顺承已有知识,厘定研究路径

摘要：《三角形》章起始课，应该立足学生已有的感性认识，顺承线段与角的研究脉络，引导学生展开对三角形的概念、分类、性质等内容的探索，通过唤醒、类比、画图、论证等数学活动形成整章概貌，构建认知结构、厘清研究路径，从而统领本章教学。

关键词：三角形;章起始课;类比;认知结构;研究路径

一、章内容分析

人教版初中数学八年级上册第十一章是《三角形》，其主要内容包括三角形的概念及有关的线段、角，多边形及其内角和等。三角形是最简单的封闭图形，它在几何中的核心地位及重要性正如项武义先生所言：“三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现。三角形之所以成为古希腊几何学研究的主角，其原因也就是：三角形既简单而又能充分反映空间的本质。”张景中院士则指出：“欧几里得给我们的解题工具，主要是全等三角形和相似三角形。”这足以说明，掌握好三角形的知识就意味着理解了空间大部分的基本性质。同时，三角形的知识是研究其他几何图形不可或缺的基础，其研究路径、过程和方法可以迁移到四边形等较复杂图形的研究中，具有统领性、一贯性。因此，三角形的学习对整个几何学习具有奠基意义。

二、章学情分析

学生在小学已经接触过三角形，对其相关内容（定义、分类、稳定性、三边关系、内角和、周长、面积及高等）有基本的了解，但是小学的学习基本上停留在碎片化的粗浅认识上，学习方式也以观察、测量、操作来探寻几何性质为主。学生在初中学习《三角形》一章前，具备线段、角以及相交线（对顶角、邻补角）、平行线（性质、判定）等几何知识的储备，能够进行简单的推理和证明，并且初步认识到它们的研究思路，不过还不能很好地做到“顺利地提取知识”和“有条理地梳理知识”。因此，《三角形》章起始课应该通过对小学三角形知识的梳理，使学生明确这些知识的基本归属，为后续的学习做好统领、打好桩基。

三、章教学的整体规划

基于以上分析，依据相应的课标要求和教材编排，对这一章的教学统筹规划如下：

第一课时：章起始课。立足章引言，顺承已知、利用类比统摄整章，厘清本章研究路径，确定本章研究内容（三角形的概念、分类、三边关系、三角关系、内外角关系、“三线”性质以及向四边形等多边形的展望）。

第二课时：承接章起始课，在点的运动中进一步研究“三线”，初步认识三角形的三个心（垂心、重心、内心），完整认识三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。

第三课时：顺应章起始课，在逻辑论证中进一步研究三角形内角和，加固三角形的又一本质属性，同时研究有特殊角的三角形——直角三角形的性质与判定，感知一般与特殊的辩证关系。

第四课时：从内角出发研究外角、内外角之间的关系（相等关系与不等关系）以及三角形内角和对应的三角形外角和，以完善三角形性质的深入研究。

第五课时：依循三角形的研究路径，类比研究多边形及其内角和，揭示一般与特殊的关系，在对比中分析出多边形对角线的重要价值，进而实现多边形向三角形的转化。

第六课时：小结与复习。呼应章起始课，形成更加完善的三角形知识结构以及向多边形知识发展的结构。

第七课时：评价课。

第八课时：讲析课。

四、章起始课的教学思路与目标

基于上述整体规划，可以梳理确定章起始课的教学思路与目标：

1.通过对小学“三角形”内容的复习回顾和整理，唤起知识储备和学习思路。

2.通过梳理“角”的研究思路，经历“角”和“三角形”知识结构的类比，厘定“三角形”学习的主要内容及整体结构，形成《三角形》一章的研究思路和方法，为整章学习定下基调，进而迁移几何图形的研究思路，积累封闭图形学习的基本活动经验。

3.在画任意三角形、画不同的三角形、画边长给定的三角形（尺规作图）的系列过程中，通过观察、操作、猜想、证明等活动，科学地认识三角形的概念、基本要素以及表示方法，学会分类，唤醒对三边关系、内角和大小的记忆，初步认识“三线”，理性理解三边关系，进一步深化三角形知识的研究思路和结构体系，感受三角形学习的必要性和重要性。

五、章起始课的教学设计

（一）梳理已学，唤醒旧知

在学生课前梳理的基础上提出问题：（1）你学过或知道三角形的哪些知识？你是通过什么方法获得这些知识的？（2）角的研究思路是什么？在它的启发下，三角形如何展开研究？引导学生回顾三角形的已有认识，包括三角形的分类、三边关系、内角和、周长、面积、高、稳定性等;确定这些知识的获得方法，即观察、测量或剪拼等操作;理清角的研究思路，即“角的定义—角的表示—角的分类—角的性质—角的特殊关系—特例”;展望三角形的研究思路，即“三角形的定义—三角形的表示—三角形的分类—三角形的性质（从边、角等元素入手）—三角形的关系（全等、相似等）—特例”。

[设计意图：通过梳理小学的三角形知识，回顾角的研究思路，使学生逐步体会本节课的学习主线。通过两个策略性问题，唤起学生的已有认知，让学生感受到之前三角形学习的“点状”和“非系统”，从而认识到系统研究三角形的必要性和重要性。在此基础上，完整展现类比获取数学对象研究路径的过程。其中的“定义—表示—分类”是“基本动作”，后面的线路是“进阶动作”，学生未必能梳理清楚或展望到位，教师可适时引导，以确保路径的清晰，并在此过程中积累几何活动经验，共同形成三角形的基本研究脉络。]

（二）画任意三角形，完善定义

让学生用尺规画任意三角形。

[设计意图：这是找感觉的过程。学生根据已有经验画图，画得成的、画不成的，画多的、画少的，形态各异，就在这“任意”中感知三角形。]

顺势提出问题：（1）是不是画任意三条线段，都能构成三角形？（2）三条线段应该怎样拼接，才能成为三角形？在“几何画板”软件演示的辅助下，引导学生得到构成三角形的三条线段的特征：不在同一条直线上、首尾依次相接。

[设计意图：在学生有了画图的感觉后，通过问题引发学生对如何画三角形的思考。]

出示图1，让学生判断其中哪些是三角形，并简述理由。

[设计意图：给出多种不同的图形让学生根据经验与思考来判断，从而进一步凸显、明晰三角形的特征。]

提出核心任务：仿照“角”的定义，尝试给“三角形”下定义。在学生独立思考、小组内交流、班级展示，互相补充、完善的基础上，引导学生总结、概括得到三角形的概念。然后，引导学生类比角的符号表示及命名，给出三角形的符号表示及命名：若三个顶点是A、B、C，则表示为△ABC……

[设计意图：限于小学阶段的认知水平及教学要求，学生本节课前对三角形概念的认识还停留在外在感知水平，不能严谨地表述内在逻辑关系。基于此，教师舍弃了生活情境中的图景，让学生从数学现实中获得研究对象，以拉近数学知识之间的距离，理解数学内部的逻辑一致性。在操作、观察、思考的基础上，通过必要的引导、辨识，规范三角形的定义，形成对三角形概念的准确理解。]

（三）画不同的三角形，完善分类

不限制作图工具，让学生画3个不同的三角形，感知三角形可能的不同之处。

提出问题：同学们画出的三角形有什么不同？在讨论中，让学生认识到：三角形的形状和大小有无数种可能，不同的三角形是画不完的。进而，让学生认识到：为了方便研究，应该对三角形做一些简单（有限）的分类。

提出核心任务：利用已有经验，对三角形进行分类。引导学生依据三角形的构成要素（边和角）进行分类：按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形（类比迁移角的分类），按边可分为三条边都不相等的三角形、有两条边相等的三角形和三条边都相等的三角形。

[设计意图：画3个不同的三角形，学生在画的过程中，就会思考什么叫不同。由此，便可凸显对三角形进行分类的必要性，进而激活小学阶段的三角形分类知识。接着，教师引导学生明晰分类的依据，以及构成要素“边”和“角”对研究三角形的重要性。]

出示练一练：

（1）为什么说按边把三角形分成等腰三角形和等边三角形不正确？

（2）图2中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（）

A. 锐角三角形B. 直角三角形

C. 钝角三角形D. 以上都有可能

[设计意图：这两道题目，除了能够加深对分类的理解，还指向问题的暴露，如按边分类时把等腰三角形和等边三角形并列（其实是包含关系），按角分类时陷入按一个角的大小分类的窠臼等，以澄清模糊的认识。]

（四）给定三条线段画三角形，明晰三边关系

给定若干组三条线段，让学生利用尺规画出以每一组三条线段为三边的三角形（至少两组线段，包含“画不成”和“画得成”两种情况，如长度为1、2、4的三条线段和长度为2、3、4的三条线段），感知不是随便三条线段都能画出三角形的。

提出问题：怎样的三条线段能构成三角形？激活学生小学阶段学习过的构成三角形的三条线段的特征：任意两条线段长之和大于第三条线段长。

提出问题：为什么构成三角形的三条线段具有这样的特征？这样的特征包括三个不等关系，它可以简化吗？可以变形吗？引导学生借助基本事实“两点之间线段最短”证明三角形的三边关系;借助不等式的性质简化、变化三角形的三边关系，得到最简表述“两条较短边之和大于最长边”和变形表述“任意两边之差小于第三边”。

[设计意图：从显性知识的角度，本节课除了三角形概念的概括是重点外，就是三边关系的进一步认识了。因为学生在小学已经知道了三角形的三边关系，所以这里重点让学生从感性到理性，借助逻辑推理和辩证思考进一步理解其背后的道理及不同的表征。]

（五）由边及角，步步向前

提出问题：以上研究了三角形的基本元素“边”，形成了三角形的一个基本性质，那么，还应该研究三角形的什么基本元素？能得到什么性质？引导学生聚焦三角形的基本元素“角”，分为内角和外角，激活小学阶段学习过的内角和为180°的认识，思考内外角的关系以及有关外角和的结论。

对于三角形内角的关系，学生在小学就知道结论，本章再学重在证明，但是本节课作为起始课，由于时间所限，不要过分纠缠：如果学生基础好、能力强， 就让学生快速（口头）证一下;如果学生基础和能力一般，则留到本章第三课时进行深度研究。

对于三角形内外角的关系以及外角之间的关系，更要点到为止，让学生有点感觉、有所猜测即可，具体则留到本章第四课时进行深度研究。

至于进一步应该研究的边与角的关系，则后续放在特殊三角形中研究——高中才在一般三角形中研究。

[设计意图：由边到角，让学生对内角、外角的关系展开初步探索，体现思维的连贯一致、不断延伸。]

（六）起于面积，终于“三线”

提出问题：刚才一开课，同学们谈到了小学学习过三角形的面积及计算，那么三角形的面积是如何计算的？学生容易回答：底乘高除以2。

引出三角形有关的一类重要线段——高。然后，结合三角形的基本元素“边”“角”有关的概念中点、角平分线，引出三角形有关的另外两类重要线段——中线、角平分线。

[设计意图：继续发挥小学的已有认知作用，通过对三角形面积计算的追问，使学生了解“高”这个三角形重要线段的价值，然后，由边（线段）、角这两个三角形的核心要素的研究，在线段、角中最核心的概念中点、角平分线（它们其实同出一源，具有一致性）的唤醒中，引出三角形有关的其他重要线段，得出“三线”。]

（七）整体立意，厘定框架

引导学生回顾全课，梳理三角形的研究思路，形成本章的整体架构，如图3所示。最后，提出问题：下一节课，同学们准备对三角形的哪方面做进一步研究？让学生关注有待后续深入研究的内容。