基于几何直观的数量关系分析

［摘 要］以人教版教材五年级上册“多边形的面积”单元教学为例，通过自上而下的课标推敲、教材比较确立核心概念，同时通过自下而上的学情调研积累核心经验，进而重组教材课时结构，推进单元整体教学设计，突出知识原理的一致性，促进学生结构化思维的形成。

［关键词］几何直观；数量关系；核心概念；单元整体教学；多边形的面积

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）02-0032-04

单元整体教学设计从“大单元”和“系列单元”的视角出发，打破自然单元间可能存在的知识壁垒，重构单元知识结构，以核心概念为统领，优化课时设计，使学生在有序、系统的教学中实现从“知其然”到“知其所以然”的转变，真正领悟知识的本质，发展核心素养。那么，如何提取核心概念并为单元整体教学内容的确定提供思路？如何整体平衡现行教材课时结构与单元整体教学内容之间的关系？如何有效推进单元整体教学课例的设计？本文以人教版教材五年级上册“多边形的面积”单元教学设计为例，探讨单元整体教学的实施路径，为教学实践与优化提供参考。

一、剖析：依标推敲，提取核心概念

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）对“图形与几何”领域的课程内容、学业质量要求及教学建议进行了深入阐释，揭示了平面图形面积度量的本质——度量单位的累加。

纵观小学阶段学生的面积度量学习脉络有以下发现：三年级下册学习“面积和面积单位”以及“长方形和正方形的面积”，主要掌握面积单位的标准及计数方法；五年级上册学习“多边形的面积”，六年级上册学习“圆的面积”，进一步探索通过图形转化实现面积计算的思路。可见，面积度量的学习经历了“制订标准—单位计数—方法优化”的渐进过程。其中，“多边形的面积”这一单元既承接了长方形和正方形面积计算的基础经验，又因平行四边形、三角形和梯形等图形的特殊性（直接计数存在困难），需要先通过转化再度量的方式进行测量，为后续学习圆的面积计算奠定了重要基础。

综上，平行四边形、三角形和梯形面积测量的共同特点在于：均需通过等积转化或拼合转化的方式转化为能够直接计数的图形。这一转化过程体现了面积度量的统一原理，即基于“每行面积单位的个数×行数”的量感一致性，为学生进一步理解面积计算的本质提供了支撑。

二、调查：自下而上，积累核心经验

为准确了解学生的学习现状，提炼单元核心价值，促进学生在单元内实现整体学习，笔者随机抽取了90名五年级学生，进行了单元知识的前测（题略）。测试结果如下。

基本能力方面：大部分学生能够通过数格子的方法计算平面图形的面积，表明其基础知识较为扎实。

转化理解方面：学生在面对一般三角形和梯形时，较难直接看出其通过剪拼后得到的图形，这反映出学生在图形转化方面的直观感知能力尚需提升。

面积公式联系方面：学生能够发现平行四边形的底和高与长方形的长和宽之间的联系，但对三角形、梯形与已知面积公式图形之间的联系理解不够深入。

策略方法方面：学生知道转化的方法，如割补、添补等，但在实际应用中还需教师进一步引导。

综合来看，学生已经具备了将面积单位学习的活动经验迁移到更复杂情境中的意识，能够认识到面积单位数量的多少决定面积的大小，并初步尝试分析多边形面积计算之间的联系。这些特点为单元整体教学设计提供了重要的现实依据，同时也提示教师要进一步加强对几何图形转化规律的教学，深化学生对面积公式推导方法的理解。

三、定位：聚散为整，进行整体规划

为将学生的学习经验有效融入单元教学计划中，笔者结合《课程标准》中核心素养的具体表现，围绕单元关键问题进行整体布局，明确单元的素养目标、核心概念及学习目标，以引导学生更深入地认识和把握度量的本质（见表1）。

重新设计的单元教学内容以“面积单位的累加”为核心概念贯穿单元学习的始终，按照“唤醒经验—调用经验—突破经验—提升经验—优化经验”的实践路径，从回忆面积意义到测量更多图形的面积，逐步让学生的量感体验更加立体、丰满，突出单元学习主题的整体性和一致性（如图1）。

与单元主题序列相匹配，整体规划中统筹开发了一组新的课型，通过“总—分—总”的单元架构，构建出完整且富有张力的单元教学系统。在“多边形的面积”单元教学中，首先通过方法课“数面积”唤醒学生已有的剪拼、合拼等经验；随后开展推理课，引导学生有条理地推导多边形面积公式，帮助其理解图形的转化规律；接着通过探究课，引导学生思考邻边相乘与平行四边形面积之间的关系，避免知识负迁移；再以应用课为载体，引导学生在真实情境中解决问题，丰富其面积度量经验并深化其对面积的理解；最后通过复习课，从梯形面积公式出发，帮助学生整合并优化多边形面积公式的构造。这一设计充分体现了《课程标准》指导下教学方式的转型。

四、实施：由繁入简，触及学科本质

为将核心概念统领的目标与内容有效落实到具体教学活动中，笔者通过“数面积”引入主题、“推导多边形的面积公式”深化理解、“揭秘万能公式”实现联结，精心设计了精炼的教学环节和丰富的操作活动，提供了精准的复习资源。这些活动和资源注重学生的可学性、可参与性与建设性，旨在引导学生在做中学、用中学、创中学、悟中学，使度量体验在单元重构中得以真实而深刻地发生。

（一）方法课：面积单位的总数=每行面积单位个数×行数

方法课“数面积”围绕核心概念“面积单位的总数=每行面积单位个数×行数”展开，通过创建任务群，引导学生在完成不同任务的过程中学习利用剪拼、合拼等方法将平行四边形、三角形、梯形等不满格的图形转化为满格图形。同时，多维度对比学生的转化方法，帮助他们深刻理解度量面积的本质在于求得图形中包含的面积单位总数，从而进一步发展其空间观念。

【活动设计】

任务一：在格子图中探究特殊平行四边形、直角三角形、直角梯形的面积。

[设计意图：通过探究特殊的平行四边形、直角三角形和直角梯形的面积，让学生能利用已有的数面积单位总数、剪拼、合拼等经验，将不满格的面积单位转化为满格的面积单位。]

任务二：在格子图中探究平行四边形、三角形、梯形的面积。

[设计意图：从平行四边形（高不满整格）、三角形、梯形的转化延展到一般图形的转化，了解学生对剪拼和合拼方法的运用情况。]

借助格子图，学生开展图形面积的探究活动，在“想—算—画—比”的过程中逐渐掌握以定量方式通过转化将不能直接计数的图形转化为可以直接计数的图形。通过展示汇报、对比交流等学习活动，学生不仅能感受到图形转化方法的多样性，还能深刻领悟转化思想的一致性（如图2）。

同时，突破原有的教学框架，引导学生围绕大概念（面积单位及其个数）和方法（不同的“拼”法）进行交流、讨论和比较。学生体会到，不同转化现象背后的思想其实是一致的，都是为了用完整的面积单位填满测量对象，从而计算出面积单位的个数。长方形面积的测量经验在此过程中得到整体融入，帮助学生形成对图形度量一致、持久且可迁移的本质认识。

（二）推理课：推导多边形的面积公式

利用在方法课上获得的剪拼转化经验，学生就能在课堂上进行剪拼、合拼的转化活动，在对比中发现转化前后图形各部分之间的联系，进而推导出平行四边形、三角形和梯形的面积公式，并在对比与沟通中建立多边形面积公式之间的联系，感悟各种方法背后一致的原理。

【活动设计】

任务一：在格子图中推导高不满整格的平行四边形的面积公式。

[设计意图：提供高不满格的平行四边形，引导学生开展不同思维层次的操作活动，探究平行四边形面积公式的本质。]

任务二：小组合作推导三角形和梯形的面积公式。思考：三角形、梯形与哪些图形有关联？转化后的图形与原图形之间有什么联系？推导三角形或梯形的面积公式。

[设计意图：打破原有单元学习的界限，将三角形和梯形面积公式的推导置于同一结构背景中，让学生以小组合作的形式进行研究和思考，从而沟通不同图形面积公式间的内在联系。]

以上两个学习任务能引导学生不断突破认知边界，且自主运用长方形面积公式的推导经验，将长方形的长、宽与平行四边形的底、高相联系，推导出平行四边形的面积公式，从而不断丰富度量经验，加深对平面图形面积度量的认识（如图3）。

在推导出平行四边形、三角形和梯形的面积公式后，引导学生通过对比与沟通，理解度量面积的本质是“面积单位总数=每行面积单位个数×行数”，深刻领会面积度量的基本原理是不变的，从而完成知识的内化。

（三）复习课：揭秘万能公式

提供结构化的习题资源，能促使学生理解梯形、平行四边形、三角形之间的联系，认识到“当上下底相等时，梯形就变成平行四边形；当下底为0时，梯形就变成三角形”。因此，通过平行四边形的面积公式也可以推导三角形和梯形的面积公式。

【教学片段】

师（出示图4）：计算下面图形的面积。

☆计算下列图形的面积。（单位：cm）

生1：长方形、平行四边形、梯形、三角形的面积都是20 cm²。

师：这些图形之间有什么关系？

生2：长方形①的长、宽分别与平行四边形②的底、高相等，所以两个图形的面积相等，为20 cm²。两个三角形③可以拼成一个底为10 cm、高为4 cm的平行四边形，这个平行四边形面积的一半与平行四边形②的面积相等，也就是说，三角形③的面积与平行四边形②的面积相等，也是20 cm²。通过剪拼也可以将梯形④转化成平行四边形②，因此梯形④的面积为20 cm²。

师：还有与梯形④面积、高相等的图形吗？

（学生创造出上底为1 cm、下底为9 cm的梯形）

师：下底能短一点吗？

（边的长度从整数拓展到了小数，学生的思维定式得以突破）

师：下底能不能继续短下去？

（教师通过不断追问，帮助学生突破梯形和三角形的边界；学生继续想象，突破梯形与平行四边形的边界）

生3：下底不断变短，到与上底长度相等时，梯形就成了平行四边形，梯形的面积公式变成“底×高”，这也是平行四边形的面积公式；当下底为0时，梯形就成了三角形，梯形的面积公式变成“底×高÷2”，这也是三角形的面积公式。梯形的面积公式真厉害，简直是“万能公式”。

[设计意图：在复习课中构建一张基于面积公式的新知识网，有效完善以长方形为起点、基于转化思想、以平行四边形为终点的知识网（如图5）。]

整体设计的单元框架中，通过连续进阶的关键课探索，学生在富有设计感的学科活动中产生了对面积度量的新理解，向前联系“面积和面积单位”，向后链接“圆的面积”，深刻体会了知识原理的一致性，有效掌握了多边形面积的计算本质。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 袁晓萍.让高质量的度量学习真实发生：《面积》单元整体教学规划与关键课例设计[J].小学教学设计，2024（Z2）：14-17.

[3] 杨明岚.一致性视域下整数除法运算整体性的教学思考与设计：以“除数是一位数的除法”单元为例[J].教学月刊小学版（数学），2023（11）：50-53.

[4] 张伟明.追溯起点向思维深处进发：以《梯形的面积》教学为例[J].小学教学设计，2018（32）：23-25.

（责编 吴美玲）