刍议初中代数推理教学

摘要：代数学习主要表现为符号表征和符号操作。而代数推理主要蕴含在符号操作的过程中，表现为阐述数与式运算的道理或数量关系变形的依据，以及通过运算或变形说明一些结论。强调代数推理，是为了让学生在代数学习中尽可能地感受到推理（尤其是演绎推理）的存在，应该在代数教学的全过程中不断渗透推理的思想，显化各种推理的过程：数的基本运算法则与运算律的教学应在归纳推理的基础上，渗透演绎推理；代数式的基本运算法则与运算性质的教学应在类比推理的基础上，强调演绎推理；基础代数知识应用的教学是重点，应以演绎推理为主，适当融入其他推理。

关键词：初中数学；代数推理；代数运算；演绎推理；合情推理

推理是数学思维的主要表现，体现了数学的严谨性，保障了数学的科学性。新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程内容”（特别是“初中部分”）中，强调了代数推理。本文重点谈谈什么是代数推理、为什么要强调代数推理以及怎么加强代数推理的教学。

一、什么是代数推理

推理（又称逻辑推理）是从一些判断（命题）出发，依据一定的规则，推出其他判断（命题）的思维活动（过程），它表现为“因为P，所以Q”或“如果P，那么Q”（统一简记为“P→Q”）的形式，一般可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理（后两者统称为合情推理）。

代数推理，是以代数知识为背景的推理，是解决代数问题的推理，是从学科内容（应用范畴）上对推理作出的分类。在数学推理中，代数推理是相对于几何推理、统计推理（推断）等而言的。要充分认识代数推理，关键是充分认识代数。

代数（初等的，包括算术）是研究数及其运算、关系，以帮助人们从数量的角度清晰、准确地认识、理解和表达现实世界的学科。数概念和字母表示数的方法是代数的基础，数是对有现实意义的量的抽象（一般化），形成符号表征（记数法）；字母表示数是对具体的数的抽象（一般化），也是一种符号表征（代数式）。数与式的运算（实际上是一种等量变形）是代数的核心（因为数与式的性质主要表现为运算下的相等或不等关系），表现为符号操作。从形式化（不考虑现实意义和几何意义）之后严谨的逻辑推理角度（也就是现代数学强调的抽象结构视角）看代数知识的产生和发展，基本过程如下：

自然数最“自然”，是一个一个地数出来的，本质上是一个有始无终的顺序排列体系，其根本的关系是后一个比前一个“多1”，因而可以用归纳的方式定义。在自然数中，加法是“多1”的复合，减法是加法的逆运算；乘法是自加的缩写，除法是乘法的逆运算；乘方是自乘的缩写，开方和对数是乘方的逆运算。由加法、乘法、乘方的定义，可以证明这些运算满足一系列普遍成立的运算律。从自然数出发，数概念经历了“整数、有理数、实数、复数”的扩充过程。其中，整数（引入负数）是以自然数减法运算的结果定义的，有理数（引入分数）是以整数除法运算的结果定义的，实数（引入无理数）是以有理数列极限运算的结果定义的（常表现为表示正数开方运算结果的需要）。实数与数轴上的点具有一一对应的关系，扩充到复数（引入虚数）是表示负数开方结果的需要，一开始缺少现实意义（包括几何意义），后来逐渐显示出应用价值——其实，向量也可以看成实数的一种扩充（从一维到多维扩充）。可见，数概念的扩充主要是追求运算的封闭性——当然，扩充后的新数往往也具有（能找到）现实意义（包括几何意义），甚至，从历史而非逻辑的角度看，主要是现实意义而非运算的封闭性推动着数概念的扩充。那么，扩充后的新数的运算如何定义？或者，通过怎样的法则归结为旧数的运算？基本的想法是，保持自然数中普遍成立的运算律依然成立。因此，可以利用这些运算律来推导——当然，也可以结合现实意义（包括几何意义）理解。总之，运算是数概念扩充的纽带，运算律是运算定义（法则）拓展的纽带。在此基础上，具体的运算（包括数与式的运算），都是基于运算定义（法则）和运算律的演绎推理（从一般到特殊）。

这里需要指出的是，现行中小学代数课程和教材不是完全按照上述过程，通过严谨的逻辑推理定义数概念和运算概念，得到运算法则和运算律的，而是基于数学史，考虑到学生的接受能力，大致按照“自然数、正分数、负数、无理数、虚数”的扩充过程，主要通过现实意义（几何意义包括）引入数概念和运算概念，主要通过归纳推理（从特殊到一般）得到相应的运算法则和运算律。

还有一个值得一谈的重要问题，就是数的运算与字母（表示数）的运算（即算术与代数）的区别与联系。字母是数的一般化，不是具体的数。因此，字母运算实际上是在研究一般的数的运算规律［通常比基本的运算定义（法则）和运算律要具体一些，其结论可通过各种代换形成丰富多彩的形式］，而且只是根据不同的目的（如需要和式还是积式，需不需要更加简洁）变换不同的形式，通常没有明确的过程与结果之分，从而更关注运算律的灵活运用（没有运算律就没办法运算——变形）；而数的运算是基于记数符号展开的具体运算，通常有明确的结果要求，从而更关注记数符号的意义和运算定义（法则）的机械运用（运算律主要用于简便运算）。

数与式的运算会带来一些相等或不等关系。现实事物的属性与规律中也蕴含着一些数与式运算下的相等或不等关系，即数学模型。因此，数量关系（如方程、不等式、函数等）也是代数研究的重要内容。对此，代数研究的重要手段是基于等式和不等式的基本性质等基本事实进行等价变形，也表现为符号操作。而它本质上也是一种演绎推理。

总的来说，在形成基本的运算律和运算法则后，代数研究（学习）整体上是一个从一般到特殊发现各个层级运算规律，展开灵活多样应用的过程，主要表现为符号（包括记数符号和字母符号）表征和符号操作（包括数与式的运算和数量关系的等价变形）。而代数推理主要蕴含在符号操作的过程中（或者说符号操作就是代数推理），主要表现为阐述运算的道理或变形的依据（即寓算于理，把运算转化为推理），以及通过运算或变形说明一些结论（即寓理于算，把推理转化为运算）。当然，代数推理可能还包括更多通过推理（免不了一些必要的运算）而非运算解决代数（算术）问题。但是因为这样的方法缺少代数的特点，本文不做重点讨论。

二、为什么要强调代数推理

因为中学学习的欧式几何知识体系有很强烈的推理特征（主要是“三段论”式的演绎推理，不是小学学习的实验几何中的归纳推理），导致很多人会忽视以形式化的数量及其关系（符号表征）、程序化的运算与变形（符号操作）为主要特征的代数内容中的推理，甚至认为其中没有推理。

最近，笔者通过问卷随机调查了324名非数学专业教师和538名数学专业教师，让他们回答以下问题：

根据您中学阶段学习数学的感觉和经验，您觉得下列题目中属于推理类的有哪些？（可多选）（）

A. 求证：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍；

调查结果表明，非数学专业教师中选择A、B、C、D选项的人数占比分别为55.86%、14.81%、60.49%、54.32%，数学专业教师中选择A、B、C、D选项的人数占比分别为81.60%、26.21%、78.44%、82.34%。

横向对比非数学专业教师和数学专业教师的调查结果发现，非数学专业教师对代数内容中推理的认识普遍不足。结合访谈反馈纵向对比四个选项的调查结果发现，越是有程序化运算与变形特征的内容，越不被认为属于推理：B选项解方程，有明显的程序化运算与变形特征；A选项转为符号表征即为“求证：（2n＋1）2－（2n－1）2＝2［（2n＋1）＋（2n－1）］”，就是要证明一个运算规律（恒等式），过程主要表现为代数式的运算；D选项要证明一个条件限定的运算规律（条件恒等式），过程表现为代数式的运算和等式的变形；C选项判断一个条件限定的大小关系，可作差转化为寻找一个条件限定的运算规律（条件不等式），过程也表现为代数式的运算和不等式的变形。

为了纠偏这一现象，新课标在“课程内容”中强调了代数推理，也就是说，要让学生在代数学习中尽可能地感受到推理（尤其是演绎推理）的存在。

这里需要指出的是，我们的一切认识和实践，都不能走极端。对于程序化的运算与变形，在让学生认识到其本质就是推理或者其可以用于推理的同时，不可过分强调推理的重要性。

因为，程序化的操作是一种借助直觉的减缩思维形式，可以让思维更高效。实际上，熟练后跳步骤，借助更多的知识经验（记住更多的结论方法）快速解决问题，是人们通常的思维需求。比如，解答平面几何题目，因为推理过程较长，学生通常需要记住一些推理结果（包括教材上的基本定理和教材外的拓展结论），而不是始终从公理或基本事实以及定义开始推理。

而且，相对程序化的运算才是数学的根本与优势所在：作为定量化的工具，通过运算研究一切数量关系（包括空间中的数量关系），使得数学有着最广泛的应用和更容易的思考。实际上，欧式几何因为相对狭窄的应用范围和过于灵活的思考要求，已经不是数学研究的主流（它的价值更多地体现在对逻辑思维的训练上）。数学家们一直在想办法用运算表达平面几何中的推理（从而让平面几何问题变得容易），发展了面积方法、解析几何方法、向量方法以及消点方法等。

进一步地，从“新数运动”的失败中，可以发现，欧式几何的优势其实不是推理，而是直观。著名数学家希尔伯特早就指出，欧式几何的公理体系并不严格。而且，过分追求推理的严谨是普通学生很难接受的。比如，用希尔伯特的公理体系证明勾股定理需要80页左右的篇幅，罗素和怀特海的《数学原理》从集合概念开始到证明1+1=2用了300页的篇幅。③代数难学主要在于抽象（形式化）的符号表征和操作，因此，学生需要结合现实意义来理解各种符号表征和操作，而现实意义中最容易得到和感知的是几何意义（即空间形式）——正因为如此，“几何是数学思想的摇篮”，也就是说，“数”的结论常常是从“形”中来的。所以，一维的数与运算的认识通常离不开数轴上的点（及线段的长度、长方形的面积等），二维的数量关系的认识通常离不开平面直角坐标系中的曲线。这启示我们，在代数教学中应追求包括利用现实意义（包括几何意义）说明在内的灵活的推理（即适度的严谨）。

三、怎么加强代数推理的教学

针对代数推理本身的内涵表现和强调代数推理的目标指向，教师应该在代数教学的全过程中不断渗透推理的思想，显化各种推理的过程（说清楚“因为什么，所以什么”“如果什么，那么什么”；尤其是对演绎推理，要补全“三段论”的大前提、小前提和结论）。下面重点结合初中代数教学实践来说明。

（一）数的基本运算法则与运算律的教学：在归纳推理的基础上，渗透演绎推理

小学低、中年级学习的主要是自然数的十进位值制记数法以及加减乘除运算，有关算理可以通过记数的位值原理与运算的基本意义获得。而小学高年级和初中学习的主要是分数、负数的加减乘除运算法则和运算律，有理数的乘方（整数指数幂）、开方运算意义和运算性质——不涉及分数指数幂、对数、实数的极限定义，简单告知（没有推理）实数的运算法则和运算律。对这些基本运算法则和运算律，教材（以及通常的教学）主要引导学生基于现实意义（包括几何意义），通过归纳推理得到。在此基础上，教师可以适当引导学生进行演绎推理。

例如，对于“有理数乘法法则”和“有理数乘法运算律”，苏科版初中数学教材设计水位每天上升、下降一定高度的情境，引导学生计算若干天之前、之后水位比今天高、低的高度，然后规定上升为正、下降为负，之后为正、之前为负，用正数或负数表示乘数和积，得到一定数量正数与正数相乘、正数与负数相乘、负数与负数相乘的算式，进而，引导学生寻找这些式子的共性特征，归纳推理出有理数乘法法则。在此基础上，教师可以引导学生基于“乘法运算律依然满足”进行演绎推理，论证有理数乘法法则：设a、b为正整数，则由分配律和有理数加法法则，得a×b＋a×（－b）＝a×［b+（－b）］＝a×0＝0，所以a×b与a×（－b）互为相反数，所以a×（－b）=－（a×b）；同理，可得0×（－b）=－（0×b）=0；再由乘法交换律，得（－b）×a=－（b×a）；由分配律和有理数加法法则，得（－a）×b+（－a）×（－b）＝（－a）×［b+（－b）］＝（－a）×0＝0，所以（－a）×b与（－a）×（－b）互为相反数，所以（－a）×（－b）=－［（－a）×b］=－［－（a×b）］=a×b。同样地，教师可以引导学生基于乘法法则，通过演绎推理得到有理数乘法运算律。这也渗透了演绎推理的公理化思想：假定一些不需要证明的结论（包括定义），用来证明其他结论。