，注重精选热点素材，提供新的问题情境，力求涵盖社会、经济、文化、体育、生产、生活等各个方面；注重多学科交叉，融入经典数学问题，从而让学生学以致用，激发兴趣。同时，精心设计问题串，让学生拾级而上，点燃思维。

在内容编排上力求创新、实用，包括指要（梳理主要问题与基本方法）、例题、分析、解答、回顾、变式、拓展、思考、配套习题等。比如，在例题中适时融入回顾、变式、拓展，以富有启发性的思考问题、恰到好处的自然生成，充分开阔学生的视野，激活学生的思维。同时，在内在的关联性、交汇性、启发性、探究性上下足功夫，揭示问题的本质；注重问题解决的思路方法，从不同的角度分析问题、解决问题，培养学生的发散性思维。

此外，考虑到新课标、新教材中增加了如全概率公式、贝叶斯公式、百分位数等内容，以及旧课标、旧教材中对条件概率、正态分布、χ2独立性检验、相关系数等内容要求较低，编写时，对有关内容做了适度补充、强化等拓展，让学生能更深刻地领悟概率与统计的思想方法。

比如，第62讲“随机变量的概率、均值与方差”例7：

某车间用一台包装机包装葡萄糖，每袋葡萄糖的质量是一个随机变量，它服从正态分布。当机器工作正常时，每袋葡萄糖的平均质量μ0为0.5 kg，标准差σ为0.015 kg。

本题贴近学生生活，容易激发学生思考，提高学习兴趣。问题的分析与解决抓住关键目标，直指核心。“拓展”则通过学生的数学直觉设置疑问，激发学生强烈的探究欲，启迪学生理性思维，探求数学本质；同时，自然而然地提出新问题，促使学生进一步深入思考。

（二） 体现核心思想方法

《拓展创新学程》中概率与统计主题内容的编写着力体现这一主题的核心思想方法。首先，渗透模型化思想：准确识别模型、分清模型的层次、关系，在较复杂的情境下将实际问题转化为数学问题并运用模型加以解决，主要渗透常见的几种概率模型（古典概型、二项分布、超几何分布、正态分布等）和统计模型（线性回归分析、独立性检验）。其次，揭示统计分析的基本思想方法，从直观上让学生感受它的合理性，避免单纯记忆和机械套用公式进行计算，认识统计方法的特点（如统计结果的随机性、统计推断可能犯错等），学会在统计思维的引领下运用数据进行统计推断，领会统计思想在分析和认识客观现象中的重要作用。

比如，第64讲“概率综合”例5：

某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是p（0<p<1），且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立。

（1） 记10头成年牛中恰有3头感染H型疾病的概率是f（p），则当概率p取何值时，f（p）有最大值？

（2） 若以（1）中确定的p值作为感染H型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是g（k），则当k为何值时，g（k）有最大值？

本题是一个二项分布问题，利用有关的概率公式，容易求出f（p）和g（k）的表达式。显然，f（p）是关于p的连续型函数，可以利用导数判断单调性，进而求最大值；g（k）是关于k的离散型函数，可以借鉴研究数列单调性和最值的方法。

本题后的“回顾”则帮助学生将本题结果上升为一般结论：

若随机变量X～B（n，p），则P（X=k）=Cknpk（1－p）n－k。① 若P（X=k）看作关于p的函数f（p），则当p=kn时，f（p）max=Cknknkn－knn－k；② 若P（X=k）看作关于k的函数g（k），则k=［p（n+1）］时，g（k）最大。

这样，可将二项分布与函数、数列、不等式和组合知识融为一体。

可见，本题主要考查概率模型——二项分布，要求学生能够准确识别模型并运用模型解决问题；同时，以导数、数列为基本工具研究最值等，知识自然交汇，能力适度提升。而且，本题的结论反映的正是概率的最大可能性意义以及用频率估计概率的思想根源。［1］

又如，第30讲“统计”练习6：

为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案。

甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；

乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元。

（1） 请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

（2） 根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数的对应关系如表2所示。

回答下列问题：

① 根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；

② 结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，会选择哪种薪酬方案？请说明你的理由。

本题选材新颖，非常贴近学生的生活实际，旨在让学生基于统计数据，自觉地运用统计思想，通过研究平均数、方差等统计量作出科学、合理的统计决断，由此灵活、深刻地理解统计思想方法。

（三） 关注创新思维能力

《拓展创新学程》中概率与统计主题内容的编写十分关注创新思维能力的培养，通过具体问题，充分体现思维的发散性、求异性，鼓励学生开放探究、大胆尝试，提高学生创造性思维的效能感和自信心。

比如，第63讲“统计案例”例3：

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加。为了调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑20i=1xi=60，∑20i=1yi=1200，∑20i=1（xi－x）2=80，∑20i=1（yi－y）2=9000，∑20i=1（xi－x）（yi－y）=800。

（1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2） 求样本（xi，yi）（i=1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）；

（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为了提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

本题第（3）问为开放性问题，尊重学生的个性化思维，鼓励学生从不同的视角分析、解决问题，体现思维的发散性，发展创新思维能力。

又如，第29讲“随机事件的概率”例7：

一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79。

（1） 若袋中共有10个球，求白球的个数；

（2） 求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

本题第（2）问可以从事件本身和对立事件两个角度入手解决：

方法1：设袋中有n个球，其中y个黑球，依题意得y=25n，所以2y≤n-1。记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B，由于从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25，则P（B）=25+35×yn-1≤25+35×12=710。又因为从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，所以，白球个数比黑球个数多，白球个数多于25n，所以，红球个数少于n5，红球个数最少。

方法2：设袋中有5n（n∈N*）个球，则其中有2n个黑球。记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B，则P（B）=1-P（B）=1-C23nC25n=1-925×1-215n－15≤1-310=710。所以，白球个数比黑球多，白球个数多于2n，所以，红球个数少于n，红球个数最少。

本题在解决方法上既可以采用直接法，也可以另辟蹊径，采用间接法。正难则反体现了不同思维方式的殊途同归以及求异创新。

三、 教学建议

《拓展创新学程》中概率与统计主题内容材料选择丰富、板块设计灵活，致力于学生数学思维能力和实践创新能力的提升。对此，提出三点教学建议：

（一） 选择符合学生实际的内容

概率与统计主题内容按必修和选择性必修两个部分（四个分册）编排，建议在高一、高二年级新授课完成的基础上适度选用配套的拓展内容，在高三复习时酌情选用难度和综合性较大的内容。

具体操作要根据学生实际情况，结合学生学习基础以及学习需求，合理选取适合的内容，鼓励学生在自身能力范围内自主拓展提升，不可统一标准和要求，人为拔高，增加学生的学习负担；对部分难度和综合性较大的内容，要以学生的知识储备和学习能力为基础，指导和帮助学生完成。

此外，部分内容也可以作为选择参加学科竞赛、强基训练的学生的自学材料或训练资料，与相关培训有机融合，从而起到提升与拓展的作用。

（二） 促进学生的思想方法感悟

概率研究随机现象，为学生从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。统计的核心是以概率理论为基础进行数据分析。教学的关键是引导学生正确认识概率与统计的本质和内在关系，感悟数学的基本思想方法。

教学中，要着重引导学生理解概率模型思想、统计分析思想，从直观上感受领悟，避免单纯记忆公式、简单套用公式进行计算。既要关注学生解决实际问题的能力，提升数学建模、数据分析等核心素养，更要深化学生对数学本质、数学思想方法的理解和领悟，帮助学生形成正确的概率思维和统计观念。

（三） 培养学生的探究创新能力

概率与统计主题内容的编写融入了大量探究性学习内容，提供了问题解决的不同途径与方法，旨在引导学生自主探究，培养学生创新能力。教学中，要用好有关资源，在分析和解决问题的过程中，鼓励学生质疑反思，探究本质，激发和保护学生的好奇心，引导学生提出新问题、新思路，发表不同的见解。

为了培养学生的探究意识与创新能力，教师要努力构建以学生为中心的自主探究学习模式，营造民主、平等、和谐的教学氛围，做学生学习的引导者和合作者。而且，要大胆突破学程限制，引导学生使用信息技术手段，查阅资料并分析研究，深化认识，从而更好地激发创新潜能，形成创新成果。

参考文献：

［1］ 张劲松.认识随机，把握生活——《醉汉的脚步》阅读感悟与教学启示［J］.教育研究与评论，2022（8）：116.热点透视