把握本质关联，实现整体建构

【编者按】 培育核心素养的教学理念强调在具体内容的教学中渗透、揭示少而精的、起概括统领和组织串联作用的、“带得走”“用得上”的多个层级的大概念（也叫大观念）。因此，超越“知识点”细化分解，强调“知识块”整体结构的单元（或主题）教学作为一种教学理念（或方法），再次成为基础教育研究的热点。当然，课时是教学的基本单位（组织形式），单元教学的理念也要落实在课时中。通常，起始课需要展现单元知识起点，规划单元学习路径;新授课需要在单元学习路径的统领下，适当体现本课知识与单元其他知识的联系;复习课则需要在掌握新授知识的基础上，强化单元知识的整体建构与综合运用，把握单元知识本质。从本期开始，我们将陆续在《专题研究》栏目集中呈现一些体现单元教学理念的教学案例。

摘要：单元教学的核心思想是系统思维，基本路径是“总—分—总”。章复习课属于第二个“总”，需要站在高位审视全章内容，帮助学生梳理内容的主线，发掘内容之间的本质关联，建立内容整体的逻辑体系。《指数与对数》章复习课教学，准确把握“运算中的不变性、规律性就是代数性质”，深度挖掘指数与对数本质的一致性，精心创设问题情境，引导学生经历完整的数学探究过程。

关键词：《指数与对数》;章复习课;一致性;本质关联;整体建构

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调：教师要整体把握教学内容，跳出课时限制，通过单元设计，更为上位地规划学生核心素养的发展，落实核心素养的养成。单元教学的核心思想是系统思维，即从整体高度思考研究对象，组建学习单元，并将单元学习目标的达成作为一个整体性任务。单元教学的基本路径是“总—分—总”。第一个“总”相当于“登山地图”，是对单元内容初步的整体感知，是一种框架性认识;“分”相当于“登山过程”，是在总体感知的基础上，聚焦局部内容，进行深度学习;第二个“总”相当于“居高回望”，是单元教学中不可或缺的关键环节，要揭示单元内容之间的本质关联，建构学习单元的整体认知，彰显数学学科的育人价值。通常，教材编排的章节可以看作基本的学习单元，章节复习课便是单元教学路径中的第二个“总”。

近期，笔者在南通市高中青年数学教师优秀课评比中，执教了苏教版高中数学教材中的《指数与对数》章复习课，取得了一等奖第一名的优异成绩。窃以为，这节课的优点在于准确把握“运算中的不变性、规律性就是代数性质”，深度挖掘指数与对数本质的一致性（强关联），精心创设问题情境，引导学生经历完整的数学探究过程。下面分享这节课的教学过程与思考。

一、教学过程

（一）类比猜想，感知一致性

师著名数学家高斯说过：数学，科学的皇后;算术，数学的皇后。说到算术，自然离不开运算，我们最早学习的运算有哪些？它们之间有什么关系？

生我们最早学习了加、减、乘、除四种运算。减去一个数就是加上它的相反数，除以一个非零实数就是乘它的倒数。

师我们看到，加法与减法之间、乘法与除法之间，其内在是一致的。最近我们学习的几种运算，都来源于一个式子：ab=c。在a、b、c三个量中，如果已知两个，就可以求第三个。有以下情况：（1）已知a、b，求c;（2）已知b、c，求a;（3）已知a、c，求b。其中，（1）（2）都是指数运算，是乘方与开方的关系;（3）是对数运算。那么指数运算与对数运算之间是否一致呢？

[设计意图：从学生熟悉的四则运算出发，发掘加法与减法、乘法与除法之间的内在一致性。进而，在指数与对数运算同源的基础上，引发学生对指数与对数运算之间一致性的猜想。]

（二）定义探究，初识一致性

师在刚才的阐述中我们发现，指数与对数运算研究的对象都是ab=c这一关系式中的三个量a、b、c，即研究对象是一致的。如果要继续研究一致性，应该从哪里着手？

生我觉得，要研究它们的定义，因为定义是基础。

师很有道理，回归定义是我们研究数学问题的一般方法。请梳理一下相关定义。

生根式定义：一般地，如果xn=a（n>1，n∈N），那么x叫作a的n次方根。对数定义：如果ab=N（a>0，a≠1），那么b称为以a为底N的对数。

师将这两个定义用数学符号表示，观察它们有怎样的一致性。

生根式定义用符号表示时需分类讨论：当n为奇数时，xn=ax=na;当n为偶数时，xn=ax=±na（a>0）。对数定义用符号表示为ab=NlogaN=b （a>0，a≠1，N>0）。从定义中可以发现，指数与对数来源于同一关系式ab=c，只是最终的表示形式不同。那么，它们定义的本质也是一致的。

师在对数中，我们还学习过一些恒等式，比如alogaN=N，你能回到定义来探究一下它是如何产生的吗？

生由ab=NlogaN=b，后式中的b即为logaN，代换掉前式中的b，就得到alogaN=N。

师那能根据定义，用同样的方法，得到新的恒等式吗？

生前式中的N即为ab，代换掉后式中的N，就得到恒等式logaab=b。

师以上，我们从对数的定义出发，用等价代换的方法，得到了两组对数恒等式。现在，我们能否类比对数恒等式的产生方法，得到相应的指数恒等式？

生在xn=a中，将x替换为na，得到恒等式（na）n=a。当n为奇数时，在na=x 中，将a替换为xn，得到恒等式nxn=x;当n为偶数时，在na=x中，将a替换为xn，得到恒等式nxn=|x|。

师非常棒！同学们从定义出发，得到了两组指对数恒等式，它们都来源于ab=c 这一关系，说明它们的本质是一致的。并且，探究方法都是等价代换，所以探究方法也是一致的。

[设计意图：经过引入环节，学生发现，指数与对数研究对象一致，都是ab=c这一关系式中的a、b、c。进而探究定义，从定义的文字语言和符号语言发现，指数与对数都来源于ab=c这一关系式，只是表示形式不同;从定义出发，用等价代换的方法得到两组指对数恒等式。让学生在主动探究的过程中感悟到指对数定义的本质一致，研究的方法一致。]

（三）性质探究，深挖一致性

师在“指数”这一节中，学习根式的目的是研究分数指数幂。这样，把整数指数幂推广到有理数指数幂，进而推广到实数指数幂。在扩充过程中，我们体会到指数的运算性质并没有发生变化。现在，请同学们回忆一下指对数的运算性质。

生指数运算性质：am·an=am+n;aman=am-n;（am）n=amn;（ab）m=ambm。对数运算性质：logaM+logaN=loga（MN）;logaM-logaN=logaMN;logaMn=nlogaM;loga（MN）b=blogaM+blogaN。

师我们通过定义探究了指对数恒等式本质的一致性。我们能否探究相应的指对数运算性质也是一致的？不妨取其中的第一组am·an=am+nlogaM+logaN=loga（MN）试试看。

生也就是两个命题的证明：第一个是am·an=am+nlogaM+logaN=loga（MN），第二个是logaM+logaN=loga（MN）am·an=am+n。我来证明第一个命题。要证明logaM+logaN=loga（MN），就要证a（logaM+logaN）=alogaMN=MN;因为am·an=am+n，所以a（logaM+logaN）=alogaM·alogaN;又因为alogaM=M，alogaN=N，所以a（logaM+logaN）=MN。

师非常棒！这位同学在证明过程中先用分析法，将对数问题转化为指数问题，再利用条件给的指数运算性质，结合对数恒等式直接解决，实质就是化对数为指数。请同学们课后对照课本给的证明方法，分析这两种证法的一致性。反过来，由对数性质怎么证明指数性质呢？

生把指数式化为对数式。

师具体说说看。

生要证明am·an=am+n，就要证loga（aman）=logaam+n=m+n;因为logaM+logaN=loga（MN），所以loga（aman）=logaam+logaan;又因为logaam=m，logaan=n，所以loga（aman）=m+n。

师从刚才的研究中，我们可以说这一组指对数运算性质是一致的。其实，其余对应的指对数运算性质也是一致的，留给同学们课后自主探究。

[设计意图：延续探究恒等式的思想方法，用定义探究运算性质的一致性。在探究过程中，不断深化对定义的认识，加深对指数与对数一致性的认识。同时，通过两个运算性质一致性的证明，培养学生逻辑推理与数学运算素养，发展理性思维。]

（四）精选例题，应用一致性

师前面，我们从理论方面研究了指对数的一致性。下面，我们在具体问题中感悟它们应用的一致性。

（教师出示例1。学生先独立思考，再小组交流，然后全班汇报。）

例1已知2x=3，log483=y，则x+2y的值为。

生由2x=3，得log23=x。由y=log483=log2283=12log283，得2y=log283。所以x+2y=log23+log283=log28=3。

师他把指数化为对数，从对数的角度解决了问题。还有别的做法吗？

生由log483=y，得4y=83，即22y=83。又2x=3，所以2x+2y=2x·22y=8，所以x+2y=3。

师他把对数化为指数，从指数的角度解决了问题。从指数与对数两个方面都能解决例1，也就说明了在具体的数学运用中，指数与对数其实也是一致的。下面，我们把例1的条件适当变化。

（教师出示变式。）

变式已知2x=49y=A（A>0），且1x+1y=2，则A的值为（）

A. 32B. 52

C. 72D. 92

生由2x=A，得x=log2A。由49y=A，得y=log49A。所以1x+1y=1log2A+1log49A =logA2+logA49=logA98=2，所以A2=98。又因为A>0，所以A=98=72，故选C。

师梳理求解过程，先将指数式化为对数式，然后运用对数换底公式以及推论logab=logcblogca与logab=1logba化为同底数的对数，最后回归为指数，运用根式知识得到结果，体现了公式运用的综合性。在这一过程中，基于指对数运算的一致性，指数运算困难时化为对数，对数运算困难时化为指数，体现了转化与化归的思想方法。（稍停）我们紧跟高考改革的步伐，请看近年高考全国卷中的一道情境题。

（教师出示例2。）

例2（2020 年高考新课标Ⅲ卷理科数学）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）=K1+e-0.23（t-53），其中K为最大确诊病例数。当I（t）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t约为（）

（参考数据：ln19≈3）

A. 60B. 63C. 66D. 69

生由I（t）=0.95K，得K1+e-0.23（t-53）=0.95K，又K>0，所以11+e-0.23（t-53）=0.95，所以e-0.23（t-53）=119，解得t=ln190.23+53≈66，故选C。

师解决数学情境问题，首要任务就是把实际问题转化成数学问题。在例2中，扣住I（t）=0.95K这一条件即可，接下来的运算就是基于指对数本质的一致性，互相转化。

[设计意图：设计例1是让学生在具体问题的求解中，更深层次地理解指数与对数的一致性。设计变式是让学生更加熟练地运用指对数互化，继续加深对指数与对数一致性的认识。设计例2则是让学生在新的数学情境中培养数学阅读能力，发展数学建模素养。]

（五）课堂总结，凝练一致性

师本堂课，我们从六个方面研究了指数与对数这两种运算的内在一致性。分别是研究对象的一致性、定义本质的一致性、指对数恒等式本质的一致性、恒等式探究方法的一致性、指对数运算性质的一致性、数学应用中体现的一致性。

（学生逐一回顾上述一致性，教师完善结构化板书。）

[设计意图：立足系统思维，通过凝练的六个“一致性”促进学生回望学习过程，整体感知单元体系，品味数学统一之美。]

二、教学立意的进一步阐释

章复习课需要站在高位审视全章内容，帮助学生梳理内容的主线，发掘内容之间的本质关联，建立内容整体的逻辑体系，从而实现再认识、有提升，培养系统思维。本节课基本的教学立意是：基于对指数与对数本质的把握，通过一致性的研究，串联起指数与对数的定义、性质、应用等，概括出本章内容的总体框架，提升学生对指数与对数的认识，培养系统思维。笔者特别观照了以下两点立意：

第一，精心创设情境，激活学生思维。“创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流”，是以学生为主体，激活学生思维参与，培养数学核心素养的重要手段。本节课，从学生熟悉的四则运算的一致性切入，类比迁移至指对数运算的一致性，创设研究的大情境、大问题，拉开研究的序幕，触发学生思维的火花。开始的类比猜想只是感性的、模糊的认识，通过定义的比较、性质的互推等预设情境，学生充分活动，思维彻底激活，对一致性的认识变得理性、清晰;最后，在数学应用中，学生感知到一致性不仅仅是理论的研究，更是解决问题的利器，从而获得“知识就是力量”的充分体验，获得“如何思考”的智慧。

第二，引领学生经历探究过程，培育理性精神。在指数、对数新课学习中，学生已经经历“背景—定义—不同表征—运算性质—应用”的过程。这是研究代数对象的基本“套路”，是理性思维的重要体现。本节课，从研究指对数本质一致性的高度，让学生再次经历上述探究过程，感悟蕴含在其中的数学思想：引进一种新数，就要研究它的运算;定义一种运算，就要研究它的运算律。这反映了“运算中的不变性、规律性就是代数性质”的代数学本质。这个过程培育了学生的理性精神，体现了数学学科的育人价值。